22.3 特殊的平行四边形——（3）正方形（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

· 22.3特殊的平行四边形——（3）正方形 · 题型一 正方形性质的理解 1．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角 2．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转，所得图形一定能与原图形重合的是（   ） A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形 3．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 4．图形：①平行四边形，②正方形，③菱形，④矩形：其中对角线一定垂直的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（    ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．每条对角线平分一组对角 6．正方形在直角坐标系中如图所示，点，，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 题型二 根据正方形的性质求角度 1．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在正方形的外部作等边三角形，连接，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．在正方形中，点E在对角线上，且，延长交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，若，则的度数为 ． 7．如图，在正方形中，点在上，经过旋转后得到，旋转角为 度． 8．如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 题型三 根据正方形的性质求线段长 1．正方形的边长为3，则对角线的长度为（　　） A． B．6 C． D．9 2．小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（　　） A．14 B．17 C．20 D．24 3．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 4．如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的对角线长为（   ） A．10 B． C．14 D． 5．在正方形中，，则正方形的周长为 ． 6．如图，，长为，长为，正方形的周长为 ． 7．如图，正方形的边长为8，点在边上，，若点在正方形的某一边上，满足，且与的交点为，则的长度为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是 ． 题型四 根据正方形的性质求面积 1．已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为（    ） A． B．6 C．8 D．10 3．如图放置的五块拼图中，①②③为正方形，④⑤为等腰直角三角形，若正方形③的面积为2，则正方形②的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．如图，在正方形中，若面积，周长，则正方形和正方形的面积之和等于（   ） A．96 B．48 C．20 D． 5．如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　）． A．4 B．8 C．12 D．16 6．如图，点E在正方形内，满足，，则阴影部分的面积是（    ） A．48 B．52 C． D．80 7．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（    ） A．36 B．42 C．55 D．25 8．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 题型五 根据正方形的性质证明 1．已知菱形中，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，上的点．若四边形是正方形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，连接、，．求证：． 3．已知：如图，在正方形中，点P在上，，垂足分别为E、F．求证：． 4．如图，在正方形中，E是边的中点，F是边的中点，连接、． 求证： 5．在正方形中、、分别是边、的中点，连接交于点．求证：． 6．正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 7．如图，在正方形中，，是对角线上的两点，且，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：． (2)求的度数． 8．如图，在正方形中，对角线，交于点，为上任意一点，于点，于点．求证：． 题型六 正方形判定定理的理解 1．下列命题中，正确的命题的是（　　） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角为直角的菱形是正方形 D．两条对角线相等的四边形是矩形 2．在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当，是矩形 B．当，是菱形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 4．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，对角相等 B．②，有一组邻边相等 C．③，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 5．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（   ） A．由①推出②，由②推出③ B．由①推出③，由③推出② C．由③推出①，由①推出② D．由②推出③，由③推出① 6．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（   ） ①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型七 添加一个条件使四边形是正方形 1．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知矩形的对角线交于点O，下列条件中能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 4．如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（   ） A．①表示有一组邻角相等 B．②表示有一组邻边相等 C．③表示对角线平分一组对角 D．④表示对角线互相垂直 6．在平行四边形中，，要使四边形是正方形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D．平行四边形的对角线互相平分 7．已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．四边形是菱形，只须补充条件 （用字母表示）就可以判定四边形是正方形． 题型八 证明四边形是正方形 1．已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 2．如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 3．如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 4．已知：如图，在中，E是两锐角平分线的交点，，垂足分别为D、F．求证：四边形是正方形． 5．如图，在矩形中，，，，分别是，，，的平分线． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 题型九 根据正方形的性质与判定求解 1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 2．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    3．如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为 ． 4．如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    5．如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为 ． 6．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 7．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 题型十 根据正方形的性质与判定证明 1．如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 2．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 3．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 4．如图，在中，是边的中点，过点 作直线，交的角平分线于点E，交的外角的角平分线于点，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)请添加一个条件，使四边形为正方形，直接写出该条件． 5．如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 6．如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 1．如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一动点．则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．3 2．如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（　　） A．α B． C． D． 3．如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接，若为等边三角形，，则的长为 ． 4．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点C，D在第一象限内．若点B到x轴的距离为1，点D到x轴的距离为2，则点C的坐标为 ． 5．如图，正六边形与正方形的边长均为4，则正六边形与正方形的面积之差为 ．（结果保留根号） 6．如图，四边形、均为正方形，且、、三点在同一直线上，在线段上，为上一点，，与交于点，连接、、． (1)求证： (2)若，，求的周长． 7．如图，在中，，点D是的中点，过点D分别作交于点E，交于点F． (1)求证：四边形为菱形； (2)当等于多少度时，四边形为正方形，并说明理由？ 8．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 ． 9．已知正方形，F是射线上一动点（不与点C，D重合），作射线，交直线于点E，交于点H，连接，过点C作交直线于点G．若点F在边上，如图． (1)求证：； (2)请猜想的形状，并说明理由． 10．如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 11．如图，在平面直角坐标系中，是原点，四边形是边长为5的正方形，点，分别在轴，轴正半轴上，为边上任意一点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，且，过点作，交于点，连接，，设． (1)求点的坐标：（用含的代数式表示） (2)试判断线段的长是否随点位置的变化而变化，并说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 22.3特殊的平行四边形——（3）正方形 · 题型一 正方形性质的理解 1．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角 【答案】B 【详解】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意； B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意； D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意； 故选：B． 2．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转，所得图形一定能与原图形重合的是（   ） A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形 【答案】D 【详解】解：根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形． 故选：D 3．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】A 【详解】解：A、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故A选项符合题意； B、正方形和矩形的对角都互补，故B选项不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C选项不符合题意； D、正方形和矩形的对角线都相等，故D选项不符合题意； 故选：A． 4．图形：①平行四边形，②正方形，③菱形，④矩形：其中对角线一定垂直的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：上述图形中，对角线一定垂直的有②正方形，③菱形，共2个． 故选：B 5．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（    ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分， 菱形的对角线平分且互相垂直， 正方形的对角线垂直、平分且相等， 故选：C 6．正方形在直角坐标系中如图所示，点，，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标是， 故选：D． 题型二 根据正方形的性质求角度 1．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图所示，在正方形的外部作等边三角形，连接，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形，三角形是等边三角形， ，, 故选：C． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 4．如图，正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、根据正方形的性质可知，故A选项正确，不符合题意； B、根据正方形的性质可知，故B选项不正确，符合题意； C、根据正方形的性质可知，故C选项正确，不符合题意； D、根据正方形的性质可知，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 5．在正方形中，点E在对角线上，且，延长交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 6．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 7．如图，在正方形中，点在上，经过旋转后得到，旋转角为 度． 【答案】90 【详解】解： 四边形是正方形， ， ∵经过旋转后得到， ∴旋转角度是90度． 故答案为：90． 8．如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三 根据正方形的性质求线段长 1．正方形的边长为3，则对角线的长度为（　　） A． B．6 C． D．9 【答案】C 【详解】解：如图所示，四边形是边长为3的正方形，则， ∴， 故选：C． 2．小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（　　） A．14 B．17 C．20 D．24 【答案】C 【详解】解：设每个三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意可得，解得， ∴， ∴正方形的周长为， 故选：C． 3．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】解：把顺时针旋转的位置， ， ，四边形的面积等于正方形的面积等于， ， ， 在中， ， 故选：． 4．如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的对角线长为（   ） A．10 B． C．14 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过C作于点M，过A作于点N， 则，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形对角线的长． 故选：B． 5．在正方形中，，则正方形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ∴正方形的周长为， 故答案为：． 6．如图，，长为，长为，正方形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，长为，长为， ∴， ∴正方形的周长为． 故答案为：． 7．如图，正方形的边长为8，点在边上，，若点在正方形的某一边上，满足，且与的交点为，则的长度为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点F在上时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，当点F在上时， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：或． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 故答案为：． 题型四 根据正方形的性质求面积 1．已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【详解】解：∵正方形的一条对角线长为4， ∴面积是， 故选：C． 2．如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 正方形的面积． 故选：C． 3．如图放置的五块拼图中，①②③为正方形，④⑤为等腰直角三角形，若正方形③的面积为2，则正方形②的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【详解】解：⑤为等腰直角三角形，正方形③的面积为2 腰直角三角形⑤的直角边长为 腰直角三角形⑤的斜边长为 ①为正方形， ④为等腰直角三角形， 等腰直角三角形④的直角边长为2 等腰直角三角形④的斜边长为 正方形②的面积为 故选：C． 4．如图，在正方形中，若面积，周长，则正方形和正方形的面积之和等于（   ） A．96 B．48 C．20 D． 【答案】C 【详解】解：设矩形中， 四边形和四边形都为正方形， ∴， ∴正方形和正方形的面积之和为， 面积，周长， ，， ． 故选：C． 5．如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　）． A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】解：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积=， ∵正方形的边长为， ∴阴影部分的面积=． 故选：B． 6．如图，点E在正方形内，满足，，则阴影部分的面积是（    ） A．48 B．52 C． D．80 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ； 故选：C． 7．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（    ） A．36 B．42 C．55 D．25 【答案】D 【详解】解：设阴影部分的小正方形边长为a， 阴影部分的大正方形边长为b， 白色正方形的边长为C． 则阴影部分的面积为：, 根据题意有：， 又∵， ∴， 故阴影部分的面积之和为：． 故选：D． 8．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 题型五 根据正方形的性质证明 1．已知菱形中，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，上的点．若四边形是正方形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵菱形和正方形， ∴菱形和正方形的中心都是点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴选项C符合题意，选项A、B、D都不符合题意， 故选：C． 2．如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 又∵， ∴， ∴． 3．已知：如图，在正方形中，点P在上，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】见详解 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ，，， ， ； ，，， 四边形是矩形， ， ∵， ∴． 4．如图，在正方形中，E是边的中点，F是边的中点，连接、． 求证： 【答案】见详解 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，． 又分别是、的中点， ∴， ∴， ∴． 5．在正方形中、、分别是边、的中点，连接交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【详解】证明：四边形是正方形， ， 、分别是边、的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ， ， ． 6．正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）证明：正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下， 延长交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．如图，在正方形中，，是对角线上的两点，且，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∵将绕点A顺时针旋转后，得到， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）∵正方形， ∴， 由旋转得到：， ∴ 8．如图，在正方形中，对角线，交于点，为上任意一点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ∴， 又， 四边形是矩形； ， 又， ， ． 题型六 正方形判定定理的理解 1．下列命题中，正确的命题的是（　　） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角为直角的菱形是正方形 D．两条对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题错误，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意； C、有一个角为直角的菱形是正方形，命题正确，符合题意； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意； 故选：C． 2．在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】选项A条件： （邻边相等）且（对角线垂直）． 结论：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直也是菱形，因此无法确定为正方形。 选项B条件： （邻边垂直）且（对角线相等）． 结论：邻边垂直的平行四边形是矩形，对角线相等也是矩形，因此无法确定为正方形． 选项C条件： （对角线相等，即）且（邻边相等）． 结论：，平行四边形对角线互相平分，说明是矩形． ，邻边相等，说明是菱形． 既是菱形又是矩形，因此能推出正方形． 选项D条件： （对角线相等）且（重复对角线相等）． 结论：仅说明是矩形，无法确定邻边是否相等，因此不能推出正方形． 故选：C． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当，是矩形 B．当，是菱形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 【答案】D 【详解】解：A选项：根据矩形的判定“一个角是直角的平行四边形是矩形”，故选项A正确，不符合题意； B选项：根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故B选项正确，不符合题意； C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故D选项不正确，符合题意. 故选D. 4．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，对角相等 B．②，有一组邻边相等 C．③，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【答案】A 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：A． 5．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（   ） A．由①推出②，由②推出③ B．由①推出③，由③推出② C．由③推出①，由①推出② D．由②推出③，由③推出① 【答案】D 【详解】解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形； 菱形的对角线互相垂直，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形； 正方形拥有菱形的一切性质，故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②； 故选：D． 6．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（   ） ①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形， 当时，对边相等，无法证明平行四边形是菱形，①结论错误； 当时，对角线垂直，即平行四边形是菱形，②结论正确； 当时，有一个角是直角，即平行四边形是矩形，③结论正确； 当时，对角线相等，即平行四边形是矩形，④结论错误； 结论中正确的是②③，共2个， 故选：C． 题型七 添加一个条件使四边形是正方形 1．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 当一组邻边相等时，矩形为正方形，这个条件可以是：． 故选：A． 2．已知矩形的对角线交于点O，下列条件中能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：矩形中，对角线交于点O， ，， A，，不能判定四边形是正方形； B，，不能判定四边形是正方形； C，，不能判定四边形是正方形； D，，由对角线互相垂直的矩形为正方形，能判定四边形是正方形； 故选D． 3．如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】D 【详解】∵是平行四边形，∴添加以下条件， A. ，，能判定四边形是正方形；     B. ，，能判定四边形是正方形； C. ，，能判定四边形是正方形；     D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形． 故选：D． 4．如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 添加，能使矩形成为正方形． 故选：B． 5．如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（   ） A．①表示有一组邻角相等 B．②表示有一组邻边相等 C．③表示对角线平分一组对角 D．④表示对角线互相垂直 【答案】D 【详解】解：A、有一组邻角相等，则平行四边形为矩形是正确的，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由选项A得：， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故本选项不符合题意； B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形这一判定定理得该选项正确，不符合题意； C、该选项正确，理由如下： 如图，∵矩形， ∴， 由题意得平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故本选项不符合题意； D、菱形本身对角线就互相垂直，故该选项错误，符合题意， 故选：D． 6．在平行四边形中，，要使四边形是正方形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D．平行四边形的对角线互相平分 【答案】B 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形，此时，，，对角线互相平分， ∴当时，四边形是正方形， 故选：B． 7．已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴是矩形， 又∵， ∴是正方形， 故添加的条件为， 故选D． 8．四边形是菱形，只须补充条件 （用字母表示）就可以判定四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一，如：或或或） 【详解】解：由于四边形是菱形，则添加或或或或就可以判定四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一，如：或或或）． 题型八 证明四边形是正方形 1．已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 2．如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形． 3．如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． 4．已知：如图，在中，E是两锐角平分线的交点，，垂足分别为D、F．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】证明：过点作，垂足为． ，，是两锐角平分线的交点， ． ，，， ， 四边形为矩形． 又， 矩形为正方形． 5．如图，在矩形中，，，，分别是，，，的平分线． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，分别是，，，的平分线， ∴， ∴，，，， ∴， ，，， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴， ，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九 根据正方形的性质与判定求解 1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示： 可得：， ， ∴，四边形是正方形， ∴， ∴ 故答案为： 2．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 3．如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 4．如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，    由折叠可得，， 又， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ， 又， ， 由折叠可得，， 中，， 故答案为：． 5．如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为 ． 【答案】4 【详解】解：∵正八边形的边长为2， ∴中间空白四边形的边长为2， ∵中间空白四边形的每个内角为：， ∴中间空白四边形为正方形， ∴中间空白四边形的面积为， 故答案为：4． 6．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 7．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 题型十 根据正方形的性质与判定证明 1．如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是正方形，周长是，是对角线， ∴，， 如图所示，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 同理，，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 2．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)正方形，见解析 (2) 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）解：如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 3．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)正方形；理由见解析 (2)1 【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下： 四边形为矩形， ． ， ， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ． 四边形为正方形． （2）解∶∵四边形为正方形，， ． ， ． ∵是的平分线， ． 在和中， ， ． 4．如图，在中，是边的中点，过点 作直线，交的角平分线于点E，交的外角的角平分线于点，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)请添加一个条件，使四边形为正方形，直接写出该条件． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)，或（答案不唯一） 【详解】（1）证明：已知平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知四边形是矩形， ∴根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，“对角线相互垂直的平行四边形是正方形”得，添加条件为：，或（答案不唯一）， 添加条件为：， ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形； 添加条件：， ∵， ∴， ∵， ∴，即，且四边形是矩形， ∴矩形是正方形； 综上所述，添加条件为：：，或（答案不唯一）． 5．如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ； 由折叠可知，，， ，， ； ； 四边形是正方形． （2）四边形是正方形， ， 又，，， 设的长为，则，． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ，． 6．如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)23 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕A点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：在正方形中，， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 1．如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一动点．则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．3 【答案】A 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴点与关于对称， ， ∴最小． 即在与的交点上时，最小，为的长度． ∵直角中，，， ， ∴ ． 故选：． 2．如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（　　） A．α B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点F作，交的延长线于点G， 由旋转得，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 即 ∴， ∴． ∵， ∴ ∴ 故选：A． 3．如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接，若为等边三角形，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，点O为的中点 ，， 在中，由勾股定理得： 为等边三角形 ， 在中，由勾股定理得： 故答案为：． 4．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点C，D在第一象限内．若点B到x轴的距离为1，点D到x轴的距离为2，则点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点D作，交x轴于点E，过点C作，交y轴于点F， 根据题意，可知， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 5．如图，正六边形与正方形的边长均为4，则正六边形与正方形的面积之差为 ．（结果保留根号） 【答案】 【详解】∵正六边形可分成6个边长相等的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴正六边形与正方形的面积之差为：． 故答案为：． 6．如图，四边形、均为正方形，且、、三点在同一直线上，在线段上，为上一点，，与交于点，连接、、． (1)求证： (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)20 【详解】（1）解：∵四边形、均为正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， （2）解：过点A作，交延长线于H，如图所示： 则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 7．如图，在中，，点D是的中点，过点D分别作交于点E，交于点F． (1)求证：四边形为菱形； (2)当等于多少度时，四边形为正方形，并说明理由？ 【答案】(1)见解析 (2)时，四边形是正方形．理由见解析 【详解】（1）证明：连接， ，， 四边形是平行四边形，， ，点D是的中点， 是的角平分线， ， ， ， 平行四边形为菱形； （2）解：在中，当时，四边形是正方形， ，， ∴时，四边形是正方形． 8．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 ． 【答案】①②③ 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 9．已知正方形，F是射线上一动点（不与点C，D重合），作射线，交直线于点E，交于点H，连接，过点C作交直线于点G．若点F在边上，如图． (1)求证：； (2)请猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴. （2）解：是等腰三角形. 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 10．如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 11．如图，在平面直角坐标系中，是原点，四边形是边长为5的正方形，点，分别在轴，轴正半轴上，为边上任意一点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，且，过点作，交于点，连接，，设． (1)求点的坐标：（用含的代数式表示） (2)试判断线段的长是否随点位置的变化而变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5，理由见详解 【详解】（1）解： 如图所示，过点作轴于，则，， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5，理由如下： 如图所示，连接与交于点， ，，， 四边形是矩形， 又， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是平行四边形， ． 线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$