2025年九年级数学中考二轮复习专题训练：二次函数与特殊四边形综合压轴题

2025年九年级数学中考二轮复习专题训练： 二次函数与特殊四边形综合压轴题 1．如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 3．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，P是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，过点P作轴于点D，交直线于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值； (3)如图②，点，连接并延长交直线于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形． (1)求抛物线的解析式； (2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围； (3)连接，，直接写出的最小值． 6．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，在第三象限内的抛物线上，连交轴于时， (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)如图2，是抛物线第三象限一个动点，过作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，设点横坐标为的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，点在线段上，且，求点坐标及相应的值． 7．已知抛物线的顶点在第一象限． (1)如图（1），若，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C． ①求A，B两点的坐标； ②D是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点D的坐标； (2)如图（2），P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求的最大值． 8．如图，抛物线过点，点是抛物线上一个动点，过点作矩形，使边在轴上（点在点的左侧），点在抛物线上，设点的横坐标是，当时，． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，四边形是正方形？ 9．如图，二次函数（其中、为常数）经过点，对称轴为直线，点在抛物线上，其横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时．直接写出的取值范围； (3)抛物线在、之间的函数部分的最大值为时，求出此时的值； (4)已知点，点关于点的对称点为点，以为对角线构造矩形，其中轴．当，抛物线在矩形内部的函数部分随的增大而增大或者随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 10．已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究：如图1，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，直线与轴相交于点，交线段于点，且.    (1)求，，三点的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，若抛物线的对称轴与直线交于点，试探究，在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过、两点．点为抛物线上一点，且点的横坐标为．    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连结，求周长的最小值； (3)已知点，连结，以为对角线作矩形，且矩形各边直于坐标轴． ①抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求的值； ②连结，设的中点为，当以为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 13．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是二次函数第四象限图象上一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点，顶点为点G，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点M． (1)求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标； (2)当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接，当四边形周长取最小值时，求点E的坐标；在此条件下，以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标； (3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学压轴题训练——二次函数与特殊四边形综合》参考答案 1．(1) (2)9 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出直线的解析式，过点作轴并延长交于E，根据进行求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论，利用平移思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴，把，代入，得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴并延长交于E，则：， ∴， ∴； （3）解：存在； 由（2）知，直线的解析式为：，设， ∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴； ①当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； ②当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 综上：或． 2．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将数字代入，化成顶点式，再根据对称得到顶点代入定点式即可得到答案； （2）根据（1）的原理得到解析式，设，， 表示出，根据二次函数的性质求解即可得到答案； （3）联立两条曲线，求出点的坐标得到点G和点H关于原点对称，结合抛物线对称得到四边形是平行四边形，结合当时四边形是矩形列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵：的顶点是， ∴的顶点为：， ∴的解析式为：， 故答案为：； （2）解：同理（1）可得， 的解析式为：， 设，， ∴， ∵， ∴当时，； （3）解：由得， ， ∴， ∴点G和点H关于原点对称， ∴， 同理可得， 和的顶点关于原点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时， 四边形GHFE是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本体考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据对称求出另外一个抛物线的解析式，再结合特殊图形性质列等式． 3．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）根据题意，点D的横坐标为m，结合抛物线解析式得， 确定直线的解析式为：，从而确定， ，，结合轴， 得到相似三角形，运用等式性质，构造方程解答即可． （3）设，，点，，分为对角线，为对角线， 为对角线，结合中点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C， ∴, 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C， ∴，对称轴为直线，且， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故m的值为． （3）解：存在点，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形． 理由如下： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 由， ∴， 设，，点，， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：或， ∵N是x轴上方抛物线上的一点， ∴或， ∴或都符合题意， ∴或； ∴或； 当为对角线时，，，点，， 由中点坐标公式得： 解得：或， ∵N是x轴上方抛物线上的一点， ∴或， ∴或都符合题意， ∴或； ∴或； 当为对角线时，，，点，， 由中点坐标公式得： 解得：或， ∵N是x轴上方抛物线上的一点， ∴或， ∵，， ∴或都不符合题意，舍去； ∴或； 综上所述，存在点H，使得F，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形且点的坐标为或或或． 【点睛】此题属于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、求函数图象的交点坐标，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N的坐标是解答此题的关键． 4．(1)抛物线的函数表达式为； (2)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）由，，，求出，，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式为，设，，则分当为边时，四边形为平行四边形时；当为边时，四边形为平行四边形时；当为对角线时，四边形为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在点，理由如下， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在直线上， ∴设， ∵点为直线右侧抛物线上一点， 设， 由抛物线的函数表达式为， ∴， ∴当时，， ∴， 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点，此时与点重合； 综上可知：点的坐标为或或． 5．(1) (2) (3)5 【分析】（1）由得，，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）根据，四边形是正方形，得，设，则；当正方形与抛物线有唯一公共点时，，可得此时；当正方形与抛物线有唯一公共点时，可得此时；画出图形可得答案； （3）求出；设，则，，可看作轴上的点到点和点的距离之和，当，，共线时，取最小值，求出可得答案． 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：，四边形是正方形， ， 设，则； 当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图： 把代入得： ， 解得或在左侧，舍去； 此时； 当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图： 把代入得： ， 解得：或与重合，舍去， 此时； 由图可知，当时，正方形与抛物线有公共点； 当正方形与抛物线有公共点时，点横坐标的取值范围是； （3）解：在中，令得：， 解得：或， ； 设，则， ， ， ， 当最小时，取最小值， 而可看作轴上的点到点和点的距离之和，如图： 当，，共线时，取最小值，最小值为的长， ， 的最小值为， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，最短路径等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 6．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的表达式先求得，，，则，再证，由此列比例式可求出的长为3 ，进而得出，将D点坐标代入抛物线的表达式中求出m的值，即可求出抛物线的表达式． （2）由于P点在抛物线上，且横坐标为t，因此纵坐标为．设的表达式为，将P、B两点坐标代入求得，，则可得的表达式为，进而可求得，因此，又由于，根据三角形面积公式即可求出S与t的关系式． （3）如图，过点E作的垂线，作的平分线交的垂线与F，过点F 作 的平行线交的延长线于 N点，连接．则可得，进而可得．设，，则．再证四边形是平行四边形，则可得，进而可得，则可得，．在中根据勾股定理列方程，可得．由，，可求得，进而可得，． 【详解】（1）由，得 ，， ，， ． 当时，， ， ， ，， ， ， ， 解得， ． ∵D点在图像上， ， 解得， ， ∴该抛物线的解析式为：． （2）由得，，， ∵P点在抛物线上，且点横坐标为， ∴点横坐标为， 设的表达式为， 则， 解得， ∴的表达式为：， ， ． ， ， ∴与之间的函数关系式为：． （3）如图，过点E作的垂线，作的平分线交的垂线与F，过点F 作 的平行线交的延长线于 N点，连接． ， ， ，， ， ， 又，， ， ，． 设，，则， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ． ，， ， ． 又， ， 即， ， ． ， ， 解得（舍去），． ， ， ， 解得， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、平行四边形的性质与判定、三角形面积等基础知识．考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想．正确的做出辅助线是解题的关键． 7．(1)①，；②点D为； (2)的最大值是． 【分析】（1）①先求出抛物线的解析式，再把代入方程，即可求解； ②连接交于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为F，G，证明，得出，再由中点公式求出地E的坐标，结合点E的坐标和点A的坐标求得所在的直线的解析式，再联立抛物线的解析式即可求解出点D； （2）过点N作轴，垂足为H，可得，设，根据平行四边形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质求出点N的坐标，代入抛物线解析式进而可求出t的取值范围，进而即可解答． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， ①当时，，解得，， ∴，． ②连接交于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为F，G，如图所示： 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴点E为的中点，由，，点E的坐标为， 求得的解析式为， 由，得， 解得，（舍去）， ∴点D为； （2）解：过点N作轴，垂足为H， ∵P是抛物线对称轴与x轴的交点， ∴， ∵T是x轴负半轴上一点， ∴设． ∵，且， ∴，， 两式相加，得， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 整理为关于m的方程为， 由题意，得， 解得， 此时关于m的方程的两根之和， 当时，m必有正根， ∴的最大值是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，中点坐标公式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 8．(1) (2) 【分析】（1）把，坐标代入解析式，用待定系数法求解析式即可； （2）根据正方形的性质和抛物线的对称性可求出，然后得出点，把点坐标代入（1）中抛物线求出即可． 【详解】（1）解： 抛物线过点， ， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 即，， 把点坐标代入得， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：当四边形是正方形时，， ，，， ， ， 把点坐标代入得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 当时，四边形是正方形． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及矩形和正方形的性质，公式法解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． 9．(1) (2)当时，的取值范围为 (3)的值为或 (4)的取值范围为 【分析】（1）由题意得出，解方程，求出的值即可； （2）根据二次函数的解析式及性质计算即可得出答案； （3）分两种情况：若点在对称轴右侧，即时；若点在对称轴左侧，即时；分别利用二次函数的性质，求解即可得出答案； （4）令抛物线与轴的交点为，可得，求出点，即在轴上，再根据矩形的性质结合轴得出在轴上，画出图形得出当时，才会有抛物线在矩形中，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数（其中、为常数）经过点，对称轴为直线， ， 解得：， 该二次函数的解析式为； （2）解：， 当时，二次函数有最大值为， ， 当时，，当时，； 当时，的取值范围为； （3）解：点在抛物线上，其横坐标为， ， 由（2）可得，抛物线的顶点为， 若点在对称轴右侧，即时，抛物线在、之间的函数部分随的增大而减小， 当时，为最大值，即， 解得：或， ， ； 若点在对称轴左侧，即时，抛物线顶点为最大值，即， 解得：； 综上所述，的值为或； （4）解：令抛物线与轴的交点为， 在中，当时，， ， ，点，点关于点的对称点为点， ，, ，即在轴上， 轴，四边形为矩形， 轴， 在轴上， 如图，当恰与点重合时， ， 此时抛物线没有在矩形内，只有将矩形往上移动，才会有抛物线在矩形中，如图， ，， ， ， 解得：， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的最值、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 10．(1) (2) (3)存在，的坐标为或． 【分析】（1）用待定系数法可得； （2）由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得； （3）可得直线的表达式为，知在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得，，故，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当时，有，解得；当时，，解得． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ； （2）解：由，可得直线解析式为， 设，则， ， ，要使四边形恰好是平行四边形，只需， ， 解得， ； （3）解：在直线上存在点，使得与相似，理由如下： 是的中点，点， 点， 由（2）知， 直线的表达式为， ， 在直线上，，， 过点作轴于点，过作轴于，如图： ，故， ， ， 直线和直线关于直线对称， ，， ， 由点，可得直线的表达式为， 联立， 解得或， 点的坐标为， ， ，，， ， ， ， ， ，即， 与相似，点与点是对应点， 设点的坐标为，则， 当时，有， ， 解得或（在右侧，舍去）， ； 当时，， ， 解得（舍去）或， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形，相似三角形等知识，难度较大，综合性较强，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点． 11．(1)，， (2) (3)或或 【分析】（1）由，得，解得，.可得点，的坐标，由，得.可得点的坐标； （2）过点作轴交于，由平行线分线段成比例性质得，再求得直线的解析式为，再设直线的解析式为，用待定系数法求解即可； （3）分为为对角线时；为对角线时；为对角线时三种情况分类讨论，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）由，得， 解得， 点，的坐标分别为， 由，得 ∴点的坐标为； （2）过点作轴交于   ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得 ∴直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 解，得 ∴直线的解析式为； （3）在平面内存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形 ∵抛物线与轴交于点，点， ∴对称轴为直线. 由（2）可得，当时， 由（1）可知，，； ①当为对角线时， 将点向下平移1个单位，再向左平移3个单位长度， 即可得到点，此时点的坐标为 ②当为对角线时， 将点向下平移3个单位，再向右平移1个单位长度，即可得到点， ③当是对角线时， 将点向上平移一个单位，再向右平移3个单位长度， 即可得到点，点Q为    综上所述，在平面内存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 12．(1) (2) (3)①的值为或或3；②或 【分析】 （1）将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意知抛物线的对称轴为，作点关于抛物线的对称轴为的对称点，则，可知的周长，要使的周长最小，只需使最小，由三角形三边关系可知（当点在上时取等号），即的最小值为，由此可求解； （3）①由题意可知，，，当时，，当时，，分6种情况：当或时，当时，当时，当时，当时，当时，分别讨论即可； ②先证明在锐角三角形中，两边的平方和大于第三边的平方，两边的平方差小于第三边的平方，再根据坐标距离公式表示出，，，再根据，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将、代入得： ，解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为，    ∵，则 作点关于抛物线的对称轴为的对称点，则， ∴的周长， 要使的周长最小，只需使最小， 由三角形三边关系可知（当点在上时取等号），即的最小值为， ∴的周长的最小值为； （3）①由题意可知，，， 当时，，当时，， 即：当或，平行于坐标轴，此时不存在满足题意的矩形， 当时，如图，此时，矩形内部没有随增大而减小的函数图象，故不符合题意；    当时，如图，此时，矩形内部有随增大而减小的函数图象， 最高点在上，纵坐标为，最低点为点，纵坐标为， ∴，解得：，（舍去）；    当时，如图，此时，矩形内部有随增大而减小的函数图象， 最高点为点，纵坐标为，最低点在上，纵坐标为， ∴，解得：；    当时，如图，此时，矩形内部有随增大而减小的函数图象， 最高点为点，纵坐标为，最低点在上，纵坐标为， ∴，解得：，（舍去）；    当时，如图，此时，矩形内部有随增大而减小的函数图象也有随增大而增大的函数图象，故不符合题意；    综上，的值为或或3； ②如图，是锐角三角形，，，，    过点作，则， ∵，，在，， ∴， 即：，同理，，， ∴， 即：在锐角三角形中，两边的平方和大于第三边的平方，两边的平方差小于第三边的平方； ∵，， 则 ∵点为的中点， ∴， 则， ， 当时，，，此时不存在， 当时，，，，三个点均在直线上，此时不存在， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴， 先求， 即：， 整理得：，即， ， 当时，，则，即：， 可得，此时无解，或，解得； ∴， 当时，，则，即：， 可得，解得，或，解得（舍去）； ∴， 即：当时，或； 再求， 即：， 整理得：，即， ， ， 当时，，则，即：， 可得，解得：（舍去），或，解得：， ∴， 当时，，则，即：， 可得，此时无解，或，解得：， ∴， 即：当时，或； ∴当时，或， 综上，当以、、为顶点的三角形为锐角三角形时，或． 13．(1)； (2)，； (3)点P的坐标为或或． 【分析】 （1）用待定系数法可得二次函数的解析式为； （2）求出，直线的函数表达式为，设，则，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）求出抛物线的对称轴为直线；设，，分三种情况：①若，为对角线，②若，为对角线，③若，为对角线，分别解方程组可得答案． 【详解】（1） 解：把，代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为； （2） 解：如图： 在中，令得， ， 设直线的函数表达式为， 由，得： 解得： ∴直线的函数表达式为， 设，则， ， ， ， 当时，取最大值，此时， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为； （3） 解：抛物线的对称轴为直线； 设，， 又，， ①若，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； ②若，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； ③若，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 14．(1)， (2)的最大值，此时 (3)，）或或 【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）过点A作x轴的垂线交直线于点F，过点P作x轴的垂线交直线于点E，再求得设直线的解析为，设，则；进而说明，即当取得最大值时取得最大值，再根据二次函数求得的最值即可解答； （3）四边形中，边与为定值，即当最小时，四边形的周长最小．将点A向上平移2个单位得到，作点C关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交于点．当点E运动到和点重合时最小，运用待定系数法求出直线的解析式为，将代入可求得点；然后分为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线时三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，解得：， ∴抛物线的函数表达式为， ∵， ∴顶点G的坐标为． （2）解：过点A作x轴的垂线交直线于点F，过点P作x轴的垂线交直线于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， 设直线的解析为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最大值时取得最大值， ∵， ∴当时，有最大值3， ∴， ∴的最大值，此时． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形中，边与为定值， ∴当最小时，四边形的周长最小． 将点A向上平移2个单位得到，作点C关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交于点． ∴当点E运动到和点重合时最小， ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴点， 设， ①当为平行四边形的对角线时， ∵， ∴，解得：， ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∵， ∴，解得：， ∴； ③当为平行四边形的对角线时， ∵， ∴，，解得：， ∴． 综上所述，点H的坐标为）或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握中点坐标公式并灵活运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键． 15．(1)y＝－x2－2x＋3 (2) (3)或或 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，由此求出A、B、C的坐标，再把解析式设为交点式利用待定系数法求解即可； （2）如图1，过点作轴交于点，利用待定系数法求出设直线解析式，设，则，求出，即可利用二次函数的性质求解即可； （3）如图2，分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．①当点在轴上方时，根据与纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点在轴下方时，根据与纵坐标互为相反数，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，，， 设抛物线解析式为，将代入，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点， 设直线解析式为，将，代入， 得：， 解得：， 直线解析式为， 设，则， ， ， ， ， 当时，的面积最大，此时点的坐标为； （3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方． ①当点在轴上方时，∵， ∴与纵坐标相等， ， 解得：，（舍去）， ， ②当点在轴下方时，∵为对角线， ∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0， ∴与纵坐标互为相反数， ， 解得：，， 或， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是有关二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积和四边形面积，平行四边形性质，解一元二次方程等知识，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握待定系数法及平行四边形性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想和数形结合思想思考解决问题是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$