专题04 二元一次方程组55道压轴题型专训（11大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题04 二元一次方程组55道压轴题型专训（11大题型） 题型一 二元一次方程的解压轴 题型二 已知二元一次方程组的解求参数 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 方案问题 题型七 行程问题 题型八 销售问题 题型九 几何问题 题型十 三元一次方程组压轴问题 题型十一 二元一次方程组的新定义问题 【经典例题一 二元一次方程的解压轴】 1．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）商店里有A、B、C三种商品，单价分别为50元，30元，10元．若田同学购买了其中两种商品，共花费140元，则田同学的购买方案有（    ）种 A．3 B．7 C．10 D．12 2．（2022·黑龙江鸡西·一模）新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播。所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护。为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）若一个四位正整数的各位数字之和是百位数字与十位数字之和的倍，则称这个四位正整数为“三和数”．将一个“三和数”的百位数字与十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，记，则 ；当“三和数”的百位数字是个位数字的倍，千位数字与十位数字之和能被整除时，，当 最大时， 的值为 4．（23-24八年级下·重庆江津·期末）设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级放大数”．例如正整数2636中，因为，，所以2636是“8级放大数”，其中．最小的“4级放大数”是 ；若一个“6级放大数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是 ． 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对． (1)若，则 ， ；（用含m的式子表示） (2)已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由． 【经典例题二 已知二元一次方程组的解求参数】 6．（24-25七年级下·福建莆田·期末） 已知，是二元一次方程组的解，则m+3n的平方根为 ． 7．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）若方程组的解是，某学生看错了c, 求出解为，则正确的c= ，b= 8．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）已知的解是，求的值． 9．（16-17七年级下·山东德州·阶段练习）已知：甲、乙两人同解方程组  时,甲看错了方程(1)中的a,解得,乙看错了(2)中的b,解得，试求a+b的平方根． 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 11．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 12．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）阅读材料： 已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得 因为t为整数，所以t=0或-1． 所以该方程的正整数解为和． 通过你所知晓的知识，请解决以下问题： (1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则______； (2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解； (3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解． 13．（24-25七年级下·北京通州·期中）阅读以下内容： 已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题； （2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值． 14．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）[阅读材料] 善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程变形：， 即， 把方程代入得：， 所以， 将代入得， 所以原方程组的解为． [解决问题] （1）模仿小明的“整体代换”法解方程组， （2）已知x，y满足方程组，求的值． 15．（24-25七年级下·山东东营·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为　 　； （2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为　 　； （3）由此请你解决下列问题： 若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 【经典例题四 二元一次方程组的错解复原问题】 16．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲正确地解得乙看错了方程②中的系数c，解得，则的值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 17．（11-12七年级下·全国·单元测试）在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（　　） A．，， B．，， C．，， D．不能确定 18．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为 ． 19．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）小朋同学在解方程组的过程中，错把看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为．又已知方程的一个解是，则的值应该是 ． 20．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知方程组由于甲看错了方程中的n的值，得方程组解为；乙看错了方程中的所得方程组为那么m，n的值是二元一次方程的解吗？ 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 21．（24-25七年级下·重庆万州·期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的． 解：由①得：③，由②得：④． ③＋④得：⑤． 当时， 即，解得． ∴①②，得． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若有理数a、b满足，求a、b的值； (2)母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？ 22．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题． (1)已知A（−1，2），B（4，−3），C（−3，4），请问哪个点是方程2x+3y=6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y=6的“理想点”并说明理由； (2)已知m，n为非负整数，且，若P（，）是方程2x+y=8的“理想点”，求的平方根． (3)已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y=1和的“理想点”，求点P的坐标． 23．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）对，定义一种新运算，规定（其中，是非零常数且），这里等式右边是通常的四则运算． 如：，． （1）填空：_____（用含，的代数式表示）； （2）若且． ①求与的值； ②若，求的值． 24．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是 ． 25．（2020九年级·浙江杭州·专题练习）对于实数，，定义新运算，其中，为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若，，则（    ） A．40 B．41 C．45 D．46 【经典例题六 方案问题】 26．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 27．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 28．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券． 素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了______张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为______元． 任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？ 任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案． 29．（24-25七年级下·山东聊城·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．    素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和坐垫______张． 方法三：裁切靠背______张和坐垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 30．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【经典例题七 行程问题】 31．（24-25九年级上·福建福州·自主招生）甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 32．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，已知数轴上的点A，B对应的数分别是和，点P是数轴上一动点． (1)若点P到点A，B的距离相等，求点P对应的数； (2)若点P从点A出发，以4个单位长度秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，请分别求出点P，点Q的运动速度． 33．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？ 34．（24-25七年级下·四川成都·期中）甲、乙两车分别从两地出发，相向而行，都以一定的速度匀速行驶．甲车出发分钟后乙车再出发，两车在之间的地相遇，在之间有一个服务区，途中乙车在服务区休息了分钟，随后乙车的速度比原来减少千米/小时（仍保持匀速行驶），甲车到达地分钟后，乙车才到达地，甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的关系如图所示． 两地的距离为 千米，甲车的速度是 千米/小时，在两车相遇前乙车的速度是 千米/小时． 两车相遇时，求的值． 求之间的距离是多少? 当乙车正要离开服务区时，甲车离地还有多少千米? 35．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时． （1）A、B两地的距离可以表示为　 　千米（用含a，b的代数式表示）； （2）甲从A到B所用的时间是：　 　小时（用含a，b的代数式表示）； 乙从B到A所用的时间是：　 　小时（用含a，b的代数式表示）． （3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？ 【经典例题八 销售问题】 36．（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． (1)小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； (2)原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 37．（24-25八年级下·河南郑州·开学考试）2022年12月7日，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》，发布了优化落实疫情防控的新十条规定，疫情防控迎来新的转折点．为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个．医用口罩和口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系______．小明的妈妈一共有几种购买方案？ 38．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）某超市从厂家购进两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 二 (1)求两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利元，售出一个型水杯可获利元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 39．（24-25七年级下·福建泉州·期中）某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 (1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示） (2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ (3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案． 40．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习） 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品所赚利润_____元 ； (2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？ (3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450 不优惠 超过450，但不超过600 按打九折 超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【经典例题九 几何问题】 41．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 42．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 43．（24-25六年级下·上海徐汇·期中）已知点是数轴上的点，完成下列各题： (1)）如果点表示的数是1，将点向左移动7个单位长度、再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_______，两点间的距离是_________． (2)如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，那么终点表示的数是_________，两点间的距离是_________． (3)如果点所表示的数是1，点在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点距离的一半，则点所对应的数是________． 44．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 45．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，同时放在长方形ABCD中，阴影部分对应的面积分别表示为，，，设，，且x<y． (1)AH＝______，CI＝______，GK＝______（结果用含x、y的代数式表示）． (2)若，求长方形ABCD的面积． (3)在条件（2）下，若空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，求长方形ABCD的长x和宽y的值． 【经典例题十 三元一次方程组压轴问题】 46．（2025九年级下·浙江·学业考试）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 47．（24-25七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 48．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 49．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 50．（24-25八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【经典例题十一 二元一次方程组的新定义问题】 51．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 52．（24-25七年级下·广西河池·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则 ． 53．（24-25七年级下·浙江台州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）． （1）无理数的“雅区间”是 ； （2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为 ． 54．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：________，________． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 55．（23-24七年级下·山东滨州·期末）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． (1)当，且时，_______； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组55道压轴题型专训（11大题型） 题型一 二元一次方程的解压轴 题型二 已知二元一次方程组的解求参数 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 方案问题 题型七 行程问题 题型八 销售问题 题型九 几何问题 题型十 三元一次方程组压轴问题 题型十一 二元一次方程组的新定义问题 【经典例题一 二元一次方程的解压轴】 1．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）商店里有A、B、C三种商品，单价分别为50元，30元，10元．若田同学购买了其中两种商品，共花费140元，则田同学的购买方案有（    ）种 A．3 B．7 C．10 D．12 【答案】B 【分析】需要分类讨论：若购买A、B两种商品分别为x、y件；若购买A、C两种商品分别为a、b件；若购买B、C两种商品分别为m、n件；列出方程求其正整数解即可. 【详解】解：①若购买A、B两种商品分别为x、y件， 根据题意得：， ∵x、y都是正整数， ∴； ②若购买A、C两种商品分别为a、b件， 根据题意得：， ∵a、b都是正整数， ∴或； ③若购买B、C两种商品分别为m、n件， 根据题意得：， ∵m、n都是正整数， ∴或或或； 综上，小明的购买方案有7种； 故选：B. 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的难点在于挖掘题目中的数量关系，列出二元一次方程，然后根据未知数的实际意义求其正整数解. 2．（2022·黑龙江鸡西·一模）新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播。所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护。为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，根据小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买）列出二元一次方程，根据A，B两种型号的医用外科口罩都买得到x的取值范围，从而求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，由题意可得： ， 解得 ， ，A，B两种型号的医用外科口罩都买， ， 所有购买方案为 ， ， ， 有3种购买方案， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 3．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）若一个四位正整数的各位数字之和是百位数字与十位数字之和的倍，则称这个四位正整数为“三和数”．将一个“三和数”的百位数字与十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，记，则 ；当“三和数”的百位数字是个位数字的倍，千位数字与十位数字之和能被整除时，，当 最大时， 的值为 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，二元一次方程的解，直接根据定义求解；设“三和数”m千位、百位、十位和个位的数字分别为a、b、c、d，根据定义可得，根据千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除，列举出符合条件的a、c的值，根据最大时得出的最大值为，进而得出的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：， 设“三和数”千位、百位、十位和个位的数字分别为、、、， ∴， 由“三和数”定义可得， ∴， ∵百位上的数字是个位上的数字的2倍， ∴， ∴，即 ∵千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除， 或或 当时，，不合题意； 当时，则 ∴，∵不合题意，舍去 当时，则， ∴ ∴当取得最大值时， ∴ ∴ ∴ ∴当最大时，， ， 故答案为：，． 4．（23-24八年级下·重庆江津·期末）设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级放大数”．例如正整数2636中，因为，，所以2636是“8级放大数”，其中．最小的“4级放大数”是 ；若一个“6级放大数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．结合所给两个条件判断出所求的数是解决本题的难点．因为是“4级放大数”，那么千位与百位的数字之和等于4，千位数字可选数字1，则百位数字为3；十位与个位数字的和为5，十位可选最小的数字0，则个位数字为5，那么可得最小的“4级放大数”；设“6级放大数”的千位数字为，十位数为，判断出其他数位上的数字，根据这个数千位数字与十位数字之积为6以及这个数能被19整除可得所求的数． 【详解】解：是“4级放大数”， ． 求最小的“4级放大数”， 千位数字可选数字1， 百位数字为3． 十位与个位数字的和为5， 十位可选最小的数字0， 个位数字为5． 最小的“4级放大数”为：； 设“6级放大数”的千位数字为，十位上的数字为，则百位数字为，个位上的数字为． 千位数字与十位数字之积为6， （不合题意，舍去）或或或． “6级放大数”为6016或2434或3325． 这个数能被19整除，上述3个数只有3325是19的整数倍， “6级放大数”为：3325． 故答案为：1305，3325． 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对． (1)若，则 ， ；（用含m的式子表示） (2)已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，； (2)时，存在正格数对，满足条件． 【分析】（1）直接根据新定义进行求解即可得到答案； （2）先根据定义求出c的值，然后根据广芙蓉正格数对的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； ， 故答案为：3；； （2）解：存在，，理由如下： 根据题中的新定义化简，得：， 解得：， ∴， 化简，得：， ∴， 依题意，x，y都为正整数，k是整数， 是奇数， ，3，9， 解得：，0，3， 当时，，，舍去； 当时，，，舍去； 当时，，， 综上，时，存在正格数对，满足条件． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，解题的关键在于能够准确地读懂题意． 【经典例题二 已知二元一次方程组的解求参数】 6．（24-25七年级下·福建莆田·期末） 已知，是二元一次方程组的解，则m+3n的平方根为 ． 【答案】±3 【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得：， ①×2-②得：5m=15， 解得：m=3， 把m=3代入①得：n=2， 则m+3n=3+6=9，9的平方根是±3， 故答案为：±3 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）若方程组的解是，某学生看错了c, 求出解为，则正确的c= ，b= 【答案】 8 1 【分析】把两个解代入第一个方程组的第一个方程，把第二个解代入方程组的第二个方程，即可得到一个关于a，b，c的方程组，即可求解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴把x=2，y=4代入方程组得：， 整理得：， 某同学又看错了c，求出解为，代入ax+by=-1得：3a+b=-1②， ②联立得： ， ②×2-①×3得：， 把b=1代入①得：2a+4=-1，解得：a= ∴ 故答案是：8，1． 【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义，正确得到方程组，解方程组是解题的关键． 8．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）已知的解是，求的值． 【答案】1 【分析】将代入，原方程变为关于的一元一次方程组，然后求出即可得解． 【详解】解：将代入得： 解得 ∴ 【点睛】本题考查了方程组的解得定义及方程组的解法，将方程组的解代入方程组求待定系数是解决本题的关键． 9．（16-17七年级下·山东德州·阶段练习）已知：甲、乙两人同解方程组  时,甲看错了方程(1)中的a,解得,乙看错了(2)中的b,解得，试求a+b的平方根． 【答案】1和-1 【详解】分析：根据甲看错了方程（1）中的a，解得，将代入4x=by-2，以及把，代入ax+5y=15，即可得出a，b的值，求出即可. 详解：把   代入（2）得-8=b-2； 所以b=-6      把代入（1）得5a-20=15 所以a=7   a+b的平方根等于1和-1 点睛：此题主要考查了二元一次方程组的解以及幂的乘方运算，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键． 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 11．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 12．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）阅读材料： 已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得 因为t为整数，所以t=0或-1． 所以该方程的正整数解为和． 通过你所知晓的知识，请解决以下问题： (1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则______； (2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解； (3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解． 【答案】(1)-1 (2)，，． (3)该方程组有3组正整数解，分别为：，，． 【分析】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值； （2）参考小明的解题方法求解即可； （3）先根据（2）得到关于a、b的二元一次方程，再结合a、b均为正整数确定a、b的值，进而得到方程组的所有解． 【详解】（1）解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-5y=11， 解得y=-1， ∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则θ=-1， 故答案为-1； （2）解：方程2x+3y=24一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得-1＜t＜3． 因为t为整数， 所以t=0，1，2． 所以方程2x+3y=24的全部正整数解为：，，． （3）解：由（2）得：9a+2b=24或6a+4b=24或3a+6b=24 ∵a、b均为正整数 ∴ ∴该方程组有3组正整数解，分别为：，，． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、一元一次不等式的整数解等知识点，理解题意、正常列出方程组和不等式是解答本题的关键． 13．（24-25七年级下·北京通州·期中）阅读以下内容： 已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题； （2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值． 【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5． 【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可； （2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可． 【详解】解：（1）选择甲，， ①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8， 解得：m＝， ②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k， 解得：n＝， 代入m+n＝3得：＝3， 去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15， 移项合并得：7k＝21， 解得：k＝3； 选择乙， ， ①+②得：5m+5n＝7k﹣6， 解得：m+n＝， 代入m+n＝3得：＝3， 去分母得：7k﹣6＝15， 解得：k＝3； 选择丙， 联立得：， ①×3﹣②得：m＝11， 把m＝11代入①得：n＝﹣8， 代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4， 解得：k＝3； （2）根据题意得：， 解得：， 检验符合题意， 则a和b的值分别为2，5． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 14．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）[阅读材料] 善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程变形：， 即， 把方程代入得：， 所以， 将代入得， 所以原方程组的解为． [解决问题] （1）模仿小明的“整体代换”法解方程组， （2）已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】（1）原方程组的解为；（2） 【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案； （2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案． 【详解】解： 将方程变形得: 把方程代入得:， 所以 将代入得， 所以原方程组的解为； ， 把方程变形，得到， 然后把代入，得， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数． 15．（24-25七年级下·山东东营·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为　 　； （2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为　 　； （3）由此请你解决下列问题： 若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 【答案】（1）；（2）；（3）a＝3，b＝2． 【分析】（1）利用加减消元法，可以求得； （2）利用换元法，设m+5=x，n+3=y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解； （3）把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m-bn=-2中求出m的值，然后把m的值代入3m+n=5可求出n的值，继而可求出a、b的值． 【详解】解：（1）两个方程相加得， ∴， 把代入得， ∴方程组的解为：； 故答案是：； （2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为， 由（1）可得：， ∴m+5＝1，n+3＝2， ∴m＝-4，n＝-1， ∴， 故答案是：； (3)由方程组与有相同的解可得方程组， 解得， 把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2， 解得m＝1， 再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5， 解得n＝2， 把m＝1代入am＝3得：a＝3， 把n＝2代入bn＝4得：b＝2， 所以a＝3，b＝2． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想． 【经典例题四 二元一次方程组的错解复原问题】 16．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲正确地解得乙看错了方程②中的系数c，解得，则的值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将x=2，y=﹣1代入方程组中，得到关于a与b的二元一次方程与c的值，将x=3，y=1代入方程组中的第一个方程中得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a，b及c的值． 【详解】把代入得：，解得：c=4，把代入得：3a+b=5，联立得：，解得：，则（a+b+c）2=（2﹣1+4）2=25． 故选B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．（11-12七年级下·全国·单元测试）在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（　　） A．，， B．，， C．，， D．不能确定 【答案】B 【详解】解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8， 解得且①， 由于乙看错c，所以 ②， 解由①②构成的方程组可得： 故选B． 18．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． 由于甲看错了，将甲计算得到的解代入等式（2），可求得的值；同理，由于乙看错了，将乙计算得到的解代入等式（1），可计算得的值，然后代入即可求出方程组的解． 【详解】解：将代入方程组中的． 得，解得：． 将代入方程组中的， 得，解得：． 所以原方程组， 解得：． 故答案为：． 19．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）小朋同学在解方程组的过程中，错把看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为．又已知方程的一个解是，则的值应该是 ． 【答案】9 【分析】根据题意，把代入，求出的值，再把和的值代入，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：是是一个解， ∴， ∴， 把和代入，得：， ∴； 故答案为：9． 【点睛】本题考查二元一次方程的解．熟练在为方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． 20．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知方程组由于甲看错了方程中的n的值，得方程组解为；乙看错了方程中的所得方程组为那么m，n的值是二元一次方程的解吗？ 【答案】，方程的解． 【分析】将x=-2，y=-1代入①计算求出m的值，将x=1，y=2代入②中计算求出n的值，即可做出判断． 【详解】解：将，代入得：，即， 将，代入得：，即， 将，代入的左边得：，右边，即左边右边， ，是方程的解． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，弄清题意是解本题的关键． 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 21．（24-25七年级下·重庆万州·期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的． 解：由①得：③，由②得：④． ③＋④得：⑤． 当时， 即，解得． ∴①②，得． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若有理数a、b满足，求a、b的值； (2)母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？ 【答案】(1) (2)12元 【分析】（1）把左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，得出a和b的方程组求解； （2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，然后按照小华的解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得； （2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元， 由题意得，求的值． 设①得：③ ②得：④ ③＋④得：⑤ 当时， 即，解得， ∴， 答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元． 【点睛】本题考查了知识创新类题目，用到的知识点是二元一次方程组的解法，正确理解题目所提供的解答方法是解答本题的关键． 22．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题． (1)已知A（−1，2），B（4，−3），C（−3，4），请问哪个点是方程2x+3y=6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y=6的“理想点”并说明理由； (2)已知m，n为非负整数，且，若P（，）是方程2x+y=8的“理想点”，求的平方根． (3)已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y=1和的“理想点”，求点P的坐标． 【答案】(1)点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点” (2)2m−n的平方根为±4 (3)点P的坐标为 【分析】(1 )根据“理想点"定义进行判断即可； (2)根据题意求出m和n的值，进一步求解即可； (3)解二元一次方程组，得出 ，再根据“理想点”定义求出x和y的值即可． 【详解】（1）， ∴点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点”． （2）把代入方程，得，又∵ 解得， 因为为非负整数，所以 （3）由题意得，解得 ∵x是整数， ∵y是整数，或 当时，； 当时，； 当时，； 当时， 所以点P的坐标为 【点睛】本题考查了二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键． 23．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）对，定义一种新运算，规定（其中，是非零常数且），这里等式右边是通常的四则运算． 如：，． （1）填空：_____（用含，的代数式表示）； （2）若且． ①求与的值； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）把（4，-1）代入新运算中，计算得结果； （2）①根据新运算规定和T（-2，0）=-2且T（5，-1）=6，得关于a、b的方程组，解方程组即可； ②把①中求得的a、b代入新运算，并对新运算进行化简，根据T（3m-10，m）=T（m，3m-10）得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）①∵且， ∴ 解得： ②∵a=1，b=，且x+y≠0， ∴． ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识，理解新运算的规定并能运用是解决本题的关键 24．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是 ． 【答案】 【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0， 因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解， 所以， 解得：． 故答案为：． 【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想． 25．（2020九年级·浙江杭州·专题练习）对于实数，，定义新运算，其中，为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若，，则（    ） A．40 B．41 C．45 D．46 【答案】B 【分析】根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a和b的值，再根据定义新运算公式求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 解得： ∴=41 故选B． 【点睛】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是解决此题的关键． 【经典例题六 方案问题】 26．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 27．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 【答案】任务一：6；880；任务二：型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；任务三：使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用； 任务一：根据消费券规则求解； 任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解； 任务一：先分类讨论，列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解． 【详解】解：任务一：用型的消费券数量为：， 满减前至少消费（元）， 实际消费最少为（元）． 故答案为：6；880； 任务二：设型的消费券张，则型的消费券张，型的消费券张， 由题意可得， 解得． 型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张； 任务三：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，， ①、型：． ， ，都是正整数，，， 无解； ②、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； ③、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； 综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小 28．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券． 素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了______张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为______元． 任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？ 任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案． 【答案】任务一：4，1011；任务二：小观一家用了4张型的消费券，6张型的消费券，3张型的消费券；任务三：付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券，见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （任务一）利用使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数），可求出使用型的消费券的张数，再利用此时减券前的消费金额最少使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数，即可求出此时减券前的最少消费金额； （任务二）设小观一家用了张型的消费券，张型的消费券，则用了张型的消费券，根据“小明一家用13张、、型的消费券消费，且消费金额减了390元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务三）设小观一家用了a张型的消费券，b张型的消费券，c张型的消费券，可得，当仅用A型和B型时，不符合题意； 当仅用A型和C型时，， 符合题意的为，付款为：；当仅用B型和C型时，，符合题意的为，付款为：，故付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券． 【详解】解：（任务一）根据题意得： （张， 此时减券前的消费金额最少为 （元． 故答案为：4，1011； （任务二）设小观一家用了张型的消费券，张型的消费券，则用了张型的消费券， 根据题意得：， 解得：， （张． 答：小观一家用了4张型的消费券，6张型的消费券，3张型的消费券； （任务三）设小观一家用了a张型的消费券，b张型的消费券，c张型的消费券， 由于小观一家4人， ∴， 当仅用A型和B型时，，即， 没有符合题意的整数a，b，故舍去； 当仅用A型和C型时，，则 符合题意的为，付款为：； 当仅用B型和C型时， 符合题意的为，付款为：； 由于， ∴付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券． 29．（24-25七年级下·山东聊城·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．    素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和坐垫______张． 方法三：裁切靠背______张和坐垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：480张学生椅；任务三：需要购买该型号板材1615张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张． 【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据每张靠背宽15 ，每张坐垫宽40 ，每张板材长240 ，列二元一次方程，根据m、n都是自然数，赋值解答，得到，或，或，还有两种方法； 任务二：根据110张板材的总长除以每张椅子的靠背与坐垫的总宽即得； 任务三：设用张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张；用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张．根据现有4张座垫和12张靠背，列二元一次方程组解答． 【详解】解：任务一： 设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据题意得： ， ， ，为非负整数， ，或，或， 方法二：裁切靠背8张和坐垫3张； 方法三：裁切靠背0张和坐垫6张； 故答案为：8，3；0，6； 任务二： （张）， 该工厂购进110张该型号板材，能制作成480张学生椅； 任务三：设用其中张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张， 根据题意得，， 解得， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张（方法不唯一）． 【点睛】本题主要考查了配套问题，熟练掌握运用配比列二元一次方程或二元一次方程组，根据未知数是自然数赋值解二元一次方程，是解决问题的关键．任务三可以分别计算688张靠背需要的板材张数，696张坐垫需要的板材张数，方法更简便（方法不唯一）． 30．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台 【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． 【经典例题七 行程问题】 31．（24-25九年级上·福建福州·自主招生）甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 【答案】摩托车走完全程要216分钟． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇，则，据此可得，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们推出，可得；再根据如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B得到，则，进而可得，，据此求出摩托车需要的时间即可． 【详解】解：设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇， 由题意得，， ∴； ∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分钟 答：摩托车走完全程要216分钟． 32．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，已知数轴上的点A，B对应的数分别是和，点P是数轴上一动点． (1)若点P到点A，B的距离相等，求点P对应的数； (2)若点P从点A出发，以4个单位长度秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，请分别求出点P，点Q的运动速度． 【答案】(1)点P对应的数为； (2)存在，当或时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍； (3)P点的运动速度单位长度秒，Q点的运动速度单位长度秒． 【分析】（1）设点P对应的数为x，表示出与，根据求出x的值，即可确定出点P对应的数； （2）表示出点P对应的数，进而表示出与，根据求出t的值即可； （3）设P点的运动速度m单位长度秒，Q点的运动速度n单位长度秒，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】（1）点A、B对应的数分别是和， 设点P对应的数为x，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴点P对应的数为； （2）存在，理由如下， 由题意可知，设运动时间为t秒， P对应的数为， 则， ， 当时，解得， 当时，解得， 答：当或时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍； （3）设P点的运动速度m单位长度秒，Q点的运动速度n单位长度秒， 根据题意得， 解得 答：P点的运动速度单位长度秒，Q点的运动速度单位长度秒． 【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离、一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用等知识，根据题中描述找到等量关系式是解题的关键． 33．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？ 【答案】(1)a和b的值分别为60，40； (2) 【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可； （2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可． 【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等， ∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km． ∴由题意得：， 解得：； 即a和b的值分别为60，40； （2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等， ∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时 ∴由题意得： 解得：； ∴甲车前一半的时间为：， 由于，则乙h时行的路程为：， ∵， ∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km， ∴相遇时甲车还没行驶到60km， ∴相遇时间为：， 则离A地的路程为：． 即：两车相遇时，离A地． 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键． 34．（24-25七年级下·四川成都·期中）甲、乙两车分别从两地出发，相向而行，都以一定的速度匀速行驶．甲车出发分钟后乙车再出发，两车在之间的地相遇，在之间有一个服务区，途中乙车在服务区休息了分钟，随后乙车的速度比原来减少千米/小时（仍保持匀速行驶），甲车到达地分钟后，乙车才到达地，甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的关系如图所示． 两地的距离为 千米，甲车的速度是 千米/小时，在两车相遇前乙车的速度是 千米/小时． 两车相遇时，求的值． 求之间的距离是多少? 当乙车正要离开服务区时，甲车离地还有多少千米? 【答案】（1）355,50,60；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）t=0时表示两地距离，然后根据路程速度时间的关系求解甲车的速度即可，在至时间段内可以看做以甲乙的速度和行驶了220km，代入甲的速度即可求解乙的速度； （2）根据甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=355km，列出方程即可求解； （3）根据题意做出示意图，根据前两问结论求出AC和BC的距离，然后设乙车在行驶时间为行驶时间为，根据路程的等量关系列出方程组，得到，然后即可求解CD； （4）此时甲车离开C点后又行驶了小时，然后求出路程，最后用BC距离减去甲行驶的路程即可求解． 【详解】（1）由图可知，当时，表示甲、乙两车距离， 即两地距离为千米， 由图知甲车分钟走了： （千米）， （千米/小时）， 又 解得：（千米/小时）． 故答案是：355，50，60； （2）设相遇时间为x， 相遇时， （3）如图所示，当小时时，甲、乙两车相遇， 即甲、乙两车到达点处， 的距离为：（千米）， 的距离为：（千米）， 甲车在行驶时间为：小时， 乙车从到行驶总时间为：（小时）， 设乙车在行驶时间为行驶时间为， 解得：小时， 距离为：（千米）． （4）当乙车正要离开服务区时，甲行驶时间为： （小时）， 甲车行驶距离为（千米）， 甲车离地距离地为：（千米）． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次方程的应用，属于行程问题，重点是能读懂图像示意图，关键是根据速度时间和路程的关系列出方程． 35．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时． （1）A、B两地的距离可以表示为　 　千米（用含a，b的代数式表示）； （2）甲从A到B所用的时间是：　 　小时（用含a，b的代数式表示）； 乙从B到A所用的时间是：　 　小时（用含a，b的代数式表示）． （3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？ 【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+）；（2+）；（3）36. 【分析】（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论； （2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论； （3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论． 【详解】（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米． 故答案为：2（a+b）． （2）甲乙相遇时，甲已经走了千米，乙已经走了千米， 根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需小时到达B地，乙还需小时到达A地， 所以甲从A到B所用的时间为（2+ ）小时，乙从B到A所用的时间为（2+）小时． 故答案为：（2+）；（2+）． （3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝小时． 依题意，得： ， 令x＝a+b，则原方程变形为， 解得：． 答：AB两地的距离为36千米． 【点睛】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【经典例题八 销售问题】 36．（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． (1)小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； (2)原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 【答案】(1)见解析 (2)有5种购买方案，当时，，花费最高 【分析】本题考查二元一次方程组的实际问题和一元一次不等式的实际问题，正确理解题意，找出数量关系并列出方程组或不等式是解题的关键． （1）根据题意，设、两种年货单价分别为、元，列出方程组求解，然后结合实际说明即可； （2）设购买种年货个，列出不等式组求解，然后结合实际情况即可求解； 【详解】（1）解：设、两种年货单价分别为、元， 即， 解得：， ∵种年货单价不应为负， ∴小宏记录错误． （2）解：设购买种年货个，则种年货个， 即：， 即， 解得：， ∵年货个数为正数， ∴可以取、、、、， ∴共有5种购买方案； ∵是关于的一次函数， ∴随的增大而减小， 即当时，取最大值，， ∴当时，花费最高； 37．（24-25八年级下·河南郑州·开学考试）2022年12月7日，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》，发布了优化落实疫情防控的新十条规定，疫情防控迎来新的转折点．为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个．医用口罩和口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系______．小明的妈妈一共有几种购买方案？ 【答案】(1)医用口罩的单价为1.5元，洗手液的单价为25元 (2)，有3种购买方案：①购买口罩50个，购买医用口罩150个，购买洗手液9瓶；②购买口罩100个，购买医用口罩100个，购买洗手液6瓶；③购买口罩150个，购买医用口罩50个，购买洗手液3瓶 【分析】此题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用——购买问题．解题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，解二元一次方程组，二元一次方程的解的定义，是解决问题的关键． （1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元，列二元一次方程组求解即可； （2）首先根据题意得到，整理得到，根据都为正整数，赋值a，求出对应的b值即可． 【详解】（1）设医用口罩的单价为元/个，洗手液的单价为元/瓶， 根据题意得，． 解得：， 答：医用口罩的单价为1.5元，洗手液的单价为25元． （2）购买口罩a个，为正整数，购买洗手液瓶，则买医用口罩个， 根据题意得，， 整理得：， 即有， ∵都为正整数， ∴，，， 即有3种购买方案． 答：有3种购买方案： ①购买口罩50个，购买医用口罩150个，购买洗手液9瓶； ②购买口罩100个，购买医用口罩100个，购买洗手液6瓶； ③购买口罩150个，购买医用口罩50个，购买洗手液3瓶． 故答案为：． 38．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）某超市从厂家购进两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 二 (1)求两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利元，售出一个型水杯可获利元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 【答案】(1)种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元 (2)为元，利润为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，一次函数的实际应用，整式加减中的无关型问题，解题的关键在于能够正确理解题意． （1）设种型号的水杯进价为x元，种型号的水杯进价为y元，然后根据表格列二元一次方程组，求解即可； （2）设总利润为元，购进种水杯个，根据题意可以得到，再由捐款后所得的利润始终不变，可知值与值无关，所以，得到的值，再代入可得，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）设种型号的水杯进价为x元，种型号的水杯进价为y元， 根据题意得：，                                 解得：．                                                     答：种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元； （2）∵设总利润为元，购进种水杯个， 依题意，得：，        ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴值与值无关， ∴， 解得：， ∴，                                      答：捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元． 39．（24-25七年级下·福建泉州·期中）某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 (1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示） (2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ (3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案． 【答案】(1)； (2)甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只； (3)该同学共有2种购买方案，方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩． 【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可； （2）设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩万只，乙种型号的防疫口罩万只，根据该公司三月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只且全部售出后获得的总利润为8.8万元，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）由题意可得：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为（万元）， 故答案为：； （2）设甲型号口罩生产x万只，乙型口罩生产了y万只， 由题意可得： ， 解得：， 答：甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只； （3）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 该同学共有2种购买方案， 方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩； 方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 40．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习） 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品所赚利润_____元 ； (2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？ (3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450 不优惠 超过450，但不超过600 按打九折 超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)40， 30 ； (2)购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元 (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 【分析】（1）直接由“进价=售价-利润”、“单件利润=售价-进价”计算即可得到答案； （2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，然后结合条件列出方程组，即可得到甲、乙两种商品的数量； （3）先设小梅购买乙种商品a件，然后根据乙种商品原来的钱进行分类讨论，再根据实际付款列出方程求得a的值，最后得到结果． 【详解】（1）由题意得， 甲种商品每件进价为60-20=40（元）， 乙种商品每件的利润为80-50=30（元）， 故答案为：40，30． （2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意有                      解得       40×20+10×30=1100 所以购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元 （3）设打折前一次性购物总金额为a元， 若a超过450，但不超过600，则有 ，解得 ，   此时购买乙种商品的数量为：（件）；      若a超过600，则有 ，解得 ， 此时购买乙种商品的数量为： （件）；   综上所述，小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 【点睛】本题以销售问题为背景，考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知销售问题有关的计算公式． 【经典例题九 几何问题】 41．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完 (2)能，理由见解析 (3)丙纸板的张数为张或张 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张， 由题意得：， 解得：， 答：做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完； （2）解：能，理由如下， ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∴当竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为； （3）解：设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∵纸板的使用率为， ∴、均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴或， ∴丙纸板的张数为张或张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确的识图、找准等量关系列出方程组是解题的关键． 42．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①②③ (2)①；②立方厘米 (3)厘米或厘米或厘米 【分析】（1）根据无盖长方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②如图，设，，根据题意可得，，继而得到，根据长方体的体积公式即可得解； （3）列出无盖长方形纸盒的展开图，并根据“展开图外围周长为厘米”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠， ④不能折成一个无盖长方体纸盒， ①②③才能折成一个无盖长方体纸盒， 故答案为：①②③； （2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米） 故答案为：； ②如图，设，， ∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴（立方厘米）， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；    （3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米， ①如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 该方程无解；    ②如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ③如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ④如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ⑤如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米． 【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． 43．（24-25六年级下·上海徐汇·期中）已知点是数轴上的点，完成下列各题： (1)）如果点表示的数是1，将点向左移动7个单位长度、再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_______，两点间的距离是_________． (2)如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，那么终点表示的数是_________，两点间的距离是_________． (3)如果点所表示的数是1，点在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点距离的一半，则点所对应的数是________． 【答案】(1)；2 (2)； (3)或4 【分析】（1）利用平移性质和绝对值的性质求解即可； （2）利用平移性质和绝对值的性质求解即可； （3）利用平移性质和绝对值的性质列出方程组，分别解出两种情况的方程，即可解答． 【详解】（1）解：，故点表示的数是； ，故、两点间的距离是2； 故答案为：；2． （2）解：点表示的数是：； 、两点间的距离是； 故答案为：；． （3）解：设点表示的数为，点表示的数为， 由题得：， 解得：或， 点坐标为或4． 故答案为：或4． 【点睛】本题考查了数轴表示数的应用，解题的关键是掌握绝对值及点的平移的性质． 44．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)40个竖式无盖，80个横式无盖； (2)能，理由见解析 (3)240或245 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，由题意，得： ，解得：； 答：可做40个竖式无盖纸盒，80个横式无盖纸盒； （2）能；理由如下： ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：； ∴当制作竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为． （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：， ∵纸板的使用率为， ∴均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴丙种纸板的数量为张或张． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． 45．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，同时放在长方形ABCD中，阴影部分对应的面积分别表示为，，，设，，且x<y． (1)AH＝______，CI＝______，GK＝______（结果用含x、y的代数式表示）． (2)若，求长方形ABCD的面积． (3)在条件（2）下，若空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，求长方形ABCD的长x和宽y的值． 【答案】(1)x-2；y-2；8-y； (2)42； (3)x=6，y=7 【分析】（1）根据图形中各线段的关系，用x、y的代数式表示各线段便可； （2）根据，由长方形面积公式列出x、y的方程，求得xy便可； （3）根据空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，可求得x+y=13，再根据xy=42求解即可． 【详解】（1）解：∵三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，，，且x<y． ∴AH=AB-BH=x-2，CI=BC-BI=y-2，GK=AG+DK-AD=5+3-y=8-y， 故答案为：x-2；y-2；8-y； （2）由题意得：S1=2HE，HE=7-x， 所以S1=14-2x， S2=3GK=24-3y， S3=QI×QF+MN×NC=3（x-5）+（y-5）（x-3）=xy-3y-2x， ∵， ∴38-2x-3y=xy-3y-2x-4， ∴xy=42， 长方形ABCD的面积为42； （3）解：由题意得：DN+DG+KA+AH+EB+BI=y-5+3+y+x-2+x-5+2=2x+2y-10， GK+NC+CI+HE=8-y+x-3+y-2+7-x=10， ∵空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6， ∴（DN+DG+KA+AH+EB+BI）-（GK+NC+CI+HE）=6， ∴2x+2y-10-10=6，即x+y=13， ∵由（2）得：xy=42， ∴或， 解得：或， ∵x＜y， ∴x=6，y=7． 【点睛】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的边长和面积，是解题的关键． 【经典例题十 三元一次方程组压轴问题】 46．（2025九年级下·浙江·学业考试）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 【答案】(1)商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台 (2)当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台；当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台；当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台；当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和方案选择，三种不同型号的电视机，购进其中两种不同型号的电视机，有三种可能． （1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共50台”和“两种不同型号的电视机共用去9万元”，根据这两个等量关系可列出方程组． （2）当题中要问三个未知数的值时，尽量设两个未知数，减少运算量，那么，本题中只需找到两个等量关系即可，在本题中为“三种不同型号的电视机50台”和“三种不同型号的电视机共用去9万元”． 【详解】（1）解：设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为： 当购进甲种型号及乙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 当购进乙种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得（舍去）； 当购进甲种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 综上，商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台 或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台． （2）解：可行． 设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为：时；由题意，得 ∵均是大于0且小于50的整数， ∴当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台； 当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台； 当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台； 当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 47．（24-25七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 【答案】任务1：A，B，C三种型号木板的面积分别是；任务2：一共可以做18个木箱，木箱的总体积；任务3：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，二元一次方程组和三元一次方程组的应用： 任务1：根据图形分别求出三种型号的木板的长和宽，进行计算即可； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：任务1：由图可知，型木板的宽为，型木板的宽和木板的长均为，由图1可知，木板的宽与型木板的宽相同，均为，由图丙可知，型木板的长型木板的宽，由图乙可知，型木板的长等于型木板的长， ∴型木板的面积为： 型木板的面积为： 型木板的面积为：； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 由图1可知，制作一个木盒需要2张，2张和1张， ∴，解得：， ∴共制作型木板，张， ∴共能制作木盒18个， 木箱的总体积为：； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 又原来有20张型木板，故共张型木板， 由题意，得： ∴， 解得：，（均为正整数）， ∵， ∴ ∴当时，，， 即：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时．（答案不唯一） 48．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 【答案】(1) (2)至少开放5个检票口 【分析】（1）根据开放窗口与通过时间相等列方程组求解； （2）设5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放x个检票口．根据开放窗口与通过时间相等列方程和不等式解答． 本题考查三元方程的应用，不等式的应用，根据题意，列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 得， 解得， 将代入①，得， 解得． （2）解：设5分钟内完成检票，需要至少开放x个检票口，根据题意，得 ， 把，代入，得 ， ∵ ， 解得， ∵x为正整数， ∴x最小为5． 答：至少开放5个检票口． 49．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 【答案】任务一：4，1；任务二：最多能制作成600把学生椅；任务三：需要购买该型号板材块，裁切方案为：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【分析】任务一：根据板材长为列式计算即可； 任务二：由板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅，可知方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套，此时共用11块板材，能制作成60把学生椅，然后可得答案； 任务三：先计算出还需要多少椅座和椅背，再计算一共需要的总长度，除以300即为需要该型号板材的数量， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数），由题意列出方程组，求解即可． 【详解】解：任务一：由题意得：（个），（个）， 故方法二：裁切椅背8个和椅座4个；方法三：裁切椅背1个和椅座8个； 故答案为：4，1； 任务二：因为方法二可以裁切出椅背8个和椅座4个，方法三可以裁切出椅背1个和椅座8个， 所以方法二和方法三各裁一块时，能得到椅背9个和椅座12个， 又因为当板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅， 所以方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套， 此时共用11块板材，裁出60个椅背和60个椅座，即能制作成60把学生椅， 所以若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成600把学生椅； 任务三：由题意得：需裁出个椅座，个椅背， ∵（块）， ∴恰好全部用完时，需要购买该型号板材块， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数）， 由题意得：， 整理可得：， 当时，则，， 答：需要购买该型号板材块，裁切方案可以是：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和三元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 50．（24-25八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆 (3)甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元 【分析】（1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得： 3，4，5． 解得：，，． 所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆． （3）三种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）；③（元）． 对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 【经典例题十一 二元一次方程组的新定义问题】 51．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据新定义运算可得，可得，可得，再根据运算法则逐一分析各说法即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 整理得：， ∴其正整数解为：，，，，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， 上式对任意实数x，y均成立， ∴， ∴，故③符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是新定义运算，二元一次方程组的解法，二元一次方程的正整数解问题，含参数的二元一次方程有无数解的问题，理解题意，熟练的利用新定义的运算法则进行运算是解本题的关键． 52．（24-25七年级下·广西河池·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义法则得出，求出的值，再根据新定义运算法则，计算即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解本题的关键在理解新定义运算法则． 53．（24-25七年级下·浙江台州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）． （1）无理数的“雅区间”是 ； （2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为 ． 【答案】 （－3，－2） 1或37 【分析】（1）根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间”；（2）根据“雅区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出c的值． 【详解】（1）∵-3＜＜-2， ∴的“雅区间”是（－3，－2）， 故答案为：（－3，－2）． （2）∵（m，n）是“雅区间”， ∴m和n是相邻的两个整数， 又∵0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解， ∴符合条件的m和n有①m=3，n=4；②m=8，n=9； 当m=3，n=4时，将x=3，y=2代入mx﹣ny＝c得，c=3×3-4×2=1； 当m=8，n=9时，将x=8，y=3代入mx﹣ny＝c得，c=8×8-9×3=37； ∴c的值为1或37， 故答案为：1或37． 【点睛】本题考查新定义、估算无理数的大小及二元一次方程的解等知识，根据新定义结合相关知识正确分析题意是解题关键． 54．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：________，________． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 【答案】(1)，1 (2)， 【分析】（1）根据，结合，解答即可． （2）根据实部等于实部，虚部等于虚部，构造方程组解答即可． 本题考查了新知识的拓展学习，正确理解新知识，并转化成已学知识解答是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴，， 故答案为：，1． （2）解：， ∴， 解得 故x的值为，y的值为． 55．（23-24七年级下·山东滨州·期末）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． (1)当，且时，_______； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（）当，且时，分别求出和即可， （）根据条件列出方程组即可求出的值； （）由任意数对经过运算又得到数对，得，根据 得到代入方程组即可得到答案； 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）当，且时， ， ， ∴， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， ∴，； （3）∵任意数对经过运算又得到数对， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 又均不为， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$