第五章 分式与分式方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第五章 分式与分式方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．要使分式有意义，x必须满足的条件是（　　） A．x≠3 B．x≠0 C．x＞3 D．x＝3 2．下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 3．若分式中a，b都扩大到原来的2倍，则分式的值是(    ) A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 4．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 5．若分式的值为0,则x的值为(　　) A．1 B．0 C．-1 D．0或-1 6．下列计算结果正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ）． A．2 B．1 C．3 D． 9．中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从广元站到重庆北站的距离是353千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米时，设“复兴号”动车组的平均速度为x千米时，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．－15 B．－13 C．－7 D．－5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．约分： ． 12．，和的最简公分母是 ． 13．若关于的方程的解为，则的值是 ． 14．当 时，与互为相反数． 15．一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是 ． 16．若实数x满足，则的值为 ． 17．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 18．有一组数据：，，，，．记，则 ． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19．（1）通分：和； （2）约分：． 20．化简： (1) ； (2)  ． 21．解方程 (1) (2) 22．已知，求A、B的值. 23．若，请从小刚和小明的对话中确定a，b的值，并对A进行化简求值． 24．某商场经理预测一种应季羊毛衫能在市场上畅销，就用5000元购进一批这种羊毛衫，上市后果然供不应求．于是经理又用11000元购进了第二批这种羊毛衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了5元．求该商场第一批羊毛衫每件的进价． 25．先阅读，再答题： ， ， …… 一般地，有. (1)计算：； (2)计算：． 26．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 27．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 28．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 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又∵当x=﹣1时，x2+x=0， ∴x=1. 故选A. 【点睛】本题考查分式的值为零需要满足的条件：（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零；两个条件必须同时具备，缺一不可. 6．下列计算结果正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】求出每个式子的值，再进行判断即可． 【解析】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算等的应用，主要考查学生的计算能力，掌握分式的运算性质是解题的关键． 7．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设这个数是a，把x=5代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可． 【解析】设这个数是a， 把x=5代入得：（-2+5）=1-， ∴1=1-， 解得：a=5． 故选D． 【点睛】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a的方程是解此题的关键． 8．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ）． A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可． 【解析】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选D． 9．中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从广元站到重庆北站的距离是353千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米时，设“复兴号”动车组的平均速度为x千米时，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“复兴号”的速度为x千米//时，则普通快车的速度为(x−80)千米//时，根据乘坐“复兴号”动车组列车比乘坐普通快车节省1小时40分钟，列出方程即可． 【解析】解：设“复兴号”的速度为x千米//时，则普通快车的速度为(x−80)千米//时， 根据题意得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出的分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量关系． 10．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．－15 B．－13 C．－7 D．－5 【答案】B 【分析】由不等式组的解求出a的取值范围，再根据分式方程的解验证a的取值即可； 【解析】解：由可得：， 由可得：， ∴，， 解分式方程可得：（y≠-1）， ∵分式方程的解为负整数， ∴a=-8或-5， ∵-8-5=-13， 故选： B． 【点睛】本题考查了根据不等式组和分式方程的解的情况求参数，注意分式方程的分母不能为零． 二、填空题 11．约分： ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解答即可． 【解析】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的约分，属于基础题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 12．，和的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据求最简公分母的方法求解即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【解析】解：三个分式的分母分别为、、，且3、1、2的最小公倍数为6， 三个分式的最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键． 13．若关于的方程的解为，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程的解，将代入得：，即可求解； 【解析】解：将代入得：， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴的值是； 故答案为： 14．当 时，与互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，分式方程的应用，掌握分式方程的解法是解题关键．根据相反数的定义列分式方程，求解并检验即可得出答案． 【解析】解：与互为相反数， ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即当时，与互为相反数 故答案为：． 15．一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，利用分式表示出甲乙各自的工作效率，熟练掌握分式加减计算法则是解题关键．根据甲、乙合做一天的工作量甲一天的工作量乙一天的工作量，把相关数值代入即可． 【解析】解：∵甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成， ∴甲一天的工作量为，乙一天的工作量为， ∴甲、乙合作一天可以完成的工作量为， 故答案为：． 16．若实数x满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简求值．将，整理得，代入中即可求解． 【解析】解：∵， ∴， 将代入中得． 故答案为：． 17．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【解析】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 18．有一组数据：，，，，．记，则 ． 【答案】 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【解析】解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 三、解答题 19．（1）通分：和； （2）约分：． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【解析】解：（1），； （2）． 【点睛】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． 20．化简： (1) ； (2)  ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）先对原式中各项进行因式分解，再将除法转化为乘法约分即可； （2）先将通分为，再展开式子化简即可 【解析】（1）解： （2）解： 21．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可； （2）根据解分式方程的步骤求解即可． 【解析】（1）解：， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， ； （2）， 去分母，得， 解得， 经检验，是增根， 分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 22．已知，求A、B的值. 【答案】A=， B= 【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B的方程组，解之即可求出A、B的值. 【解析】解：∵ , 又∵， ∴， ∴ ， 解得. ∴A=， B=. 【点睛】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键. 23．若，请从小刚和小明的对话中确定a，b的值，并对A进行化简求值． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【解析】解：原式 ， 由对话可得，， 原式 24．某商场经理预测一种应季羊毛衫能在市场上畅销，就用5000元购进一批这种羊毛衫，上市后果然供不应求．于是经理又用11000元购进了第二批这种羊毛衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了5元．求该商场第一批羊毛衫每件的进价． 【答案】该商场第一批羊毛衫每件的进价是50元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该商场第一批羊毛衫每件的进价是x元，根据题意列出分式方程，解方程并检验即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【解析】解：设该商场第一批羊毛衫每件的进价是x元 根据题意可得， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意． 答：该商场第一批羊毛衫每件的进价是50元． 25．先阅读，再答题： ， ， …… 一般地，有. (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目提供结论化简为，先进行同分母分式加减，再进行异分母分式加减运算即可求解； （2）根据题目提供结论将原式变形为，逆用分配率得到， 再进行同分母分式加减，最后进行异分母分式加减，化简即可求解． 【解析】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算法则，根据题目提供结论将原题进行变形是解题关键． 26．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【解析】（1）解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个； （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 27．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【解析】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 28．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【解析】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 学科网（北京）股份有限公司2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$