第7章 一元一次不等式与不等式组（单元复习课件）数学新教材沪科版七年级下册

大单元期考整合复习 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第7章 一元一次不等式与不等式组 知识结构 2 考点1 四个概念： (1)不等式：用不等号<m></m> 、<m></m> 、<m></m> 、<m></m> 或<m></m>表示不等关系的式子叫作不等式. (2)一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1且不等号两边都是整式 的不等式叫作一元一次不等式. (3)一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式 组叫作一元一次不等式组. (4)不等式组的解集:我们把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组 成的一元一次不等式组的解集. 考点梳理 3 1. 已知：;;; ; ，其中属于不等式 的有( ) B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 针对训练 2. [2024许昌期末] 若是关于 的一元一次不等式，则 的值 为( ) D A. 0 B. C. D. 1 4 3. 下列是一元一次不等式组的是( ) B A. B. C. D. 4. 不等式组 的解集在数轴上表示为( ) A A. B. C. D. 5 5. 下列说法中，正确的有( ) 是不等式的解；②不等式的解是 ； ③不等式组的解集是 ；④不等式组的解集是； ⑤不等式组 无解. C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6 不等式的基本性质： (1)如果,那么, ； (2)如果,,那么 , ； (3)如果,,那么 , ； (4)如果,那么 ； (5)如果,，那么 . 考点梳理 考点2 不等式的性质 7 6. [2024重庆江北区期末] 若 ，则下列式子错误的是( ) D A. B. C. D. 针对训练 8 1.一元一次不等式的解法：去分母；去括号；移项;合并同类项；系数化为1. 2.一元一次不等式组的解法：分别求出各不等式的解集；在同一数轴上表示不等 式的解集；数轴上的公共部分即为不等式组的解集. 考点3 四个解法 考点梳理 3.利用数轴找不等式组整数解的方法： (1)解不等式组；(2)将不等式组的解集在数轴上表示出来； (3)观察解集在数轴上的区间范围；(4)确定其整数解. 9 4.含参不等式组的解法： 理解题目： 首先，仔细阅读题目，理解不等式中参数的作用和不等式的具体形式。 确定参数范围： 根据题目条件或不等式的性质，确定参数的可能取值范围。 分类讨论： 根据参数的不同取值范围，对不等式进行分类讨论。 在每一类讨论中，将参数视为常数，解出不等式的解集。 合并解集： 将每一类讨论得到的解集进行合并，得到最终的解集。 验证解集： 验证得到的解集是否满足原不等式和题目条件。 注意细节： 在解题过程中，要注意不等式的方向（大于、小于、大于等于、小于等于）和等号成立的条件。 还要注意参数的取值范围是否对解集有影响。 考点梳理 7.解下列不等式并把解集在数轴上表示出来. （1） ； 【解】去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得，系数化成1，得 . 将不等式的解集在数轴上表示如图： 针对训练 11 （2） . 【解】去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得，系数化成1，得 . 将不等式的解集在数轴上表示如图： 12 8.解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来. （1） 【解】 由①，得，由②，得 ， 则原不等式组的解集为 . 在数轴上表示如图： 针对训练 13 （2） 【解】 由①，得，由②，得 ， 则原不等式组的解集为 . 在数轴上表示如图： 14 9.不等式组 的整数解是___. 2 10.使 成立的最大整数是多少？ 【解】将原不等式移项、合并同类项，得 . 系数化成1，得 . 在数轴上表示如图所示. 因为在这个解集范围内的最大整数为 ， 所以使成立的最大整数是 . 针对训练 15 11.已知方程组的解满足为非正数， 为负数. （1）求 的取值范围； 【解】解方程组得 因为,，所以解得 . （2）在（1）的条件下，若不等式 的解集为，求出整数 的值. 【解】因为不等式的解集为 ， 所以，解得 . 又因为，所以的取值范围是 . 又因为是整数，所以的值为， . 16 12.若关于的不等式组 的所有整数解的和为14，求整数 的值. 【解】 解不等式①，得，解不等式②，得 ， 所以原不等式组的解集为 . 因为该不等式组所有整数解的和为14，所以不等式组的整数 解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0， . 所以或 . 所以或 . 又因为为整数，所以或 . 17 13.[2024德州期末] 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②， 则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖.特别地，若一个不等式（组）无解， 则它被其他任意不等式（组）覆盖.例如：不等式被不等式 覆盖，不 等式组 无解，被其他任意不等式（组）覆盖. （1）下列不等式（组）中，能被不等式 覆盖的是______；（填序号） ； ； ； ③④ 针对训练 18 （2）若关于的不等式被 覆盖，求 的取值范围； 13.[2024德州期末] 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②， 则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖.特别地，若一个不等式（组）无解， 则它被其他任意不等式（组）覆盖.例如：不等式被不等式 覆盖，不 等式组 无解，被其他任意不等式（组）覆盖. 【解】移项，得 ， 合并同类项，得，系数化成1，得 . 因为不等式被 覆盖，所以，解得 . （3）若关于的不等式组 被覆盖，直接写出 的 取值范围. 或 . 19 1.列不等式解决实际问题的步骤： (1)审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系列出不等式； (4)解：解不等式，求出其解集； (5)验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意；检验时，要注意实际问题中的隐含条件. (6)答：写出答案. 考点梳理 考点4 两个应用 考点梳理 一元一次不等式组的应用 基本步骤：审→设→列→解→验→答. (1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系； (2)设：恰当地设未知数； (3)列：依据题中的不等关系列出不等式组； (4)解：解不等式组，求出解集； (5)验：检验所求得的解集是否符合题意和实际意义； (6)答：写出答案. 解法提醒 列一元一次不等式组的步骤和要求与列一元一次不等式一样. 所不同的是题中所反映的数量关系不止一个，因此需要将所有反映数量关系的语句用不等式一一表示出来，形成一元一次不等式组. 14.小南计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户（如图 ①），该窗户长为6米，宽为米 ，玻璃上方安装 了两张半径相同且不重叠的扇形遮光帘（如图②）. （1）该窗户的透光面积共__________平方米.（用含 的代数式表示，结果保留 ） （2）安装一扇这样的窗户需要6块长方形玻璃，2张遮光帘，某厂家现有50名工人， 平均每名工人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为了使每天的产品刚好配套， 应该分配多少名工人生产长方形玻璃，多少名工人生产遮光帘？ 【解】因为安装一扇这样的窗户需要6块长方形玻璃，2张遮光帘，所以长方形玻璃 的数量是遮光帘数量的3倍. 设分配名工人生产长方形玻璃，则 名工人生产遮光帘， 得，解得，则 . 答：分配30名工人生产长方形玻璃，20名工人生产遮光帘. 23 15.（真实情境题航天科技）北京时间2024年10月30日12时51分，在轨执行任务的 神舟十八号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十九号航天员乘组 入驻中国空间站.某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型.已知销售 店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和 2个“天宫”模型一共需要280元. （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价. 【解】设每个“神舟”模型的进价为 元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得解得 所以每个“神舟”模型的进价为50元，每个“天宫”模型的进价为40元. 24 （2）该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型 个，如果购进 “天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3 490元，那 么该销售店共有几种进货方案？ 【解】根据题意，得 解得 . 又因为取整数，所以或28或29.所对应的 的值分别为53，52，51. 所以该销售店共有3种进货方案： ①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型53个； ②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型52个； ③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个. 25 1. 填空： A组 (2) 某种植物生长的适宜温度不能低于18℃，也不能高于22℃，若设该种植物生长的适宜温度为 x ℃，请你用含 x 的不等式表示这种植物生长的适宜温度范围_________________； (1) x的 与x的差为正数，用不等式表示为_____________; 18 ≤ x ≤ 22 课本复习题 (3) 恩格尔系数是指家庭日常食品支出占家庭消费支出总额的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平.根据联合国粮农组织提出的标准，不同类型家庭的恩格尔系数如下表所示: 设恩格尔系数为 n，请你用含 n 的不等式表示小康型家庭的恩格尔系数的范围_________________； 家庭类型 贫穷 温饱 小康 相对富裕 富足 极其富裕 恩格尔系数 60%以上 50% ~ 60% 40% ~ 50% 30%~40% 20%~30% 20%以下 40% < n < 50% (4) 如果 a + b > c + b，那么a _______ c； (5) 如果 c < 0，且 ，那么a _______ b. > < ( ) ( ) ( ) 2. 在下列括号内填上不等式变形的依据： (1) 由 3x – 5 >1，得3x > 6. (2) 由 -2x >1，得x < . (3) 由 1- x < 3，得 -x < 2. (4) 由 ，得 . ( ) 不等式的性质1，合并同类项法则 不等式的性质3 不等式的性质1，合并同类项法则 不等式的性质2 3. 解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集： (1) 7-2(x-3) ≤ 5x-1； 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 -2 -3 -1 0 1 2 3 4 解： 在数轴上表示不等式的解集，如图 去括号，得 7-2x + 6 ≤ 5x - 1 -2x - 5x ≤ - 1 - 7 - 6 -7x ≤ - 14 x ≥ 2 (2) 去分母，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 -5 -6 -4 -3 -2 -1 0 1 解： 在数轴上表示不等式的解集，如图 6 - 2x ≤ 3 (x + 10) 去括号，得 6 - 2x ≤ 3x + 30 -2x - 3x ≤ 30 - 6 -5x ≤ 24 (1) x-1< 0， 1-x ≥ 3； 4. 解下列不等式组： ① ② 解不等式①，得 x < 1 解不等式②，得 x ≤ -2 不等式组的解集是 x ≤ -2. 解： (2) 1< 4x – 3 < 5； 解： 将该不等式转化为 1< 4x - 3 4x - 3 < 5 ① ② 解不等式①，得 x > 1 解不等式②，得 x < 2 不等式组的解集是 1< x < 2. (3) 2x – 3 > x - 1， 2x + 9 < 4x - 1； ① ② 解不等式①，得 x > 4 解不等式②，得 x > 5 不等式组的解集是 x > 5. 解： 3(x-1) < 4 (x-1). (4) ① ② 解不等式①，得 x ≤ 1 解不等式②，得 x > 1 不等式组无解. 解： 5.去年某市空气质量优良的天数与全年天数(365天)之比达到70%，如果明年(365天)这样的比值要超过90%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天? 解： 设明年空气质量优良的天数比去年要增加 x 天，由题意，得 解得 x > 73 答：明年空气质量优良的天数比去年至少要增加 74 天. 6. 某乡在遭遇洪水后，为排除局部低洼地的内涝，安排了抽水速度为20m3/min的抽水机5台同时工作.估计积水量为1.5×105 ~ 1.8×105m3(包括1.5×105 m3和1.8×105m3)，问大约需多少时间才能将积水排完? 解： 1.5×105 ≤ 20×5x ≤ 1.8×105 答：大约需25 ~ 30h能将积水排完. 设 大约需要x min才能将积水排完，由题意，得 解得 1500 ≤ x ≤ 1800 1500 min = 25 h 1800min = 30 h B组 1. 选择： (1) 由 x < y 能得到 ax > ay，则( ). (A) a ≥ 0 (B) a ≤ 0 (C) a > 0 (D) a < 0 D (2) 若 a < b < 0，则下列各式中，不能成立的是( ). (B) a - b < 0 (A) (C) (D) D 2. 如图，数轴上A，B两点对应实数a，b，用“>”或“<”填空： (1) a + b _______ 0； (2) ab _______ 0； (3) a - b _______ 0； (4) |a| - |b| _______ 0. b B -1 0 a A 1 < < > < 3. 求不等式组 的整数解. 解： 将该不等式转化为 解不等式①，得 解不等式②，得 ① ② 不等式组的解集是 . 不等式组的解集为-3、-2、-1、0、1、2. 4. 求不等式组 的最大整数解和最小整数解. 解： ① ② 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组的解集是 . 不等式组的最大整数解为-1，最小整数解为-5. x > -6 5. 三个连续自然数组成一个自然数组，其和小于16，问这样的自然数组共有多少组？把它们分别写出来. 解： 设三个连续自然数中间的数为x，前一个数为(x-1)，后一个数为(x+1)，由题意，得 0 < x + (x-1)+(x+1) < 16 解得 三个连续自然数可以是：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；一共五组. 6. 暑假来临，某游泳馆推出会员卡制度，标准如下表: 会员类型 卡费/元 单次游泳费用/元 A 10 30 B 100 15 小丽准备在该游泳馆购买会员卡游泳，她怎样选择最省钱. 解： 设小丽游泳天数为 x 天，则选择A会员卡所需费用为(30x + 10)元，选择B会员卡所需费用为(15x + 100)元. ① 当30 x+10 < 15x+100 时 x < 6 ② 当30 x+10 = 15x+100 时 x = 6 ③ 当30 x+10 > 15x+100 时 x > 6 答：当小丽游泳次数小于6次时，选择A会员卡省钱；当小丽游泳次数等于6次时，选择A，B会员卡费用相同；当小丽游泳次数大于6次时，选择B会员卡省钱. C组 1. 如果不等式 (a-1)x > a-1 的解集是 x < 1，那么 a 的取值范围是什么？ 解： (a-1) x > a-1 因为不等式解集为 x < 1 所以 a – 1< 0 所以 a < 1 2. 如果不等式组 的解集是 x > 4，那么 a 的取值范围是什么？ - x + 2 < x - 6， x > a 解： -x + 2 < x - 6 x > a ① ② 解不等式①，得 解不等式②，得 x > 4 x > a 所以 a ≤ 4 因为不等式组的解集为x > 4 3. 方程组 的解 x ，y 都是正数，求整数k. 3x + 7y = k 2x + 5y = 20 解： 3x + 7y = k 2x + 5y = 20 解得： x = 5k - 140 y = 60-2k 因为x，y都是正数 5k – 140 > 0 60-2k > 0 解得 28 < k < 30 答：整数k =29. 4. 如果a > b，c > d，那么a + c > b + d 吗？请说明理由. 解： 因为 a > b 所以 a + c > b + c 又因为 c > d 所以b + c > b + d 所以 a + c > b + d 【解析】根据题意，得所以 . 整合1：不等式(组)的相关概念 1.根据“ 的3倍与2的差小于0”列出的不等式是___________. 2.（易错题）若是关于 的一元一次不 等式，则 ___. 0 期考整合练 49 3.下列是一元一次不等式组的是( ) D A. B. C. D. 4.下列说法中，正确的是( ) D A.是不等式 的解 B.是不等式 的唯一解 C.是不等式 的解集 D.是不等式 的一个解 50 整合2：不等式的基本性质 5.若 ，则下列一定成立的是( ) B A. B. C. D. 6.已知关于的不等式，其中， 是常数，且. (填“ ”或“ ”) (1)当___0时，不等式的解集是 ； (2)当___0时，不等式的解集是 . 51 7.实数，， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列 式子中正确的是______.(填序号) ；；； . 整合3：一元一次不等式(组)的解法 8.不等式 的解集为( ) D A. B. C. D. 52 9.[2024·浙江中考] 不等式组 的解集在数轴上 表示为( ) A A. B. C. D. 53 10.解不等式(组) (1) ; 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得.系数化为1，得 . (2) 解：解不等式①，得 . 解不等式②，得 . 所以原不等式组的解集为 . 54 整合4：一元一次不等式(组)的应用 11.（生活情境题）老师和同学们玩猜数游戏.老师在心里想一个100以 内的数，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错.甲问： “小于50吗？”老师摇头.乙问：“不大于75吗？”老师点头.丙问：“不小 于60吗？”老师点头.老师心里想的数 所在的范围为 ( ) B A. B. C. D. 55 12.[2024·宣城期中] 某商品进价为900元，出售时标价为 1 100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证 利润率不低于 ，则至多可打( ) D A.六折 B.七折 C.八折 D.九折 56 13.［立德树人·传统文化］“文房四宝” 是中国独有的书法绘画 工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期. 某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社 团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”.经过调查得 知：甲种“文房四宝”每套的价格比乙种每套的价格贵40元，买5套甲种和10套乙种 共用1 100元. (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少； 解：设甲种“文房四宝”每套的价格是 元，乙种“文房四宝”每套的价格是 元， 根据题意，得 解得 答：甲种“文房四宝”每套的价格是100元，乙种“文房四宝”每套的价格是60元. 57 (2)若学校需购买甲、乙两种类型的“文房四宝”共120套，总费用不超过8 600 元，并且根据学生需求，要求购买乙种 “文房四宝”的数量必须低于甲种“文房 四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低总费用是多少？ 设学校需购买甲种“文房四宝” 套，则购买乙种“文房四宝” 套， 根据题意，得 解得 .因为为整数，所以 可取31，32，33，34，35， 所以有5种购买方案.因为甲种“文房四宝”每套的价格大于乙种“文房四宝”每 套的价格，所以当甲种“文房四宝”购买数量最少时，总费用最低. 所以当 时，总费用最低，且最低总费用为 (元). 58 整合5：数学思想 14.［转化思想］若，且,则 的取值范围 为__________. 15.［整体思想］已知关于, 的二元一次方程组 的解满足,则 的取值范围是 _______. 59 16.［数形结合思想］已知关于的不等式组 的 解集在数轴上表示如图所示，则 的值是_ _. 60 整合6：易错题 17.若关于的不等式组无解，则 的取值范围是 _______. 【易错分析】在确定 与10的大小关系时易出错，可以借 助数轴表示不等式(组)的解集. 61 18.按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入 ”到“？”为一次 操作.如果输入的值为 ，并且进行四次操作才停止，那么 的最大值为____. 10 【解析】依题意可知，操作一次后的结果为 , 操作两次后的结果为 , 操作三次后的结果为 , 操作四次后的结果为 , 所以解得.故 的最大值为10. 62 整合7：聚焦安徽中考 19.[2023·安徽中考] 在数轴上表示不等式 的解集，正 确的是( ) A A. B. C. D. 63 20.[2024·安徽中考] 已知实数，满足 ， ，则下列判断正确的是( ) C A. B. C. D. 64 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$