专题05 二元一次方程组易错必刷题型专训（75题25个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题05 二元一次方程组易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则m，n的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南安阳·期末）已知是关于，的二元一次方程，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24七年级下·海南海口·期中）观察下列方程组：①；②；③；…若第④方程组满足上述方程组的数字规律，则第④方程组为 ． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的所有正整数解（        ） A．2 B．4 C．1 D．3 5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知正整数x，y满足方程，则的值为 ． 6．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）已知，用含x的式子表示y是 ． 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）在方程组①②③中，不属于二元一次方程组的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（23-24七年级下·山东德州·期中）若方程是二元一次方程组，那么m的值（   ） A．0 B．1 C．2 D．上述选项都不对 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 10．（2023九年级·全国·专题练习）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）适合二元一次方程和的部分x，y值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（    ） 表1 1 2 3 1 表2 0 1 2 3 0 1 A． B． C． D． 12．（2022·贵州黔东南·模拟预测）在下列数对中：①；②；③；④，其中是方程的解的是 ；是方程的解的是 ；既是方程的解，又是方程的解的是 填序号 【易错必刷五 已知二元一次方程组的解求参数】 13．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ． 14．（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·四川眉山·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求m﹣2n的值． 【易错必刷六 代入消元法解二元一次方程组1】 16．（2025·四川·模拟预测）解方程： 17．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组： 18．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）课上同学们用代入消元法解二元一次方程组下面是两位同学的解题思路，请你认真阅读并完成相应的任务． 小彬：由①，得______③ 将③代入②，得… 小颖：由①，得______，③ 将③代入②，得… 任务： (1)按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______； 第二步将③代入②，可消去未知数． (2)按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______； 第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数． (3)按你从以上两种思路中任选一种求此方程组的解． 【易错必刷七 加减消元法解二元一次方程组2】 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组： (1) (2) 20．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）已知关于，的二元一次方程组，则 ． 24．（24-25八年级上·江西抚州·期末）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【易错必刷九 二元一次方程组的错解复原问题】 25．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 26．（24-25七年级下·浙江·期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为 ． 27．（24-25七年级下·广西南宁·期中）规定如 (1)若，，且，满足方程，求的值； (2)若甲同学看错c，得到错解，而正确的解是，，，求，，的值 【易错必刷十 同解方程组】 28．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求，的值． 29．（24-25七年级下·四川广元·期中）若关于、的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求、的值． 30．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若关于、的二元一次方程组与的解相同，求、的值． 【易错必刷十一 构造二元一次方程组求解】 31．（24-25七年级下·江苏南通·期中）若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 32．（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，当时，y的值为2；当时，y的值为2，求当时，y的值 ． 33．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）在等式y=kx＋b中，当x=5时，y=6；当x=-3时，y=-10．求k，b的值. 【易错必刷十二 根据实际问题列二元一次方程组】 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，某中学举办了青少年机器人竞赛．学校为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共15个，若桌子腿数与凳子腿数的和为50条，则每个比赛场地有几张桌子和几个凳子？设有x张桌子，有y个凳子，根据题意所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．      36．（23-24七年级下·天津西青·期中）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答， 有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可截乘客57名，3艘大船与6艘小船一次可载乘客多少名？ 解题方案：设1艘大船一次可载乘客x名，1艘小船一次可载乘客y名． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 (3)答：3艘大船与6艘小船一次可载乘客 名（用数字作答）． 【易错必刷十三 方案问题】 37．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 38．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）某中学计划组织七年级全体师生参观风筝博物馆．请根据以下素材，帮助七年级同学设计租车方案． 素材 1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．如果七年级租用45座的客车a辆，那么还剩余15个空座位；如果租用60座的客车可少租3辆，且正好坐满． 2 八年级师生在这个客运公司租了4辆60座的客车和3辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计6400元． 3 九年级师生在这个客运公司租了5辆60座和1辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计5800元． 问题 （1） 确定人数 参加此次活动的七年级师生共有多少人？ （2） 确定租金 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3） 设计租车方案 若从该客运公司租用客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，共有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ 39．（23-24七年级下·北京·期中）某物流公司用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？ (2)若A型车每辆每次需租金100元，B型车每辆每次需租金150元．请选出最省钱的租车方案，并求出此时的租车费用． 【易错必刷十四 行程问题】 40．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程． 41．（24-25七年级下·全国·课后作业）从小明家到公园有一段上坡路和一段平路．周末，小明到公园玩耍，如果上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，小明从家到公园需要1小时，从公园回到家需要48分钟．请问从小明家到公园的上坡路和平路各是多少千米？ 42．（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？ 【易错必刷十五 工程问题】 43．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料，该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨，则甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？ 44．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某工地派96人去挖土和运土，如果平均每人每天挖土5或运土3，那么该怎样分配挖土和运土的人数，使挖出土的土刚好及时运走？ 45．（24-25七年级下·云南昆明·期末）为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车轨道该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．求甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道多少千米？ 【易错必刷十六 数字问题】 46．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则的值是（   ） 6 20 22 A．6 B．7 C．8 D．9 47．（2024七年级下·四川成都·专题练习）(数字与数位)把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如的逆序数为，如果一个两位数等于其逆序数与的平均数，这个两位数是 ． 48．（2024八年级上·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27．请利用二元一次方程组求这个两位数． 【易错必刷十七 分配问题】 49．（24-25七年级下·浙江金华·期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值． 50．（24-25七年级下·山东泰安·期末）已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题． （1）1辆型车和1辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车6辆，型车8辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输？ 51．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少长学生? （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，请你设计出所有的租车方案． 【易错必刷十八 销售利润问题】 52．（24-25八年级上·山西晋中·期末）中国杂粮看山西，山西杂粮看忻州，“忻州——中国杂粮之都”近年来打造以“一薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业，走上了“兴科技、树品牌、强产业、广交流、共发展”的新道路．某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台．已知A，B两种型号播种机的单价分别为1600元，1480元，求：购进A，B两种型号的播种机各多少台？ 53．（2024·湖南长沙·模拟预测）为落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．提升学生身体素质，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)根据比赛情况，学校商店对某篮球在甲、乙两校区的销售单价进行了如下调整：甲校区上涨，乙校区降价5元．已知销售单价调整前甲校区比乙校区少10元，调整后甲校区比乙校区少1元，求调整前甲、乙两校区该篮球的销售单价？ 54．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）一水果批发商用410元钱从水果批发市场批发了橙子70千克和香蕉30千克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如下表所示： 品名 橙子 香蕉 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） 8 3 其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元． (1)求a、b的值； (2)如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天赚180元，求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克? 【易错必刷十九 和差倍分问题】 55．（24-25七年级下·河南郑州·期末）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放 只． 56．（24-25七年级下·浙江·期中）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套．已知2套文具和3套图书需124元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需 元． 57．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）某中学为了九年级毕业班的学生在——2023年中考体育“足球”项目测试中取得优异的成绩．现决定从商场购买A、B两种足球共100个，已知购买A品牌足球比购买B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是50元，B品牌足球每个进价是80元．请同学们计算一下购买A、B两种品牌足球各多少个？ 【易错必刷二十 几何问题】 58．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在大长方形中，放入9个相同的小长方形，      (1)求出小长方形的长和宽 (2)求图中阴影部分的面积． 59．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知一个长方形草坪，若它的长增加米，宽减少米，则面积保持不变；若它的长减少米，宽增加米，则面积仍保持不变． (1)求：长方形草坪的长和宽； (2)如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分的面积． 60．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，图①是一个长为2n、宽为2m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形．    (1)图②中拼成的大正方形的面积为　　； (2)图②中的阴影部分的面积为　　； (3)若已知图②中拼成的大正方形的周长为28，阴影部分的周长为20，则图①中平均分成的每个小长方形的面积是　　． 【易错必刷二十一 古代问题】 61．（2022·安徽合肥·三模）我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题． 62．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，其大意是：现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 63．（24-25七年级下·河南新乡·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并解决相应的问题： 程大位（1533~1606）明代商人，珠算发明家，今黄山市屯溪人．他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统宗》．该书是一本通俗实用的数学书，也是一本将数字人诗的代表作，其中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名裤厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酗酒几多醇？”这首诗通俗意思如下：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问醇酒、薄酒分别是多少瓶？ (1)上述材料中，若设有醇酒x瓶，薄酒有y瓶，试根据题意列出方程组并求出x，y的值． (2)在《算法统宗》中，还有这样一道问题：三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．其大意：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到目的地，求此人第六天走的路程．请你利用一元一次方程知识解答． 【易错必刷二十二 其他问题】 64．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)根据表格信息可知：球队胜一场积　　　　分，负一场积　　　　分； (2)根据积分规则，在E队已经进行的11场比赛中，胜负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 65．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ 66．（24-25八年级上·广东深圳·期末）2024年国庆节深圳无人机表演火遍全网．某公司计划租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元． (1)若该公司租用的A，B两种型号无人机数量相等，则需要的租金为______元； (2)若该公司花费的租金为34万元，求租用A，B两种型号无人机各多少架？ 【易错必刷二十三 解三元一次方程组】 67．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，当时，；当时，；当时，．求a、b、c的值． 68．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组 69．（24-25七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【易错必刷二十四 三元一次方程组的应用】 70．（2024六年级下·上海·专题练习）已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？ 71．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 72．（24-25七年级下·河南南阳·期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①－②可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)已知方程组：，则______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元． 【易错必刷二十五 二元一次方程组的新定义问题】 73．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 74．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 75．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则m，n的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的概念，理解含有两个未知数，含未知数的项的次数最高为1的整式方程为二元一次方程是解题关键． 根据二元一次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：方程可化为， ∵方程是关于、的二元一次方程， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南安阳·期末）已知是关于，的二元一次方程，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴ 解得：或 故选：D． 3．（23-24七年级下·海南海口·期中）观察下列方程组：①；②；③；…若第④方程组满足上述方程组的数字规律，则第④方程组为 ． 【答案】 【分析】根据①②③方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到答案．本题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握猜想归纳思想是解题的关键． 【详解】解：观察第二个方程： ①， ②， ③， 得规律：的系数为方程组的序号加上1，的系数等于序号，常数项等于序号， ∴第④个方程组的第二个方程为：， 观察第一个方程：的系数为1，的系数等于方程组序号的相反数，常数项等于序号乘序号加1的积， 即第④个方程组的第一个方程为：， 故答案为：． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的所有正整数解（        ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程，先由原方程得出，结合、取正整数，得出当，，，时，，，，，即可得解． 【详解】解：由原方程可得：， ∵、取正整数， ∴当，，，时，，，，， ∴ 二元一次方程的所有正整数解为，，，，共对， 故选：B． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知正整数x，y满足方程，则的值为 ． 【答案】6或7或8 【分析】本题主要考查二元一次方程 ，根据题意得出，再根据x，y是正整数得出的值，计算求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， ∴， ∵x，y是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴的值为6或7或8； 故答案为：6或7或8． 6．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）已知，用含x的式子表示y是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，移项，系数化为1．即可得到答案． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）在方程组①②③中，不属于二元一次方程组的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据由两个一次方程组成，共含有2个相同未知数的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：不是整式方程组，不是二元一次方程组， 是二元一次方程组， 是二元二次方程组，不是二元一次方程组， 不属于二元一次方程组的有2个； 故选C． 8．（23-24七年级下·山东德州·期中）若方程是二元一次方程组，那么m的值（   ） A．0 B．1 C．2 D．上述选项都不对 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键． 利用二元一次方程组的定义判断即可求出的值． 【详解】∵方程是二元一次方程组， ∴， 解得：． 故选：A． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 【答案】 3或2 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解：是关于，的二元一次方程组， ，或0，， 解得：或2，，， 答案：3或2，， 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 10．（2023九年级·全国·专题练习）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A.把x=1，y=2代入方程，左边=2+2=右边，所以是方程的解； B.把x=2，y=0代入方程，左边=4=右边，所以是方程的解； C.把x=0.5，y=3代入方程，左边=4=右边，所以是方程的解； D.把x=-2，y=4代入方程，左边=0≠右边，所以不是方程的解. 11．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）适合二元一次方程和的部分x，y值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（    ） 表1 1 2 3 1 表2 0 1 2 3 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】通过表1发现与表2中相同，所以方程组的解是 故选：B 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是理解二元一次方程组解的概念． 12．（2022·贵州黔东南·模拟预测）在下列数对中：①；②；③；④，其中是方程的解的是 ；是方程的解的是 ；既是方程的解，又是方程的解的是 填序号 【答案】 ①③ ③ ③ 【分析】把四组值分别代入方程和，然后根据二元一次方程的解的定义进行判断． 【详解】解：；；；， ∴①③是方程的解； 当，时，， ∴①不是方程的解； 当，时，， ∴②不是方程的解； 当，时，， ∴③是方程的解； 当，时，， ∴④不是方程的解． 故答案为①③；③；③． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【易错必刷五 已知二元一次方程组的解求参数】 13．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程及其解，掌握方程解的意义及一元一次方程的解法是解决本题的关键． 把方程的解代入二元一次方程得到关于的一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ， ， 故答案为：． 14．（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用． 【详解】解：将代入原方程组得， 得：， ∴的值为7． 故答案为：7． 15．（24-25七年级下·四川眉山·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求m﹣2n的值． 【答案】． 【分析】将x＝3，y＝2代入方程组中得到关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，再代入m﹣2n，计算即可． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 由①×3+②消去m得16n＝32， 则n＝2， 将n＝2代入①式解得m＝， 故． 【点睛】此题考查了二元一次方程组含参数问题，解题的关键是根据二元一次方程组的解得出含参数m，n的方程． 【易错必刷六 代入消元法解二元一次方程组1】 16．（2025·四川·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，把把②代入①中求解，再求解即可． 【详解】解：， 把②代入①中得， 解得， 把代入②中得， ∴原方程组的解为． 17．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组（代入消元法），熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：， 把代入，得：， 方程组的解是：． 18．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）课上同学们用代入消元法解二元一次方程组下面是两位同学的解题思路，请你认真阅读并完成相应的任务． 小彬：由①，得______③ 将③代入②，得… 小颖：由①，得______，③ 将③代入②，得… 任务： (1)按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______； 第二步将③代入②，可消去未知数． (2)按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______； 第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数． (3)按你从以上两种思路中任选一种求此方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用移项即可解答； （2）利用移项即可解答； （3）利用代入消元法进行计算即可． 【详解】（1）解：按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即，第二步将③代入②，可消去未知数， 故答案为：； （2）解：按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即，第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数， 故答案为：； （3）解：若选择小彬的思路： 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 原方程组的解为：； 若选择小颖的思路： 把③代入②中得：， 解得：， 把代入③中得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【易错必刷七 加减消元法解二元一次方程组2】 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得，解得． 把代入①，得， 原方程组的解为； （2） ，得． 把代入①，得， 原方程组的解为 20．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 【答案】(1)加减消元法，等式的性质 (2)二，合并常数项时计算错误 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据解题步骤可知，为加减消元法，变形依据为等式的性质； （2）第二步出现错误，合并常数项时计算错误； （3）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； （2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错； （3）解：得，③， 得，， 所以，， 将代入①得，． 所以这个方程组的解是． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法可进行求解； （2）根据加减消元法可进行求解 【详解】（1）解：将①化简，得．③ ，得，解得． 将代入②，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：，得．③ ，得．④ ，得．⑤ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解是 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，由题意可得，解方程组即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组中， ∴， 故选：． 23．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）已知关于，的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，把方程组的两个方程相减即可求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 【详解】解：， 得：， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·江西抚州·期末）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解； （2）根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解． 【详解】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 【易错必刷九 二元一次方程组的错解复原问题】 25．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 将与代入可得，然后解方程组可得的值，然后求出，然后代入计算即可得． 【详解】解：把与代入得：， 得， 将代入①得， 把代入得：， 解得：， 则． 故答案为：． 26．（24-25七年级下·浙江·期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为 ． 【答案】 【分析】设方程组为，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于、的一元一次方程组求出和，再将代入第二方程得到的值． 【详解】解：设被滴上墨水的方程组为． 由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程的解， 则有， 解之，得． 又因方程组的解是， 所以， ． 故所求方程组为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的应用，先设方程组，再根据给出条件求出方程组中待定的系数． 27．（24-25七年级下·广西南宁·期中）规定如 (1)若，，且，满足方程，求的值； (2)若甲同学看错c，得到错解，而正确的解是，，，求，，的值 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出的值即可； （2）已知等式利用题中的新定义化简，将正确解与错误解代入相应方程计算即可求出，，的值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义化简得： ①，②， ①﹣②得：， 把代入②得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：； （2）解：根据题中的新定义化简得：，， 把与代入得：，即， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义，掌握二元一次方程组求解方法是解本题的关键． 【易错必刷十 同解方程组】 28．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值， （2）将的值代入另一组方程组即可求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， ①②得：， 解得：， 将代入②得，， 解得：， ∴ （2）将代入 得， ②①得：， 解得： 将代入①得，， ∴     【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解决本题的关键是根据两个方程组有相同的解重新联立方程组． 29．（24-25七年级下·四川广元·期中）若关于、的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求、的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的第一个方程联立，解方程组即可求解． （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的第一个方程联立可得：      解这个方程组可得相同的解为： （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组：      解得 【点睛】本题考查了同解方程组，加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确的计算是解题的关键． 30．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若关于、的二元一次方程组与的解相同，求、的值． 【答案】a、b的值分别为﹣2、5． 【分析】首先联立两个方程组中不含a、b的两个方程并求得方程组的解，然后代入两个方程组中含a、b的两个方程从而得到一个关于a，b的方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组与的解相同， ∴可得新方程组， 解这个方程组得． 把x＝3，y＝1代入ax+by＝﹣1，2ax+3by＝3， 得， 解得：． 故a、b的值分别为﹣2、5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系． 【易错必刷十一 构造二元一次方程组求解】 31．（24-25七年级下·江苏南通·期中）若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】联立不含m的方程求出x与y的值，进而求出m的值即可． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 把，代入得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程组的步骤是解本题的关键． 32．（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，当时，y的值为2；当时，y的值为2，求当时，y的值 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用，根据题意把，y的值为2；当时，y的值为2代入求出，再将代入计算即可，正确解方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ， 当时，， 故答案为：6． 33．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）在等式y=kx＋b中，当x=5时，y=6；当x=-3时，y=-10．求k，b的值. 【答案】k、b的值为2、-4． 【分析】把x与y的值代入y=kx+b中计算即可求出k与b的值． 【详解】解：把x=5，y=6；x=-3，y=-10代入得： ， 解得：， 则k、b的值为2、-4． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【易错必刷十二 根据实际问题列二元一次方程组】 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，某中学举办了青少年机器人竞赛．学校为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共15个，若桌子腿数与凳子腿数的和为50条，则每个比赛场地有几张桌子和几个凳子？设有x张桌子，有y个凳子，根据题意所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据四条腿的桌子和三条腿的凳子共15个可列方程，根据桌子腿数与凳子腿数的和为50条可列方程，组成方程组即可． 【详解】解：根据题意可列方程组， 故选：C． 35．（24-25七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．      【答案】 【分析】设小长方形长为，宽为，由图1、图2中的数量关系列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设小长方形长为，宽为， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 36．（23-24七年级下·天津西青·期中）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答， 有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可截乘客57名，3艘大船与6艘小船一次可载乘客多少名？ 解题方案：设1艘大船一次可载乘客x名，1艘小船一次可载乘客y名． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 (3)答：3艘大船与6艘小船一次可载乘客 名（用数字作答）． 【答案】(1) (2) (3)96 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“1艘大船与4艘小船一次可载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可截乘客57名”，进行列式，即可作答． （2）运用代入法解二元一次方程组，即可作答． （3）运用（2）的结论进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设1艘大船一次可载乘客x名，1艘小船一次可载乘客y名， ∵1艘大船与4艘小船一次可载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可截乘客57名， ∴列出方程组； （2）解：∵， ∴由，得出， 再把代入， 得出， 解得， 把代入， 得出， ∴； （3）解：（名） ∴3艘大船与6艘小船一次可载乘客名． 【易错必刷十三 方案问题】 37．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 【答案】(1)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元 (2) 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设租辆座客车，辆座客车，则，根据，都是非负整数，即可得到租金的值，进相比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元； （2）解：设租辆座客车，辆座客车， 根据题意得：， ， ，都是非负整数， ，，， 租金为， 当时，（元； 当时，（元； 当时，（元； 有三种方案，其中座客车租8辆时最省钱，为元， 故答案为：． 38．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）某中学计划组织七年级全体师生参观风筝博物馆．请根据以下素材，帮助七年级同学设计租车方案． 素材 1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．如果七年级租用45座的客车a辆，那么还剩余15个空座位；如果租用60座的客车可少租3辆，且正好坐满． 2 八年级师生在这个客运公司租了4辆60座的客车和3辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计6400元． 3 九年级师生在这个客运公司租了5辆60座和1辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计5800元． 问题 （1） 确定人数 参加此次活动的七年级师生共有多少人？ （2） 确定租金 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3） 设计租车方案 若从该客运公司租用客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，共有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ 【答案】（1）480人；（2）客运公司60座客车每辆每天的租金是1000元，45座客车每辆每天的租金是800元；（3）共有3种租车方案；租用60座客车8辆最省钱，费用为8000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的方案问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据七年级租用45座的客车a辆，那么还剩余15个空座位；如果租用60座的客车可少租3辆，且正好坐满，列式，解出，即可作答． （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，则，再解方程组，即可作答． （3）依题意，设租用60座客车m辆，45座客车n辆，则，结合，n均为自然数，得出或或，即可作答． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得， ， 参加此次活动的七年级师生共有480人； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是1000元， 45座客车每辆每天的租金是800元. （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得：， . 又，n均为自然数， 或或. 共有3种租车方案. 方案1：租用60座客车8辆，费用为元； 方案2：租用60座客车5辆，45座客车4辆，费用为元； 方案3：租用60座客车2辆，45座客车8辆，费用为元 有三种租车方案，租用60座客车8辆最省钱，费用为8000元. 39．（23-24七年级下·北京·期中）某物流公司用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？ (2)若A型车每辆每次需租金100元，B型车每辆每次需租金150元．请选出最省钱的租车方案，并求出此时的租车费用． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次运3吨，1辆B型车装满货物一次运4吨 (2)A车9辆，B车1辆，最少租车费用1050元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用， （1）设1辆A型车装满货物一次运x吨，1辆B型车装满货物一次运y吨，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意的得到，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次运x吨，1辆B型车装满货物一次运y吨． 由题意可知：； 解得：． 答：1辆A型车装满货物一次运3吨，1辆B型车装满货物一次运4吨． （2）解： 由题意可知，； 1辆A型车装满货物一次运3吨租金100元，一吨单价约33.3元； 1辆B型车装满货物一次运4吨租金150元，一吨单价37.5元； 所以要尽量使用A车； 且a、b都为整数，满足条件为A车9辆，B车1辆； ． 答：A车9辆，B车1辆，最少租车费用1050元． 【易错必刷十四 行程问题】 40．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程． 【答案】从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为 【分析】设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意得， 解得： 答：从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 41．（24-25七年级下·全国·课后作业）从小明家到公园有一段上坡路和一段平路．周末，小明到公园玩耍，如果上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，小明从家到公园需要1小时，从公园回到家需要48分钟．请问从小明家到公园的上坡路和平路各是多少千米？ 【答案】从小明家到公园的上坡路为1.5千米，平路为2千米 【详解】设从小明家到公园的上坡路为x千米，平路为y千米，根据题意，得 解得 答：从小明家到公园的上坡路为1.5千米，平路为2千米． 42．（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？ 【答案】动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度 【分析】设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，根据“若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．”列出方程组，解出即可． 【详解】解：设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度， ∵点A、B表示的数分别是-20、64， ∴线段AB长为， ∴由题意有， 解得 ∴动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【易错必刷十五 工程问题】 43．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料，该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨，则甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？ 【答案】生产甲种产品15件，乙种产品20件，恰好使两种原料全部用完 【分析】设生产甲种产品x件，乙种产品y件，恰好使两种原料全部用完，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y即可． 【详解】解：设生产甲种产品x件，乙种产品y件，恰好使两种原料全部用完， 根据题意，得：， 解得： 答：生产甲种产品15件，乙种产品20件，恰好使两种原料全部用完． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 44．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某工地派96人去挖土和运土，如果平均每人每天挖土5或运土3，那么该怎样分配挖土和运土的人数，使挖出土的土刚好及时运走？ 【答案】有36人挖土，有60人运土，使挖出土的土刚好及时运走． 【分析】设x人去挖土，y人运土，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设x人去挖土，y人运土， 根据题意得：， 解得：． 答：有36人挖土，有60人运土，使挖出土的土刚好及时运走． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键． 45．（24-25七年级下·云南昆明·期末）为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车轨道该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．求甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道多少千米？ 【答案】甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米 【分析】设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米，根据题意列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米，由题意可得： ，化简得 解得 答：甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出二元一次方程组是解题的关键． 【易错必刷十六 数字问题】 46．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则的值是（   ） 6 20 22 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．理解题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据定义补全九宫格，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，都是， 补全九宫格如下： x 6 20 22 y 4 18 ∴， 解得， ∴． 故选：C． 47．（2024七年级下·四川成都·专题练习）(数字与数位)把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如的逆序数为，如果一个两位数等于其逆序数与的平均数，这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字与数位问题，求解不定方程，能正确用字母表示出数字，并根据题意列式是解题的关键．设这个两位数为，则其逆序数为，列出式子，并求解不定方程即可． 【详解】解：设这个两位数为，则其逆序数为， 根据题意得：， 化简得：， 又由、的取值只能从到， 则其解为：， 这个两位数是， 故答案为：． 48．（2024八年级上·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27．请利用二元一次方程组求这个两位数． 【答案】这个两位数为36 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y． 依题意，得解得 ，故这个两位数为36． 【易错必刷十七 分配问题】 49．（24-25七年级下·浙江金华·期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值． 【答案】(1)做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒 (2)竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3 【分析】（1）设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）由（1）结合题意可得：，解比例即可求解． 【详解】（1）解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张， 由题意可得：，解得： 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）由题意可得：， 解得：x＝3y， ∴x：y＝3， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解，理解题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键． 50．（24-25七年级下·山东泰安·期末）已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题． （1）1辆型车和1辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车6辆，型车8辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输？ 【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨（2）该物流公司有50吨货物要运输 【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，则1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据题意可得出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据货物质量＝6辆A型车的满载量＋8辆B型车的满载量，代入数据即可得出结论． 【详解】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，则1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 根据题意得：， 解得：， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）该批货物的质量为3×6＋4×8＝50（吨）． 答：该物流公司有50吨货物要运输． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系列出二元一次方程组是解题的关键． 51．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少长学生? （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，请你设计出所有的租车方案． 【答案】（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐20，45名学生；（2）方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆 【分析】（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐x，y名学生，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）根据题意列出二元一次方程，找出整数解即可． 【详解】解：（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐，名学生， 根据题意得：， 解得：， 则每辆小客车和每辆大客车各能坐20，45名学生； （2）根据题意得：， 整理得：， 当时，；时，，，， 方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 【易错必刷十八 销售利润问题】 52．（24-25八年级上·山西晋中·期末）中国杂粮看山西，山西杂粮看忻州，“忻州——中国杂粮之都”近年来打造以“一薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业，走上了“兴科技、树品牌、强产业、广交流、共发展”的新道路．某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台．已知A，B两种型号播种机的单价分别为1600元，1480元，求：购进A，B两种型号的播种机各多少台？ 【答案】购进A种型号的播种机10台，B种型号的播种机20台． 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设购进A种型号的播种机x台，B种型号的播种机y台．根据“决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台．”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设购进A种型号的播种机x台，B种型号的播种机y台．根据题意，得 解得 ， 答：购进A种型号的播种机10台，B种型号的播种机20台． 53．（2024·湖南长沙·模拟预测）为落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．提升学生身体素质，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)根据比赛情况，学校商店对某篮球在甲、乙两校区的销售单价进行了如下调整：甲校区上涨，乙校区降价5元．已知销售单价调整前甲校区比乙校区少10元，调整后甲校区比乙校区少1元，求调整前甲、乙两校区该篮球的销售单价？ 【答案】(1)该班级胜负场数分别是13场和2场 (2)调整前甲校区该篮球的销售单价40元，乙校区该篮球的销售单价为50元 【分析】（1）设胜了场，负了场，根据15场比赛中获得总积分为41分可列方程组，求解即可． （2）设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得， 答：该班级胜负场数分别是13场和2场； （2）解：设调整前甲校区该商品的销售单价为元，乙校区该商品的销售单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：调整前甲校区该篮球的销售单价40元，乙校区该篮球的销售单价为50元． 54．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）一水果批发商用410元钱从水果批发市场批发了橙子70千克和香蕉30千克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如下表所示： 品名 橙子 香蕉 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） 8 3 其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元． (1)求a、b的值； (2)如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天赚180元，求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克? 【答案】(1)； (2)打折后卖出橙子30千克，香蕉20千克． 【分析】本题考查了二元一次程组，一元一次方程的应用； （1）根据题意列出二元一次方程组，解方方程组即可求解； （2）设打折后卖出橙子千克，则打折后卖出香蕉千克，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得，解得：， （2）解：（千克）， 设打折后卖出橙子千克，则打折后卖出香蕉千克， 依题意，得 ， 解得：， 则， 答：打折后卖出橙子30千克，香蕉20千克． 【易错必刷十九 和差倍分问题】 55．（24-25七年级下·河南郑州·期末）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放 只． 【答案】14 【分析】一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， ，即可求出答案． 【详解】解：一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， 则； 解得：， ∴(30-6)，， ∴李老师一摞碗最多只能放13+1=14（只）， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组和不等式求解． 56．（24-25七年级下·浙江·期中）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套．已知2套文具和3套图书需124元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需 元． 【答案】48 【分析】设1套文具x元，1套图书y元，根据2套文具和3套图书需124元及3套文具和2套图书需116元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，将两个方程相加除以5，即可求出结论． 【详解】解：设1套文具x元，1套图书y元， 根据题意得：， ①+②，得：5x+5y=240， ∴x+y=48． ∴买1套文具，1套图书共需48元， 故答案为：48． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 57．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）某中学为了九年级毕业班的学生在——2023年中考体育“足球”项目测试中取得优异的成绩．现决定从商场购买A、B两种足球共100个，已知购买A品牌足球比购买B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是50元，B品牌足球每个进价是80元．请同学们计算一下购买A、B两种品牌足球各多少个？ 【答案】A品牌足球40个，B品牌足球60个 【分析】设该中学购买品牌足球个，品牌足球个，利用总价单价数量，结合“该中学共购买、两种足球共100个，且购买品牌足球比购买品牌足球少花2800元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该中学购买品牌足球个，品牌足球个， 根据题意得：， 解得：． 答：该中学购买品牌足球40个，品牌足球60个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【易错必刷二十 几何问题】 58．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在大长方形中，放入9个相同的小长方形，      (1)求出小长方形的长和宽 (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长是，宽是 (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据图形列方程求出小长方形的长与宽即可； （2）利用总面积减去各小长方形的面积即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （2）解：， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系进行列式． 59．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知一个长方形草坪，若它的长增加米，宽减少米，则面积保持不变；若它的长减少米，宽增加米，则面积仍保持不变． (1)求：长方形草坪的长和宽； (2)如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分的面积． 【答案】(1)长方形草坪的长为米，宽为米 (2)原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米 【分析】（1）设长方形草坪的长和宽分别为米，根据题意列出方程组，转化为二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据长方形的长减少1，宽减少1，列出算式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设长方形草坪的长和宽分别为米，根据题意，得 即 解得： 答：长方形草坪的长为米，宽为米 （2）解：依题意，平方米， 答：原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 60．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，图①是一个长为2n、宽为2m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形．    (1)图②中拼成的大正方形的面积为　　； (2)图②中的阴影部分的面积为　　； (3)若已知图②中拼成的大正方形的周长为28，阴影部分的周长为20，则图①中平均分成的每个小长方形的面积是　　． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）判断出正方形的边长，可得结论； （2）判断出阴影正方形的边长，可得结论； （3）构建方程组，求出m，n可得结论． 【详解】（1）解：∵图②中拼成的大正方形的边长为， ∴面积为； 故答案为：； （2）解：图②中的阴影部分的边长为， ∴面积为； 故答案为：． （3）解：∵图②中拼成的大正方形的周长为28，阴影部分的周长为20， ∴图②中拼成的大正方形的边长为7，阴影部分的边长为5， ∴， 解得， ∴每个小长方形的面积． 故答案为：6． 【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的面积公式，以及解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【易错必刷二十一 古代问题】 61．（2022·安徽合肥·三模）我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题． 【答案】共有126家共同买牛，牛价为3750个钱 【分析】设有x家，牛价为y个钱，然后根据题意可列二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设有x家，牛价为y个钱，根据题意，得： ， 解得：， 答：共有126家共同买牛，牛价为3750个钱． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意． 62．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，其大意是：现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 【答案】鸡有只，兔有只，解答见解析． 【分析】设鸡有只，兔有只，由题意：从上面数共有个头，从下面数共有只脚，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 解得：， 答：鸡有只，兔有只． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 63．（24-25七年级下·河南新乡·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并解决相应的问题： 程大位（1533~1606）明代商人，珠算发明家，今黄山市屯溪人．他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统宗》．该书是一本通俗实用的数学书，也是一本将数字人诗的代表作，其中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名裤厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酗酒几多醇？”这首诗通俗意思如下：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问醇酒、薄酒分别是多少瓶？ (1)上述材料中，若设有醇酒x瓶，薄酒有y瓶，试根据题意列出方程组并求出x，y的值． (2)在《算法统宗》中，还有这样一道问题：三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．其大意：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到目的地，求此人第六天走的路程．请你利用一元一次方程知识解答． 【答案】(1)醇酒有10瓶，则薄酒有9瓶； (2)此人第六天走的路程为6里． 【分析】（1）设醇酒有x瓶，则薄酒有y瓶，根据“如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设此人第六天走的路程为x里，根据题意可以列出相应的方程，解方程即可解决． 【详解】（1）解：设醇酒有x瓶，则薄酒有y瓶， 依题意得：，解得：， 答：醇酒有10瓶，则薄酒有9瓶； （2）解：此人第六天走的路程为x里， 由题意可得，x+2x+4x+8x+16x+32x=378， 解得：x=6， 答：此人第六天走的路程为6里． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键． 【易错必刷二十二 其他问题】 64．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)根据表格信息可知：球队胜一场积　　　　分，负一场积　　　　分； (2)根据积分规则，在E队已经进行的11场比赛中，胜负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)胜场、负场 (3)无法实现，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，设出未知数，由等量关系列方程或方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程（组）求解是解决问题的关键． （1）设胜一场积分，负一场积分，由A队得分可得；由B队得分可得；解二元一次方程组即可得到答案； （2）设E队胜场，则负场，由E队已经进行的11场比赛中的得分情况列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，可知D队还剩下场比赛，还需要取得分，设D队胜场，则负场，列方程求解即可确定答案． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 则由A队得分可得；由B队得分可得； 即，解得， 故答案为：； （2）解：设E队胜场，则负场， ， 解得，则， 答：在E队已经进行的11场比赛中，胜场、负场； （3）解：无法实现， 理由如下： 若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分， 还剩下场比赛，还需要取得分， 设D队胜场，则负场， ， 解得， ，而只剩下场比赛， 在D队已经进行了11场比赛，积分为17分基础上，D队希望最终积分达到28分是无法实现的． 65．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ 【答案】(1)A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台 (2)A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台，根据“用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台”，列出方程组，解之即可得出结论； （2）设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，根据＂这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利＂，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台． （2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得： 答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元． 66．（24-25八年级上·广东深圳·期末）2024年国庆节深圳无人机表演火遍全网．某公司计划租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元． (1)若该公司租用的A，B两种型号无人机数量相等，则需要的租金为______元； (2)若该公司花费的租金为34万元，求租用A，B两种型号无人机各多少架？ 【答案】(1)350000 (2)公司租用A型号无人机600架，B型号无人机400架 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列出二元一次方程组求解是关键． （1）租用的A，B两种型号无人机数量相等，则各有500个，根据租金单价，运用有理数乘法运算即可求解； （2）设公司租用A型号无人机x架，B型号无人机y架，由数量关系列二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元， ∴需要的租金为：（元）， 故答案为：350000； （2）解：设公司租用A型号无人机x架，B型号无人机y架， 根据题意得：， 解得：， 答：公司租用A型号无人机600架，B型号无人机400架． 【易错必刷二十三 解三元一次方程组】 67．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，当时，；当时，；当时，．求a、b、c的值． 【答案】 【分析】将三组数值代入列出三元一次方程组即可求出答案． 【详解】解：当时，； ， 当时，， ， 当时，， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查三元一次方程，解题的关键是熟练运用三元一次方程的解法，本题属于基础题型． 68．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组 【答案】 【分析】通过消元，将解三元一次方程组转化成解二元一 次方程组或一元一次方程. 【详解】解： 把②分别代入①和③，得    ，得 ． 解得 ． 把代入，得 ． 原方程组的解为 【点睛】本题主要考查解三元一次方程组，关键在于通过加减消元法或代入消元法，将解三元一次方程组转化成解二元一 次方程组或一元一次方程． 69．（24-25七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可； （2）利用整体的思想求出即可． 【详解】（1）把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想． 【易错必刷二十四 三元一次方程组的应用】 70．（2024六年级下·上海·专题练习）已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？ 【答案】甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人． 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组，进而根据①②确定的取值，作为突破口，致使最终得解． 首先假设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，，根据选手中甲乙两校共16名；乙丙两校共20名；丙丁两校共34名．列出方程组，通过各校选手人数的多少是按甲、乙、丙、丁中学的顺序选派的，得到．进而判断出的取值，根据方程组依次得到、、的值． 【详解】解：设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，．据题意有， 甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出， ， 由①与得，所以， 由②与得，所以， 于是，所以（因为人数是整数）， 将代入①，②可知，， 再由③有． 答：甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人． 71．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． 72．（24-25七年级下·河南南阳·期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①－②可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)已知方程组：，则______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元． 【答案】(1)，5 (2)6 (3)30 【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求； （2）把3个方程相加得； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②得，解得， ①-②得， 故答案为：，5； （2）解：， ①+②+③得，，即； 故答案为：6； （3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元, 根据题意列方程组得，． ①②得，，则； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解． 【易错必刷二十五 二元一次方程组的新定义问题】 73．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意列出方程组求解是解题的关键．根据新定义运算的公式，列出x，y的方程组计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 两式相加得：， ∴． 故选：C． 74．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：1． 75．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$