专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 代入消元法 题型七 加减消元法 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 题型十 构造二元一次方程组求解 题型十一 已知二元一次方程组的情况求参数 题型十二 方程组相同解问题 题型十三 三元一次方程组的解法 题型十四 三元一次方程组的应用 题型十五 二元一次方程组的整数解问题 题型十六 二元一次方程组的新定义问题 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A．2024 B． C．1 D． 1．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程，当 时，此方程为二元一次方程． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的个数是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如果是方程的一组解，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 2．（23-24九年级下·山东烟台·期末）已知关于 x，y 的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ． 3．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． (1)求二元一次方程的“完美值”； (2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例3】（24-25八年级·全国·课后作业）给出下列方程组： ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 其中是二元一次方程组的是（    ） A．①② B．②③⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 1．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2023七年级下·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 3．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）下列方程组中①；②；③；④；⑤；是二元一次方程组的是 ．(只填序号) 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 1．（24-25七年级下·湖北随州·期中）若方程组的解是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·贵州黔东南·模拟预测）在下列数对中：①；②；③；④，其中是方程的解的是 ；是方程的解的是 ；既是方程的解，又是方程的解的是 填序号 3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 1．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【经典例题六 代入消元法】 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 (1)； (2) 1．（23-24七年级下·全国·期末）用代入法解方程组： (1) (2) 2．（23-24七年级下·云南大理·期末）定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”； (2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值． 3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． (1)当时，用x的代数式表示y； (2)若是该二元一次方程的一个解， ①探索a与b的数量关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，该方程有一个固定的解，则这个解是 ． 【经典例题七 加减消元法】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． (1)方程的“共轭二元一次方程”为_____________； (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得，代入③，得， 原方程组的解是； (1)请你仿照上面的解法解方程组； (2)解关于的二元一次方程组：． 【经典例题八 二元一次方程组的特殊解法】 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2) 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组． (1)填表，使上下每对的值是对应方程的解； 0 2 0 2 (2)由（1）中数据可得该方程组的解为___________． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下： （1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程． （2）小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A.    B.    C.    D. ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数） 【经典例题九 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（24-25八年级下·全国·假期作业）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·河南漯河·期末）在解方程组时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是．小亮把常数抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【经典例题十 构造二元一次方程组求解】 【例10】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读以下内容：已知数满足，且，求的值． 以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 小明：先解以上关于的方程组，再把解代入，从而求的值； 小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求的值； 小丽：先解方程组，再把所得解代入，即求的值． (1)试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题； (2)试说明关于的方程组，不论取何值，的值始终不变． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． (1)方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明理由； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)已知未知数为x，y的方程组，其中a，x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“友好关系”？如果有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果一对数 ，，满足，我们称这一对数，为“友好数对”，记为；如果一对数 ，，满足，我们称这一对数对为“和气数对”，记为． (1)若是“友好数对”，则________； (2)若有一数对，既是“友好数对”，也是“和气数对”，求， 的值； (3)若是“友好数对”，是“和气数对”，求代数式的值． 【经典例题十一 已知二元一次方程组的情况求参数】 【例11】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 2．（23-24九年级下·湖南娄底·期末）对于未知数x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)方程组，的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； (3)未知数为x，y的方程组，其中a与x，y都是正整数，则该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值；如果不具有，请说明理由． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于x、y的方程组 (1)请写出方程 的一组正整数解； (2)不管m取任何值，方程：总有一个固定解，请求出这个解； (3)若方程组的解满足．，直接写出m的值． 【经典例题十二 方程组相同解问题】 【例12】（23-24七年级下·甘肃天水·期末）若关于x，y方程组解满足，则m值为（    ） A．2 B． C．1 D． 1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知关于的二元一次方程组和关于的二元一次方程组有相同的解，则的值是______． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 【经典例题十三 三元一次方程组的解法】 【例13】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）解方程：． 1．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）； （2）对于有理数，规定一种新运算：⊕，其中，为常数，已知2⊕，⊕，求⊕的值． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，，为正数，且，求的值． 3．（24-25六年级下·上海徐汇·期中）解方程组：． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例14】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在甲、乙两盒坚果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三种坚果，其中甲盒坚果重千克，甲盒里核桃仁的重量占甲盒坚果重量． (1)甲盒里核桃仁重多少千克？ (2)若乙盒坚果重量比甲盒坚果重量多，且乙盒坚果中腰果是乙盒坚果重量的，求乙盒坚果中腰果重多少千克？ (3)在(1)、(2)的条件下，当甲乙两盒坚果混合在一起时，杏仁的重量占，并且在混合之前甲盒中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的倍，求甲盒坚果中腰果重多少千克？ 2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 【经典例题十五 二元一次方程组的整数解问题】 【例15】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 1（23-24七年级下·重庆合川·期末）已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【经典例题十六 二元一次方程组的新定义问题】 【例16】（23-24七年级下·河南商丘·期末）对于有序实数对，，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，例如：． (1)___________(用含有，的代数式表示)． (2)已知，且． ①求，的值； ②直接写出的值为___________． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 1．（24-25七年级下·河南鹤壁·开学考试）已知方程组的解满足．则m的值为（   ） A． B．2 C． D．1 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，则（　　） A．4 B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）二元一次方程组的解是 ． 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为 ． 9．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：．已知，有下列结论： ①； ②若，则； ③关于m，n的二元一次方程有且仅有3组整数解； ④若对任意有理数x，y都成立且，则． 其中结论正确的为 ．（填序号） 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）解方程： (1)； (2) 11．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 12．（24-25七年级上·湖南永州·期末）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系．给出四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥    4 4 6 长方体    8 6 12 五棱柱    10 7 15 正八面体    6 8 12 (1)猜想：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式是_____． (2)若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数． (3)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有22个顶点，每个顶点处都有3条棱． ①求它共有多少条棱； ②若该多面体三角形的个数比八边形的个数的2倍少2，求该多面体三角形的个数． 13．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）例：若方程组的解满足．求m的值 小明的解法是：得：． 然后解 小晨的解法是：得： ∵ ∴ 请选用小晨的方法解下题：若方程组的解满足．求k的值． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期末）阅读下列解题过程，将空格补充完整，借鉴其中一种方法解答后面给出的试题： 问题：某人买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元；买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元．试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元． 分析：设买鸡蛋，鸭蛋、鹅蛋各一个分别需、、元，则需要求的值．由题意，知； 视为常数，将上述方程组看成是关于y、z的二元一次方程组，化“三元”为“二元”、化“二元”为“一元”从而获解． 解法1：视x为常数，依题意得 解这个关于y、z的二元一次方程组得 于是 ． 评注：也可以视z为常数，将上述方程组看成是关于、的二元一次方程组，解答方法同上，你不妨试试． 分析：视为整体，由（1）（2）恒等变形得 ， ． 解法：设，，代入（1）、（2）可以得到如下关于、的二元一次方程组 ，解得 评注：运用整体的思想方法指导解题．视，为整体，令，，代入、将原方程组转化为关于、的二元一次方程组从而获解． 请你运用以上介绍的任意一种方法解答如下数学竞赛试题： 购买五种教学用具、、、、的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教学用具各一件共需多少元？ 品名次数 总钱数 第一次购买件数 第二次购买件数 15．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 代入消元法 题型七 加减消元法 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 题型十 构造二元一次方程组求解 题型十一 已知二元一次方程组的情况求参数 题型十二 方程组相同解问题 题型十三 三元一次方程组的解法 题型十四 三元一次方程组的应用 题型十五 二元一次方程组的整数解问题 题型十六 二元一次方程组的新定义问题 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A．2024 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握“含有两个未知数，并且含未知数项的次数为1的整式方程叫二元一次方程”成为解题的关键． 根据二元一次方程的概念可得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，解得：， ∴． 故选：C． 1．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先判断选项中方程是否含有两个未知数并且未知数的次数都是1，用排除法求出答案． 【详解】解：① 属于二元二次方程，故不符合题意； ②符合二元一次方程的定义，故符合题意； ③不属于整式方程，故不符合题意； ④属于二元二次方程，故不符合题意； ⑤符合二元一次方程的定义，故符合题意； ⑥属于三元一次方程，故不符合题意． 故选． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念，解题过程中需要注意的是熟练掌握二元一次方程的形式和特点：含有2个未知数以及未知数的次数都是1的整式方程． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程，当 时，此方程为二元一次方程． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程为二元一次方程， ∴，且，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】2023 【分析】由二元一次方程的定义可知，的次数为1，据此可列出方程，并求解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， 且，， 解得，， ． 故答案为：2023． 【点睛】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的个数是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出关于，的二元一次方程组的解，再逐项进行判断即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组， 得，，即， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，即， ∴，解得，故①正确； 当时， ， ∵，故②错误； 方程组的解为， ∴，故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提． 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如果是方程的一组解，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】把方程的解代入原方程，即可求得的值． 【详解】解：把代入方程，得： ， 解得:， 故选：． 【点睛】此题主要考查二元一次方程解的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的解． 2．（23-24九年级下·山东烟台·期末）已知关于 x，y 的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据原方程组变形得，，可得，即可求解． 【详解】解：把变形得，， ∵关于 x，y 的方程组的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． (1)求二元一次方程的“完美值”； (2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由题意可得，求出m即可； （3）由，得，由，得，再由，即可求n的值，进而求出完美值． 【详解】（1）∵有“完美值”， ∴， 解得， ∴二元一次方程的“完美值”为； （2）∵是二元一次方程的“完美值”， ∴， 解得； （3）存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同，理由如下： 由，得， 由，得， ∴， 解得， ∴， ∴“完美值”为． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例3】（24-25八年级·全国·课后作业）给出下列方程组： ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 其中是二元一次方程组的是（    ） A．①② B．②③⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 【答案】B 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】① 是三元一次方程组； ②是二元一次方程组； ③是二元一次方程组； ④是二元二次方程组； ⑤是分式方程组； ⑥是二元一次方程组 所以①④⑤不是二元一次方程组. 故选B. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 1．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】方程组、、是二元一次方程组,共3个, 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键． 2．（2023七年级下·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 3．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）下列方程组中①；②；③；④；⑤；是二元一次方程组的是 ．(只填序号) 【答案】②④⑤ 【分析】根据二元一次方程组的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：①中xy的次数为2，不是二元一次方程组； ②是二元一次方程组，正确； ③中x2的次数为2，不是二元一次方程组； ④是二元一次方程组； ⑤是二元一次方程组． 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，理解基本定义是解答此题的关键． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，解题的关键是掌握方程组概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 根据二元一次方程组的解的概念对各选项进行判断，找出正确的一项，问题即可得解． 【详解】解：根据二元一次方程组的解的概念可知，同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 1．（24-25七年级下·湖北随州·期中）若方程组的解是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则原方程组即为，根据题意可得方程组的解是，可得，即可求解. 【详解】解：设， 则方程组即为， 因为方程组的解是， 所以方程组的解是， 所以， 解得：； 故选：B. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解二元一次方程组的解的含义是解题的关键. 2．（2022·贵州黔东南·模拟预测）在下列数对中：①；②；③；④，其中是方程的解的是 ；是方程的解的是 ；既是方程的解，又是方程的解的是 填序号 【答案】 ①③ ③ ③ 【分析】把四组值分别代入方程和，然后根据二元一次方程的解的定义进行判断． 【详解】解：；；；， ∴①③是方程的解； 当，时，， ∴①不是方程的解； 当，时，， ∴②不是方程的解； 当，时，， ∴③是方程的解； 当，时，， ∴④不是方程的解． 故答案为①③；③；③． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【答案】(1)和是是方程的解 (2)和是是方程的解 (3)是方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可； （2）同（1）求解即可； （3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解． 【详解】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解， ∴只有是方程组的解． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出两个方程组的解是解题的关键．设方程组①的解为，则方程组②的解为，得到关于、的二元一次方程组，求出、的值，进而得到题中两个方程组的解，最后得到关于，的二元一次方程组，并解方程组即可求解． 【详解】解：设方程组①的解为，则方程组②的解为， ， 解得：， 是关于，的方程组①的解，是关于，的方程组的解， ， 解得：， 故选：C． 1．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，两式相加得：，根据的和为6，整体代入即可得到k的值，熟练掌握二元一次方程组的解，解一元一次方程并知道将整体代入是解决此题的关键． 【详解】解：两式相加得：， ∴， ∵的和为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 【经典例题六 代入消元法】 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组， （1）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可； （2）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：由可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为； （2）解：整理可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为． 1．（23-24七年级下·全国·期末）用代入法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1） 解：（1）， 把①代入②得：， 去括号得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2） 解： ， 由①得：③， 把③代入②得：， 去分母得：， 移项合并得：，即， 把代入③得：， 则方程组的解为． 2．（23-24七年级下·云南大理·期末）定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”； (2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值． 【答案】(1)． (2)，． 【分析】（1）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解，理解概念即可解题． （2）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“共轭二元一次方程”，再将，代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“共轭二元一次方程”是， （2）解：二元一次方程的“共轭二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解， ， 解得， ，． 3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． (1)当时，用x的代数式表示y； (2)若是该二元一次方程的一个解， ①探索a与b的数量关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，该方程有一个固定的解，则这个解是 ． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．也考查了解二元一次方程． （1）把a、b的值分别代入二元一次方程得到，然后用x表示y即可； （2）①把代入二元一次方程得，则，从而得到； ②利用得到，把它化为关于a的不定方程，则利用a有无数个值得到，然后求出x、y的值，从而得到关于x，y的二元一次方程的固定解． 【详解】（1）解：当时， 二元一次方程化为， 所以； （2）①a与b相等．理由如下： 把代入二元一次方程得， 整理得， ∴， 所以； ②∵， ∴二元一次方程变形为， ∴， ∵无论a、b取何值，该方程有一个固定的解， ∴， 解得， ∴关于x，y的二元一次方程有一个固定的解为． 故答案为：． 【经典例题七 加减消元法】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解，，再把，的值代入﹣，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3），即总有一个解， 方程的解与无关， ，， 解得：，． 则方程的公共解为． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程，掌握加减消元法解二元一次方程是解答本题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得：， 将代入，得， 原方程组的解是； （2）解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 原方程组的解是． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． (1)方程的“共轭二元一次方程”为_____________； (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键， （1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 【详解】（1）解：∵形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”， ∴方程的共辄二元一次方程为， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 整理，得， ，得， ，得，解得， 把代入，得，解得， ，， 故此“共轭方程组”的“共轭系数”为． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得，代入③，得， 原方程组的解是； (1)请你仿照上面的解法解方程组； (2)解关于的二元一次方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）仿阅读解法，用加减法求解即可； （2）仿阅读解法，用加减法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入③，得， ∴； （2）解：， ，得， ，得， ，得， 把代入③，得， ∴． 【经典例题八 二元一次方程组的特殊解法】 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）先由得③，，得④，将原方程组简化后再解方程组即可； （2）先由，得，即，再用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，即③， ，得，即④， 联立③④，得， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：， ，得，即， 把代入①，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组． (1)填表，使上下每对的值是对应方程的解； 0 2 0 2 (2)由（1）中数据可得该方程组的解为___________． 【答案】(1)8，2，，，，2，，4 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程即二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键． （1）将x的值代入到方程中依次可得到y的值； （2）由（1）题可知方程组的解为． 【详解】（1）解：中， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 中， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 故答案为：8，2，，，，2，，4； （2）解：方程组的解是． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，，则原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解得，即，即可求解； （3）原方程组可化为，设，，则原方程组可化为，根据的解为，得，即可求解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 故答案为：． （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得，即， 解得． （3）解：原方程组可化为， 设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下： （1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程． （2）小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A.    B.    C.    D. ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数） 【答案】①D；② 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减以及解二元一次方程组， ①仿照例题，通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． ②将方程变形为，同①的方法即可求解． 【详解】解：①依题意， 解得： 故选：D． ②即 ∵的解是 ∴ 解得： 【经典例题九 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（24-25八年级下·全国·假期作业）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的解代入错方程． 1．（24-25七年级下·河南漯河·期末）在解方程组时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是．小亮把常数抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过小明由于粗心把系数抄错了，得到，通过小亮把常数抄错了，得到，便可将原方程组复原，再求解即可． 【详解】对于方程组， 小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是 ∴ 解得 小亮把常数抄错了，得到的解是 ∴ 解得 ∴原方程组为，解得 故答案选：C． 【点睛】本题是二元一次方程组错解复原问题．通过错解复原原方程组是本题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． 根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 则 故答案为：0． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1；乙把错看成了1 (2) 【分析】 此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，以及错误与的值即可； （2）将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1） 解：将，代入方程组得 ， 解得：， 将，代入方程组得 ， 解得：， ∴甲把错看成了1；乙把错看成了1； （2） 解：根据（1）得正确的，， 则方程组为， 解得：． 【经典例题十 构造二元一次方程组求解】 【例10】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． （2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读以下内容：已知数满足，且，求的值． 以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 小明：先解以上关于的方程组，再把解代入，从而求的值； 小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求的值； 小丽：先解方程组，再把所得解代入，即求的值． (1)试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题； (2)试说明关于的方程组，不论取何值，的值始终不变． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）选择其中一名同学的思路利用加减消元法求解即可； （2）两方程相加求出，再把得到的新方程与方程组中第二个方程相加求出即可得证． 【详解】（1）解：选择小明：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：； 选择小王：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 选择小丽：， 得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）证明：， 得：， 得：， ∴，即不论取何值，的值始终不变． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． (1)方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明理由； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)已知未知数为x，y的方程组，其中a，x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“友好关系”？如果有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)方程组的解x与y具有“友好关系”，理由见解析 (2)或； (3)有，，方程组的解是 【分析】（1）先求出方程组的解，再代入验证即可； （2）由①②得，，则，根据方程组的解x与y具有“友好关系”得到，解得m的值即可； （3）根据该方程组的解x与y具有“友好关系”，则，即或，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程组的解x与y具有“友好关系”， 理由如下： ①②得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2） ①②得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴， 解得或； （3） 若该方程组的解x与y具有“友好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，解得， 与a，x，y都是正整数矛盾，故不成立； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，解得，符合题意， 综上可知，，方程组的解是； 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意是基础，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果一对数 ，，满足，我们称这一对数，为“友好数对”，记为；如果一对数 ，，满足，我们称这一对数对为“和气数对”，记为． (1)若是“友好数对”，则________； (2)若有一数对，既是“友好数对”，也是“和气数对”，求， 的值； (3)若是“友好数对”，是“和气数对”，求代数式的值． 【答案】(1) (2)，； (3)式子的值为． 【分析】（1）由“友好数对”的定义可得关于的一元一次方程，求解即可； （2）由“友好数对”及“和气数对”的定义可得关于和的二元一次方程组，求解即可； （3）由“友好数对”的定义可得关于和的二元一次方程，将其变形整理；由“和气数对”的定义可得，然后将与的关系式及与的关系式代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由“友好数对”的定义得： ， 解得：， 故答案为：； （2）解：由题意得： ， 将②代入①，得：， ∴， ∴， ∴， 把代入②，得：， ∴， ∴，； （3）解：∵是“友好数对”， ∴， ∴， ∵是“和气数对”， ∴， ∴ ． ∴式子的值为． 【点睛】本题考查一元一次方程、二元一次方程（组）在新定义习题中的应用及代数式求值，读懂题中的定义并熟练掌握相关运算法则是解题的关键 【经典例题十一 已知二元一次方程组的情况求参数】 【例11】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意，联立方程得，可求得x，y的值，再将x，y代入，即可求得k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，即的取值与无关，求得，将所求x的值代入，可求得y的值，即为所求的公共解． 【详解】（1）解：联立与， 得      解得 把 代入方程中， 得 ， 解得 （2）∵无论实数k取何值，方程总有一个公共解， ∴的取值与无关， ∴，即方程化为，解得 无论实数k取何值，方程总有一个公共解，该公共解为. 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 2．（23-24九年级下·湖南娄底·期末）对于未知数x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)方程组，的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； (3)未知数为x，y的方程组，其中a与x，y都是正整数，则该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)x与y具有“邻好关系； (2)， (3)x与y是否具有“邻好关系； 【分析】本题考查了解二元一次方程， （1）根据即可得； （2）解方程组得，根据x与y具有“邻好关系”可得，进行计算即可得； （3）两式相加得，根据a，y都是正整数得，， ，，把y的值分别代入②可得x的值，根据“邻好关系”的定义可得当时具有“邻好关系”，即可得a的值； 理解题意，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）x与y具有“邻好关系，理由如下： 解：∵， ∴ ∴x与y具有“邻好关系； （2）解：， ①+②，得， ， 将代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 即， 或， 解得：，； （3）解： ①+②，得， ∵a，y都是正整数， ∴，， ，， ∵当时，代入②得，； 当时，代入②得，； 当时，代入②得，； 当时，代入②得，； ∵a与x，y都是正整数， ∴时具有“邻好关系”， 即当时，x，y具有“邻好关系”． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于x、y的方程组 (1)请写出方程 的一组正整数解； (2)不管m取任何值，方程：总有一个固定解，请求出这个解； (3)若方程组的解满足．，直接写出m的值． 【答案】(1)或（写出一组即可） (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数． （1）令x取一正整数，代入求出y即可； （2）将原式进行变换后即可求出这个固定解； （3）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴方程 的一组正整数解为； 把代入得：， 解得：， ∴方程 的一组正整数解为； （2）解：方程， 整理得， 由于无论m取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解， ∴列出方程组， 解得：； （3）解：解方程组，得， 将代入， 解得． 【经典例题十二 方程组相同解问题】 【例12】（23-24七年级下·甘肃天水·期末）若关于x，y方程组解满足，则m值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是联立没有参数的方程解方程组代入求解． 联立解出，x，y，代入求解即可得到答案； 【详解】关于x，y方程组解满足， 联立 解得：， 将代入得 ， 解得：， 故选：C. 1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ， ∴； 故选A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知关于的二元一次方程组和关于的二元一次方程组有相同的解，则的值是______． 【答案】5 【分析】本题考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，首先求得方程组的解是解题的关键．当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解．两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入中直接求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 代入中，得， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：，得， 把代入①得， 解得， 将，代入②得， 解得：， 故答案为：； （2），得， 即， 解得：． 【经典例题十三 三元一次方程组的解法】 【例13】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）解方程：． 【答案】或． 【分析】本题考查了解三元二次方程组，因式分解分组分解法．先利用因式分解分组分解法可得：①，②，③，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ①， ， ， ， ②， ， ， ， ③， ①②得：， ④， 把④代入③得：， 解得：或， 当时， 把代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：； 当时， 把代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：； 原方程组的解为：或． 1．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）； （2）对于有理数，规定一种新运算：⊕，其中，为常数，已知2⊕，⊕，求⊕的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组、有理数的混合运算； （1）利用加减消元法将三元一次方程组化二元一次方程组，再利用加减消元法求解二元一次方程组，进而可得答案． （2）根据新运算求出，的值，再根据新运算计算即可． 熟练掌握解三元一次方程组、解二元一次方程组、有理数的混合运算是解答本题的关键． 【详解】解：（1）， ①②，得④， ①③，得⑤， ④⑤，得， 解得， 将代入④，得， 将，代入③，得． 方程组的解为． （2）由题意得，2⊕①，⊕②， ①，得④， ②④，得， 解得， 将代入①，得， ⊕⊕． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，，为正数，且，求的值． 【答案】 【分析】将原方程组变形得，，，进而可求出，，的值，然后代入计算即可． 【详解】， ， ， 同理可得：，， 解得：，，， ． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，正确变形是解答本题的关键． 3．（24-25六年级下·上海徐汇·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】得：，把代入①，②得：，由得：，把代入④得：，从而可得答案． 【详解】解：， 得：， 把代入①，②得： 得：， 把代入④得：， ∴方程组的解为：． 【点睛】本题考查的是加减消元法解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法与步骤是解本题的关键． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例14】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 【答案】(1)， (2)丙种钢条长米 (3)3 【分析】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； （3）将，代入，得到三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米； （3）将，代入，得： ， ，得：； ∴． 1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在甲、乙两盒坚果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三种坚果，其中甲盒坚果重千克，甲盒里核桃仁的重量占甲盒坚果重量． (1)甲盒里核桃仁重多少千克？ (2)若乙盒坚果重量比甲盒坚果重量多，且乙盒坚果中腰果是乙盒坚果重量的，求乙盒坚果中腰果重多少千克？ (3)在(1)、(2)的条件下，当甲乙两盒坚果混合在一起时，杏仁的重量占，并且在混合之前甲盒中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的倍，求甲盒坚果中腰果重多少千克？ 【答案】(1)千克 (2)千克 (3)千克 【分析】本题考查的是百分数的与分数的应用，方程组的应用； （1）甲盒里核桃仁重量为：（千克）； （2）先计算乙盒坚果的重量，再计算乙盒坚果中腰果的重量即可； （3）先计算杏仁的总重量为千克．设甲盒坚果中腰果重千克，甲盒坚果中杏仁重千克，乙盒坚果中杏仁重千克，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲盒里核桃仁重量为：千克； 答：甲盒里核桃仁重千克； （2）乙盒坚果重量为：千克， 乙盒坚果中腰果重量为：千克； 答：乙盒坚果中腰果重千克； （3）混合后，杏仁的总重量为：千克； 设甲盒坚果中腰果重千克，甲盒坚果中杏仁重千克，乙盒坚果中杏仁重千克， 根据题意列方程组，得： 解得：，，； 答：甲盒坚果中腰果重千克． 2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 【答案】(1)， (2)按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张 【分析】（1）按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，，所以无法裁出型板，按裁法三裁剪时，块型板材块的长为，，而块型板材块的长为所以无法裁出块型板，即可得出答案； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张，由题意等量关系列出一元三次方程组即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，， 无法裁出型板，则； 按裁法三裁剪时块型板材块的长为，， 可以裁出块型板， 而块型板材块的长为，， 无法裁出块型板，则， 故答案为：，； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张， 根据题意：， 解得：， 答：按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张． 【点睛】主要考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是正确理解题意，在做题时要明缺所裁出型板材和型板材的总长度不能超过． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆 (2)安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元 【分析】（1）设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆，可以得到出，即可得，根据、、都为自然数，可得为3的倍数，结合，可得或或，问题随之得解． 【详解】（1）解：设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆． 列方程：， 解得． 即． 答：装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆； （2）解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆， 则， 得：， ∴， ∴． ∵、、都为自然数， ∴为3的倍数， 又∵， ∴或或， ∴或或， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 由上可知，最大利润为元． 答：安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及三元一次方程组的应用，明确题意，正确列出方程，是解答本题的关键． 【经典例题十五 二元一次方程组的整数解问题】 【例15】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，涉及解二元一次方程组，先由加减消元法解得，，再由题意，分类讨论即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②①得，解得； 将代入①得； 若关于的方程组的解为整数， 当取时满足题意， 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 满足条件的所有整数的值的和为， 故选：C． 1（23-24七年级下·重庆合川·期末）已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是利用①②，求出，列出关于m的不等式组解题即可． 【详解】解：， ①②得：，即， ∵， ∴， 解得， ∴整数m的值为2024， 故选C． 2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 【答案】 / 或/或 【分析】本题考查了二元一次方程组的解： （1）根据可得，代入求解即可； （2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）， ，代入， 得，解得， 故答案为：； （2）， ①②得， 解得：， 为整数，也为整数， ， 或， 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值： （1）根据二元一次方程的解的定义，求解即可； （2）将方程转化为，得到当时，方程成立，即可得出结果； （3）将和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可； （4）方程组消去后，得到关于的二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 【经典例题十六 二元一次方程组的新定义问题】 【例16】（23-24七年级下·河南商丘·期末）对于有序实数对，，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算可得①，②，然后利用整体的思想进行计算，即可解答． 【详解】（1）由题意，得. （2）由题意，得， ， 则有方程组 解得 . 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 ， 所以，， 所以，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，例如：． (1)___________(用含有，的代数式表示)． (2)已知，且． ①求，的值； ②直接写出的值为___________． 【答案】(1) (2)①的值为1，的值为1；② 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据定义公式代入运算即可； （2）①按照定义代入计算得出方程组，解方程组即可求出，的值； ②将a、b的值代入化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ，， 整理得：， 解得：， 的值为1，的值为1； ②的值为1，的值为1 ∴ ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可； （2）先求出与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解，将其代入方程，得到，然后代入计算即可； （3）根据题意根据题目所给“交换系数方程”的定义，分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据“交换系数方程”的定义可知方程“”的交换系数方程为或． 故答案为：或． （2）解：当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴， 当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴． 综上：与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为． 把代入方程得：，即 ∴． （3）解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”， ∴或， ①当时，整理得：，解得：； ； ②当时，解得：， ∴． 综上：． 1．（24-25七年级下·河南鹤壁·开学考试）已知方程组的解满足．则m的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组，通过方程组，得到的值，即可解答．正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加减消元法求解即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：． 由得：， 解得：． 由得：， 解得：． 故原方程组的解为． 故选D． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【详解】a．当时，关于的方程组为， 解得， 所以， 当时，， 所以当时，方程组的解也是的解，正确； b．解方程组，得， 所以， 所以无论取何值，的值不可能互为相反数，正确； c．由得， 所以原方程组的正整数解是，共2对，错误； d．， 得，， 因为， 所以， 解得，正确； 所以正确的有． 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，则（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，根据可以用消去未知数x，得到，根据可以用消去未知数y，得到，据此建立关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：得，即， ∵可以用消去未知数x， ∴， 得，即， ∵可以用消去未知数y， ∴， 联立③④得， 解得， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，由当时，，且，可得，即可得，而当时，整体代入可得答案． 【详解】解：∵当时，，且， ∴， 得：③， 得：④， 得：， 当时， ， 故选：B． 6．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，将第2个方程减去第1个方程即可求得，即可得解．解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法． 【详解】解：， ②－①，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组及二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于a、b的方程，求解即可． 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即，． 故答案为：，． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过解方程组得到和，根据与都是正整数求出符合条件的正整数的值，最后根据再由验证即可． 【详解】解：， ①+②得，， ∴， 把代入得， ∵方程组的解与都是正整数， ∴或或或， ∴a的值为或0或1或2， ∴正整数的值的值只能是1或2， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：．已知，有下列结论： ①； ②若，则； ③关于m，n的二元一次方程有且仅有3组整数解； ④若对任意有理数x，y都成立且，则． 其中结论正确的为 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，由题意联立方程组，求出a、b的值，即可确定①正确；由已知得到，求出m即可确定②正确；根据，，，可求m、n的值，从而确定③错误；由题意列出方程，得到，由对任意有理数x、y都成立，则，即可 确定④正确． 【详解】解：∵， ∴， 解得，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为， ∴m、n有且仅有6组整数解，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数x、y都成立， ∴，故④正确． 综上：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，解一元一次方程的一般方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的一般方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， ①-②，得， 解得， 把代入②， 得， 解得， ∴． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用题意解方程即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：解法一：， ，得，即③， ，得， 把代入③，得， 所以原方程组的解为； 解法二：， ，得，即， 所以③．把③代入②， 得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为． 12．（24-25七年级上·湖南永州·期末）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系．给出四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥    4 4 6 长方体    8 6 12 五棱柱    10 7 15 正八面体    6 8 12 (1)猜想：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式是_____． (2)若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数． (3)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有22个顶点，每个顶点处都有3条棱． ①求它共有多少条棱； ②若该多面体三角形的个数比八边形的个数的2倍少2，求该多面体三角形的个数． 【答案】(1) (2) (3)①33； ②8 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程应用，二元一次方程组应用等． （1）根据题意可直接找出规律，并列出代数式； （2）由题意得，计算即可； （3）①有22个顶点，每个顶点处都有3条棱，再根据两点确定一条直线，继而列式即可得到本题答案； ②根据题意设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，再列方程组解出即可． 【详解】（1）解：有图表可得： 顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式是：， 故答案为：； （2）解：由题意得：，解得：， ∴这个多面体的面数：； （3）解：①∵有22个顶点，每个顶点处都有3条棱， 又∵两点确定一条直线， ∴共有棱数：（条）； ②设：该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个， ∴，解得：， ∴该多面体三角形个数为8个． 13．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）例：若方程组的解满足．求m的值 小明的解法是：得：． 然后解 小晨的解法是：得： ∵ ∴ 请选用小晨的方法解下题：若方程组的解满足．求k的值． 【答案】 【分析】此题考查了加减法解二元一次方程组，得：，根据得到，即可求出k的值． 【详解】解： 得：， ∵ ∴ 解得， 14．（24-25八年级上·山东青岛·期末）阅读下列解题过程，将空格补充完整，借鉴其中一种方法解答后面给出的试题： 问题：某人买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元；买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元．试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元． 分析：设买鸡蛋，鸭蛋、鹅蛋各一个分别需、、元，则需要求的值．由题意，知； 视为常数，将上述方程组看成是关于y、z的二元一次方程组，化“三元”为“二元”、化“二元”为“一元”从而获解． 解法1：视x为常数，依题意得 解这个关于y、z的二元一次方程组得 于是 ． 评注：也可以视z为常数，将上述方程组看成是关于、的二元一次方程组，解答方法同上，你不妨试试． 分析：视为整体，由（1）（2）恒等变形得 ， ． 解法：设，，代入（1）、（2）可以得到如下关于、的二元一次方程组 ，解得 评注：运用整体的思想方法指导解题．视，为整体，令，，代入、将原方程组转化为关于、的二元一次方程组从而获解． 请你运用以上介绍的任意一种方法解答如下数学竞赛试题： 购买五种教学用具、、、、的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教学用具各一件共需多少元？ 品名次数 总钱数 第一次购买件数 第二次购买件数 【答案】购买每种教学用具各一件共需元 【分析】本题考查了二元一次方程组的拓展应用，运用整体的思想方法指导解题，关键是找对里面的规律． 若设购买每种教学用具各一件各需，，，，元，则有；以及，可假设，，构建新的方程组，即可求解． 【详解】解：设购买每种教学用具各一件各需，，，，元， 则， 整理得， 若设，， 则原方程组变形为， 解得， 答：购买每种教学用具各一件共需元． 15．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 学科网（北京）股份有限公司 $$