专题04 二元一次方程组55道压轴题型专训（11大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题04 二元一次方程组55道压轴题型专训（11大题型） 题型一 二元一次方程的解压轴 题型二 已知二元一次方程组的解求参数 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 方案问题 题型七 行程问题 题型八 销售问题 题型九 几何问题 题型十 三元一次方程组压轴问题 题型十一 二元一次方程组的新定义问题 【经典例题一 二元一次方程的解压轴】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”．提出了各自的想法，甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解．”乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试．”请你参考他们的讨论，求出这个题目的正确答案． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知x，y满足，且x，y都是整数，求x的值． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解，例：由，得：（、为正整数），要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入所以的正整数解为． 问题： (1)求方程的正整数解． (2)已知一根木条长，现将木条截成长和长这两种规格，为了不造成浪费，结合上述材料，试说明有几种不同的截法（两种规格均有），并一一列出． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 5．（24-25七年级上·福建宁德·期末）对于整数，如果满足，则称数对为“二八友好数对”．例如： 当，时，， 因为， 所以，数对为“二八友好数对”． (1)说明数对是否为“二八友好数对”； (2)现将部分“二八友好数对”制成如下对应数值表： … … … … 直接写出表格中，的值； (3)已知为“二八友好数对”，观察（2）中表格，猜想之间的数量关系为：______________，并用所学的数学知识解释你猜想的正确性． 【经典例题二 已知二元一次方程组的解求参数】6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 7．（23-24七年级下·广东韶关·期末）阅读以下内容：已知x，y满足， 且满足，求m的值． 三位同学分别提出了自己的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组，再求m的值； 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学：先解方程组，再求m的值． (1)以上三位同学的解题思路中，正确的有_______个，你最欣赏_______（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路； (2)根据你所选的思路解答此题． 8．（23-24七年级下·福建厦门·期中）阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． (1)请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） (2)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； (3)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 9．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读以下内容：已知数满足，且，求的值． 以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 小明：先解以上关于的方程组，再把解代入，从而求的值； 小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求的值； 小丽：先解方程组，再把所得解代入，即求的值． (1)试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题； (2)试说明关于的方程组，不论取何值，的值始终不变． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与______（填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； (2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组其中a与都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． (4)【拓展】若一个关于x的方程的解为，则称之为“成章方程”，如：的解为，而 = 1；的解为，而，若关于x的方程为“成章方程”，请直接写出关于的方程的解：． 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读探索： 知识累计：解方程组 解：设，，原方程组可变为， 解方程组得，即，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组： (2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读理解 阅读例子：已知：关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解． 解：方程组可化为 ∵方程组的解是， ∴ ∴ ∴方程组的解是 通过对上面材料的认真阅读后，解方程组： 已知：关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解． 13．（23-24七年级下·山西临汾·期中）【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得． 这种解方程组的方法叫做整体换元法． 【知识应用】 （1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来． 【知识迁移】 （2）用材料中的方法解二元一次方程组 14．（23-24七年级下·全国·假期作业）在学习了二元一次方程组的解法后，课堂上老师又写出了一个题目：小华思考一会儿后写出了他的做法（不完整）如下： 解：设，，则原方程组可化为 解方程组，得即解得 (1)请你把小华的做法填写完整； (2)请你根据小华的做法，解方程组： 15．（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得， 所以，解方程组，得__________． 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：． 拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【经典例题四 二元一次方程组的错解复原问题】 16．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的得解为，小红看错了方程组中的，得解为； (1)小军把看成了什么数？小红把看成了什么数？ (2)正确的解应该是怎样的？ 17．（24-25七年级下·山东青岛·期末）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 18．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 19．（24-25七年级下·重庆万州·期末）学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一元一次方程，去分母时-1项忘记乘以6，得该方程的解为，乙同学在解方程组时，看错了第一个方程，得该方程组的解为，试求的值． 20．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）李老师让全班同学们解关于x、y的方程组（其中a和b代表确定的数），甲、乙两人解错了，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，请你求出这个方程组的正确解． 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 21．（24-25七年级下·四川泸州·期末）阅读学习∶ 已知实数m，n满足m＋n = 5且，求k的值． 行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路∶ 甲同学∶直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值． 乙同学∶观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值 丙同学∶组合法，先解方程组，再求k的值． 解决问题∶ (1)选择其中一名同学的思路，解答此题． (2)已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组，时采用了一种“整体代换”的解法． 把②变形，得，即③． 把①代入③，得，所以． 把代入①，得．所以原方程组的解为， 请解决以下问题． (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组：， (2)已知满足方程组：，求和的值． 23．（24-25七年级下·福建福州·期中）对有序数对(m，n)定义新运算：f(m，n)=(am+bn，am-bn)，其中a，b为常数．f运算的结果也是一对有序数对．例如：当a=1，b=1时，f(-2，3)=(1，-5)． （1）当a=-1，b=2时，f(2，3)= ． （2）若f(-3，-1)=(3，1)，则a= ，b= ． （3）有序数对（m，n），满足 n=2m，f(m，n)=(m，n)，求a，b的值．（本小题需写过程） 24．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）对，定义一种新运算，规定（其中，是非零常数且），这里等式右边是通常的四则运算． 如：，． （1）填空：_____（用含，的代数式表示）； （2）若且． ①求与的值； ②若，求的值． 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【经典例题六 方案问题】 26．（23-24·浙江杭州·模拟预测）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车（辆） 2 5 乙种货车（辆） 3 6 累计运货（吨） 13 28 （1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ （2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？ （3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？ 27．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨． （1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ （2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载． ①请帮柑橘园设计租车方案； ②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 28．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）武汉新冠肺炎疫情发生后，全国人民众志成城抗疫救灾．某公司筹集了抗疫物资120吨打算运往武汉疫区，现有甲、乙、两三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示： (假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 （1）全部物资一次性运送可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆． （2）若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费9600元，求甲、乙两种车型各需多少辆？ （3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为14辆，且一次性运完所有物资，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的总运费为多少元？ 29．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）某县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲所示．（单位） （1）列出方程（组），求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将625张标准板材用裁法一裁剪，125张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？    30．（24-25七年级下·云南丽江·期末）在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织七年级名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司小客车，大客车两种型号客车作为交通工具．已知满员时，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用一辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． （1）1辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【经典例题七 行程问题】 31．（23-24·海南海口·一模）一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？ 32．（2021七年级上·全国·专题练习）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息． ①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米； ②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站 若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员． （1）本次马拉松比赛共设置______个补给站； （2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？ （3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？ 33．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）列二元一次方程组解应用题： ①、小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？ ②、在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元． （1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？ （2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？ 34．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元． 小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同． （1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 35．（24-25七年级下·江西南昌·期末）如图，四条街围成边长为1000m的正方形ABCD，显然家住在东西方向DA街道的点P处，他的学校在东西方向CB街道的点Q处．已知显然爷爷骑电动车在东西方向的街道的速度是400m/min，在南北方向的街道的速度是500m/min．已知爷爷骑电动车沿P﹣A﹣B﹣Q送显然上学花了5min，沿Q﹣B﹣C﹣D﹣P（在B处遇堵车立即掉头）回家花了6min． （1）爷爷骑电动车跑一圈需要多少min？ （2）求PA，QB的长度； （3）如果爷爷和显然同时出发，爷爷骑电动车沿P﹣A﹣B﹣Q骑行，显然沿Q﹣B步行，且在BQ上互相看见，求显然步行的速度的取值范围． 【经典例题八 销售问题】 36．（24-25七年级下·浙江温州·期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表： A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”． (2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？ (3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程） 37．（24-25七年级下·浙江·期中）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元． ①求这两种大米各购进多少袋； ②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (2)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案．甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 38．（24-25七年级下·福建厦门·期中）小林在某商店购买商品、共三次．只有一次购买时，商品、同时打折；其余两次均按标价购买．三次购买商品、的数量和费用如下表： 购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 7 8 1113 （1）小林以折扣价购买商品、是第______次购物； （2）若商品、的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）年月，中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——在短短小时内，两款疑似六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动．如果消息属实，那么我们现在也有了先进的飞机大炮，希望敌人们最好也有钢铁般的意志！受此消息影响，一款飞机模型在网上爆火．某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为元和元的，两种型号的飞机模型，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型 第一天 件 件 第二天 件 件 (1)求、两种型号的飞机模型的销售单价； (2)该玩具店准备了元全部用于再采购这两种型号的飞机模型共件，求种型号的模型能采购多少件？ (3)在（2）的条件下，玩具店销售完这件模型能否实现元的利润目标？请说明理由． 40．（2024七年级上·全国·专题练习）2023年11月底，某网店从甲厂家购进了，两种商品，种商品每件进价元，种商品每件进价元，两种商品共购进了件，所用资金为元． (1)求11月底、两种商品各购进了多少件？ (2)2024年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产，两种商品的乙厂家也提出了优惠方案． 甲厂家优惠方案： 购买总金额 优惠 未超过2000元 不打折 超过2000元，未超过5000元 全部打九折 超过5000元 全部打八折 乙厂家优惠方案： 购买种商品的总件数 购买种商品的总件数 优惠 未超过50件 未超过200件 打九折 超过50件，未超过130件的部分 超过200件，未超过400件的部分 打八折 超过130件的部分 超过400件的部分 打七折 1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进，两种商品，进价与11月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进种商品实际付款4320元，第二次全部购进两种商品实际付款3690元．已知从乙厂家购买种商品每件进价34元，购买种商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的，两种商品，并享受乙家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，该网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？ 【经典例题九 几何问题】 41．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 42．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 43．（24-25六年级下·上海徐汇·期中）已知点是数轴上的点，完成下列各题： (1)）如果点表示的数是1，将点向左移动7个单位长度、再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_______，两点间的距离是_________． (2)如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，那么终点表示的数是_________，两点间的距离是_________． (3)如果点所表示的数是1，点在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点距离的一半，则点所对应的数是________． 44．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 45．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，同时放在长方形ABCD中，阴影部分对应的面积分别表示为，，，设，，且x<y． (1)AH＝______，CI＝______，GK＝______（结果用含x、y的代数式表示）． (2)若，求长方形ABCD的面积． (3)在条件（2）下，若空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，求长方形ABCD的长x和宽y的值． 【经典例题十 三元一次方程组压轴问题】 46．（2025九年级下·浙江·学业考试）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 47．（24-25七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 48．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 49．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 50．（24-25八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【经典例题十一 二元一次方程组的新定义问题】 51．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 52．（24-25七年级下·广西河池·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则 ． 53．（24-25七年级下·浙江台州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）． （1）无理数的“雅区间”是 ； （2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为 ． 54．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：________，________． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 55．（23-24七年级下·山东滨州·期末）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． (1)当，且时，_______； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组55道压轴题型专训（11大题型） 题型一 二元一次方程的解压轴 题型二 已知二元一次方程组的解求参数 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 方案问题 题型七 行程问题 题型八 销售问题 题型九 几何问题 题型十 三元一次方程组压轴问题 题型十一 二元一次方程组的新定义问题 【经典例题一 二元一次方程的解压轴】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”．提出了各自的想法，甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解．”乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试．”请你参考他们的讨论，求出这个题目的正确答案． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的含义是解题的关键． 先把所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可． 【详解】解：将方程组化简得， ， 解得． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知x，y满足，且x，y都是整数，求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的除法、二元一次方程的解等知识点，对代数式进行灵活变形是解题的关键． 先用x表示出y，然后再化成，即是整数，进而确定x的取值． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y都是整数， ∴是整数， ∴ ∴x的值为． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解，例：由，得：（、为正整数），要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入所以的正整数解为． 问题： (1)求方程的正整数解． (2)已知一根木条长，现将木条截成长和长这两种规格，为了不造成浪费，结合上述材料，试说明有几种不同的截法（两种规格均有），并一一列出． 【答案】(1)方程的正整数解为 (2)共有3种不同的截法，截法1：截成2m长的木条1根，1m长的木条5条；截法2：截成2m长的木条2根，1m长的木条3条；截法3：截成2m长的木条3根，1m长的木条1条 【分析】（1）由，可得出，结合、为正整数，即可求出方程的正整数解； （2）设可以截成长的木条根，长的木条条，根据木条的总长度为，可列出关于x、y的二元一次方程，结合、为正整数，即可求得各截法． 【详解】（1）解：， ， 要使为正整数，则为正整数， 为2倍数， ， 将代入， 方程的正整数解为； （2）解：设可以截成长的木条根，长的木条条， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 共有3种不同的截法， 截法1：截成长的木条1根，长的木条5条； 截法2：截成长的木条2根，长的木条3条； 截法3：截成长的木条3根，长的木条1条． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用以及倍数，解题的关键是：（1）熟练掌握求二元一次方程整数解的方法；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2)（或） (3) 【分析】（1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）将关于、的二元一次方程变形 ∴“相伴系数对”为， ∵该方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． 5．（24-25七年级上·福建宁德·期末）对于整数，如果满足，则称数对为“二八友好数对”．例如： 当，时，， 因为， 所以，数对为“二八友好数对”． (1)说明数对是否为“二八友好数对”； (2)现将部分“二八友好数对”制成如下对应数值表： … … … … 直接写出表格中，的值； (3)已知为“二八友好数对”，观察（2）中表格，猜想之间的数量关系为：______________，并用所学的数学知识解释你猜想的正确性． 【答案】(1)数对为“二八友好数对”，见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据二八友好数对的定义：对于整数，如果满足，则称数对为“二八友好数对”即可解答； （2）根据二八友好数对的定义：对于整数，如果满足，则称数对为“二八友好数对”即可解答； （3）根据二八友好数对的定义：对于整数，如果满足，则称数对为“二八友好数对”即可解答． 【详解】（1）解：∵当时，     即， ∴数对为“二八友好数对”． （2）解：∵，，且是“二八友好数对”， ∴，， ∴， ∴解得：， ∵，，且是“二八友好数对”， ∴，， ∴， ∴解得：； （3）解：之间的数量关系，理由如下： 解法一：∵为“二八友好数对”， ∴， ∴， ∴解得：； 解法二：∵当时， ∴， ∴为“二八友好数对”， ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义实数运算法则是解题的关键． 【经典例题二 已知二元一次方程组的解求参数】 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）依题意得，解得，然后代入，解得，即可作答． （2）先把方程变形为，根据题意得出，即可求出的值，从而得出这个方程的公共解． 【详解】（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组 ∴联立， 解得， 把代入， 可得， 解得． （2）解：依题意，将变形， 得 无论实数取何值，方程总有一个公共解， ． 将代入， 可得． ∴这个公共解为． 7．（23-24七年级下·广东韶关·期末）阅读以下内容：已知x，y满足， 且满足，求m的值． 三位同学分别提出了自己的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组，再求m的值； 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学：先解方程组，再求m的值． (1)以上三位同学的解题思路中，正确的有_______个，你最欣赏_______（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路； (2)根据你所选的思路解答此题． 【答案】(1)3，乙（答案不唯一） (2)4 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． （1）分别根据甲、乙、丙三位同学的思路分别进行分析即可； （2）根据甲、乙、丙三位同学的思路结合解二元一次方程组的方法计算即可． 【详解】（1）解：甲同学：利用m可表示出关于x，y的方程组的解，再代入，即可求出m的值，故甲同学的解题思路正确； 乙同学：将方程组中的两个方程相加，可得出，再将整体代入，即可求出m的值，故乙同学的解题思路正确； 丙同学：解方程组，再将解代入，即可求出m的值，故丙同学的解题思路正确． 综上可知以上三位同学的解题思路中，正确的有3个，最欣赏乙同学的思路，因为利用整体代入思想，计算简便． 故答案为：3，乙（答案不唯一）； （2）解：甲同学： 解得：， 将代入，得：， 解得：； 乙同学：， 由并整理，得：． 将代入，得：， 解得：； 丙同学：解方程组， 解得：， 将代入，得：， 解得：． 8．（23-24七年级下·福建厦门·期中）阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． (1)请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） (2)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； (3)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 【答案】(1)否 (2)10 (3)或或或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识； （1）根据“可爱点”的定义分别判断即可； （2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案． （3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可． 【详解】（1）解：点，令， 得， ， 不是“可爱点”， 故答案为：否． （2）解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得 的值为10． （3）解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得， a，b为正整数， 或或或． 9．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读以下内容：已知数满足，且，求的值． 以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 小明：先解以上关于的方程组，再把解代入，从而求的值； 小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求的值； 小丽：先解方程组，再把所得解代入，即求的值． (1)试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题； (2)试说明关于的方程组，不论取何值，的值始终不变． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）选择其中一名同学的思路利用加减消元法求解即可； （2）两方程相加求出，再把得到的新方程与方程组中第二个方程相加求出即可得证． 【详解】（1）解：选择小明：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：； 选择小王：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 选择小丽：， 得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）证明：， 得：， 得：， ∴，即不论取何值，的值始终不变． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与______（填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； (2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组其中a与都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． (4)【拓展】若一个关于x的方程的解为，则称之为“成章方程”，如：的解为，而 = 1；的解为，而，若关于x的方程为“成章方程”，请直接写出关于的方程的解：． 【答案】(1)具有 (2)4或6 (3)具有，； (4) 【分析】（1）求出方程组的解，然后根据“邻好关系”定义进行判断即可； （2）解方程组得出，根据方程组 的解与具有“邻好关系”，得出，解关于m的方程即可； （3）解方程组得出，根据a与都是正整数，得出或，求出当时，，，当时，，，根据，得出当时，方程组的解与是否具有“邻好关系”； （4）由定义得出，即，解方程得出， 把代入得：． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵， ∴方程组的解与具有“邻好关系”； 故答案为：具有． （2）解：由方程组得：， ∵方程组 的解与具有“邻好关系”， ∴， 解得：或． （3）解方程组得：， ∵a与都是正整数， ∴或， 当时，，， 当时，，， ∵， ∴当时，方程组的解与是否具有“邻好关系”，此时方程组的解为． （4）解：∵关于x的方程为“成章方程” ∴， ∴， 由得：， ∴， 把代入得：． 即． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义运算，解题的关键是理解定义，准确计算． 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读探索： 知识累计：解方程组 解：设，，原方程组可变为， 解方程组得，即，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组： (2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点， （1）根据换元法设，，进行求解计算即可； （2）根据换元法设，，进行求解计算即可． 熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 【详解】（1）解：设，， ∴原方程组可变为：， 解得：， 即， 解得：； （2）设，， ∴所求方程组可变为： ∴可得， ∴解得：． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读理解 阅读例子：已知：关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解． 解：方程组可化为 ∵方程组的解是， ∴ ∴ ∴方程组的解是 通过对上面材料的认真阅读后，解方程组： 已知：关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解法，体现了换元思想和整体思想，对原方程组进行变形是解题的关键．将原方程组中的方程两边同时除以3，得到变形后的方程组，然后运用换元思想得到新的方程组，解方程组即可． 【详解】 解：方程组可化为， ∵方程组的解是， ∴， ∴． ∴方程组的解是． 13．（23-24七年级下·山西临汾·期中）【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得． 这种解方程组的方法叫做整体换元法． 【知识应用】 （1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来． 【知识迁移】 （2）用材料中的方法解二元一次方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）方程组可变形为设，可得即解二元一次方程即可． 【详解】解：（1）设则原方程组可化为， 根据的解为，可得： 解得 即； （2）方程组可变形为： 设， 原方程可化为 解得： 即，解得 原方程组的解为 14．（23-24七年级下·全国·假期作业）在学习了二元一次方程组的解法后，课堂上老师又写出了一个题目：小华思考一会儿后写出了他的做法（不完整）如下： 解：设，，则原方程组可化为 解方程组，得即解得 (1)请你把小华的做法填写完整； (2)请你根据小华的做法，解方程组： 【答案】(1)1，2，，11 (2) 【详解】解：（1）1        2            11 （2）设，，则原方程组可化为 解方程组，得即解得 15．（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得， 所以，解方程组，得__________． 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：． 拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案． 【详解】解：（1）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解方程组，得； （3）方程组可化为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． 【经典例题四 二元一次方程组的错解复原问题】 16．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的得解为，小红看错了方程组中的，得解为； (1)小军把看成了什么数？小红把看成了什么数？ (2)正确的解应该是怎样的？ 【答案】(1)5；1 (2) 【分析】（1）依题意，得，解得，同理，得，解得，即可得出答案； （2）依题意，得，解得，同理，得，解得，解二元一次方程组即可. 【详解】（1）解：∵小军看错了方程组中的， 把代入，得， 解得， ∴小军把看成了5； ∵小红看错了方程组中的， 把代入，得， 解得， ∴小红把看成了1； （2）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴原方程组为， 得，， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，考查方式较为新颖，要熟练掌握该知识点. 17．（24-25七年级下·山东青岛·期末）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得；，从而得出，解二元一次方程组即可； （2）将的值代入，然后根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ， ∴， 解得：，； （2）正确的算式为． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则以及解二元一次方程组，读懂题意，根据题意列出二元一次方程组求出的值是解本题的关键． 18．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6 (2) 【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么； （2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， ∴甲把a看成了5，乙把b看成了6； （2）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入原方程组， 可得：， 由②得：③， 由①+③，可得：， ∴， 把代入①，可得：， 解得：， ∴原方程组的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 19．（24-25七年级下·重庆万州·期末）学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一元一次方程，去分母时-1项忘记乘以6，得该方程的解为，乙同学在解方程组时，看错了第一个方程，得该方程组的解为，试求的值． 【答案】． 【分析】甲同学在解方程，去分母时-1项忘记乘以6，则所得方程是：3(x+3)-1=x+a，把x=-3代入即可求得a的值；把乙的结果代入方程3x+2by=3求出b的值，即可求解． 【详解】解：甲同学在解方程，去分母时-1项忘记乘以6， 则所得方程是：3(x+3)-1=x+a， 把x=-3代入3(x+3)-1=x+a，得：a=2； 乙同学在解方程组时，看错了第一个方程，得该方程组的解为， 把代入3x+2by=3得：6+6b=3， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及一元一次方程的解．注意：方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 20．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）李老师让全班同学们解关于x、y的方程组（其中a和b代表确定的数），甲、乙两人解错了，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，请你求出这个方程组的正确解． 【答案】 【分析】把甲的解代入方程②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，确定出方程组，求出正确的解即可． 【详解】解：由题意可知， 把代入方程②中， 得b+4=7，解得b=3； 把代入方程①中， 得-2+a=1，解得a=3； 把代入方程组， 可得， 解得：， ∴原方程组的解应为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 21．（24-25七年级下·四川泸州·期末）阅读学习∶ 已知实数m，n满足m＋n = 5且，求k的值． 行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路∶ 甲同学∶直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值． 乙同学∶观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值 丙同学∶组合法，先解方程组，再求k的值． 解决问题∶ (1)选择其中一名同学的思路，解答此题． (2)已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值． 【答案】(1)k=8 (2)k=-1 【分析】（1）选乙同学的方法进行整体代入计算即可，选丙同学则组建新的方程组求出m和n的值，再代入求k值即可； （2）结合第（1）问的方法进行整体代入求解即可． 【详解】（1）解：选择乙同学的解法： ， ①+②，得 17m+17n=11k-3， ∵m＋n = 5， ∴17m+17n=85， 即11k-3=85， 解得k=8． 选择丙同学： 由题意，得 ， 解得， 将代入，得 9×35+8×（-30）=11k-13， 解得k=8． （2）解：， ①+②，得 3x+3y=6k+6， ∵关于x、y的方程组的解互为相反数， ∴x+y=0， ∴6k+6=0， 解得k=-1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的含参问题，解决问题的关键是消元，正确地计算能力是解决问题的关键． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组，时采用了一种“整体代换”的解法． 把②变形，得，即③． 把①代入③，得，所以． 把代入①，得．所以原方程组的解为， 请解决以下问题． (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组：， (2)已知满足方程组：，求和的值． 【答案】(1) (2)17， 【详解】解：（1）把②变形，得③．把①代入③，得，所以．把代入①，得．所以原方程组的解为 （2）把②变形，得； ③．由①，得，即④．把④代入③，得，解得，所以．因为，所以，所以或，所以． 23．（24-25七年级下·福建福州·期中）对有序数对(m，n)定义新运算：f(m，n)=(am+bn，am-bn)，其中a，b为常数．f运算的结果也是一对有序数对．例如：当a=1，b=1时，f(-2，3)=(1，-5)． （1）当a=-1，b=2时，f(2，3)= ． （2）若f(-3，-1)=(3，1)，则a= ，b= ． （3）有序数对（m，n），满足 n=2m，f(m，n)=(m，n)，求a，b的值．（本小题需写过程） 【答案】（1）(4，-8)；（3），-1；（3）a，b的值分别为，． 【分析】（1）根据题目中的新定义，可以计算出f（2，3）运算的结果，本题得以解决； （2）根据题目中的新定义和f（-3，-1）=（3，1），可以得到关于a、b的二元一次方程组，从而可以求得a、b的值； （3）根据题目中的新定义和有序数对（m，n），满足n=2m，f（m，n）=（m，n），可以得到关于a、b、m、n的方程组，从而可以求得a、b的值． 【详解】解：（1）由题意可得， 当a=-1，b=2时，f（2，3）=（-1×2+2×3，-1×2-2×3）=（4，-8）， 故答案为：（4，-8）； （2）∵f（-3，-1）=（3，1）， ∴， 解得， 故答案为：，-1； （3）∵有序数对（m，n），满足n=2m，f（m，n）=（m，n）， ∴， 解得， 即a，b的值分别为，． 【点睛】本题考查新定义、二元一次方程组、有理数的混合运算，会用新定义解答问题是解答本题的关键． 24．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）对，定义一种新运算，规定（其中，是非零常数且），这里等式右边是通常的四则运算． 如：，． （1）填空：_____（用含，的代数式表示）； （2）若且． ①求与的值； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）把（4，-1）代入新运算中，计算得结果； （2）①根据新运算规定和T（-2，0）=-2且T（5，-1）=6，得关于a、b的方程组，解方程组即可； ②把①中求得的a、b代入新运算，并对新运算进行化简，根据T（3m-10，m）=T（m，3m-10）得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）①∵且， ∴ 解得： ②∵a=1，b=，且x+y≠0， ∴． ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识，理解新运算的规定并能运用是解决本题的关键 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值． 把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可； 由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 可得方程组:， 得：， 解得， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，的值为； （2）解：把，代入， 可得：， ， ， 原方程可化为， 整理得：， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，为负数，不符合题意，舍去； 方程的正整数解为． 【经典例题六 方案问题】 26．（23-24·浙江杭州·模拟预测）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车（辆） 2 5 乙种货车（辆） 3 6 累计运货（吨） 13 28 （1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ （2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？ （3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？ 【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元 【分析】（1）设甲种货车每辆可装吨货物，乙种货车每辆可装吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆甲种货车，辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）设甲种货车每辆需运费元，租用甲种货车辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，根据总费用每辆车所需费用租用该种车的辆数，即可得出关于，的二元二次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲种货车每辆可装吨货物，乙种货车每辆可装吨货物， 依题意，得：， 解得：． 答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物． （2）设租用辆甲种货车，辆乙种货车， 依题意，得：， ． ，均为非负整数， 为偶数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车． （3）设甲种货车每辆需运费元，租用甲种货车辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆， 依题意，得：， 解得：， ． 答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组． 27．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨． （1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ （2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载． ①请帮柑橘园设计租车方案； ②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元 【分析】（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案； ②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨． （2）①依题意，得：3m+2n＝21， ∴m＝7﹣n． 又∵m，n均为非负整数， ∴或或或． 答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车． ②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元）， 方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元）， 方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元）， 方案4所需租车费为120×7＝840（元）． ∵1020＞960＞900＞840， 故答案为：最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元． 【点睛】本题主要考查列二元一次方程以及利用二元一次方程解决方案问题，正确理想二元一次方程组并运用二元一次方程解决方案问题是本题解题的关键． 28．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）武汉新冠肺炎疫情发生后，全国人民众志成城抗疫救灾．某公司筹集了抗疫物资120吨打算运往武汉疫区，现有甲、乙、两三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示： (假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 （1）全部物资一次性运送可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆． （2）若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费9600元，求甲、乙两种车型各需多少辆？ （3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为14辆，且一次性运完所有物资，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的总运费为多少元？ 【答案】（1）4；（2）甲种车型需8辆，乙种车型需10辆；（3）甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元． 【分析】（1）根据甲型车运载量是5吨/辆，乙型车运载量是8吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数； （2）设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，列出等式，再根据a、b、14-a-b均为正整数，求出a，b的值，从而得出答案． 【详解】解：（1）（120-5×8-5×8）÷10=4（辆）． 答：丙型车4辆． 故答案为：4． （2）设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据题意得： ， 解得：． 答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆． （3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，由题意得 5a+8b+10（14-a-b）=120， 即a=4， ∵a、b、14-a-b均为正整数， ∴b只能等于5， ∴a=2， 14-a-b=7， ∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， 则需运费450×2+600×5+700×7=8800（元）， 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握． 29．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）某县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲所示．（单位） （1）列出方程（组），求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将625张标准板材用裁法一裁剪，125张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？    【答案】（1）；（2）竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个． 【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数，然后根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得： ， 答：图甲中a与b的值分别为：50、40； （2）由图示裁法一产生A型板材为：3×625=1875，裁法二产生A型板材为：1×125=125， 所以两种裁法共产生A型板材为1875+125=2000（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：1×625=625，裁法二产生A型板材为，3×125=375， 所以两种裁法共产生B型板材为625+375=1000（张）， 设裁出的板材做成的竖式有盖礼品盒有x个，横式无盖礼品盒有y个， 则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（x+2y）个， 则有，解得． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．+ 30．（24-25七年级下·云南丽江·期末）在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织七年级名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司小客车，大客车两种型号客车作为交通工具．已知满员时，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用一辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． （1）1辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】（1）65人；（2）①小客车辆，大客车辆；小客车辆，大客车辆；小客车辆，大客车辆；②方案③最省钱，最少租金元 【分析】（1）由题意设辆小客车一次可送人，辆大客车一次可送人，并根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）①由题意假设学校计划租用小客车辆，大客车辆，得并以此进行分析即可； ②根据题意计算出3种方案各自的租金，并进行比较即可. 【详解】解: （1）设辆小客车一次可送人，辆大客车一次可送人． 可得: 解得: ， 答: 1辆小客车一次可送20人，1大客车一次可送45人； ①若学校计划租用小客车辆，大客车辆，由题意得 可变形为: ， 每辆汽车恰好都坐满， 的值均为非负数 可取，，， 租车方案共有种:I、小客车辆，大客车辆； II、小客车辆，大客车辆； III、小客车辆，大客车辆. ②各种租车费用:方案I租金:(元)； 方案II租金:(元) ； 方案III租金:(元). ． 方案③最省钱，最少租金元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据题意列出方程组是解题的关键. 【经典例题七 行程问题】 31．（23-24·海南海口·一模）一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？ 【答案】快车每秒行米，慢车每秒行米． 【分析】设快车每秒行米，慢车每秒行米，根据若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，列出方程组，解方程组即可求得． 【详解】设快车每秒行米，慢车每秒行米，根据题意得， 解得 答：快车每秒行米，慢车每秒行米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 32．（2021七年级上·全国·专题练习）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息． ①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米； ②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站 若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员． （1）本次马拉松比赛共设置______个补给站； （2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？ （3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？ 【答案】（1）10；（2）1.5千米；（3）15千米或30千米． 【分析】（1）根据在起点、沿途每隔5千米一个补给站，最后两个补给站相隔2千米，即可求出本次马拉松比赛设置的补给站数； （2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，根据“若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值； （3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，根据补给站和医疗站的间隔，即可得出m= n，由m、n均为正整数即可求出结论． 【详解】解：（1）∵在起点、沿途每隔5千米一个补给站，最后两个补给站相隔2千米， ∴共设置补给站（422）÷5+1+1=10（个）， 故答案为：10 （2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个， 根据题意得：， 解得：， ∴42÷（29-1）=1.5（千米）， 答：沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米． （3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合， ∵沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米，在起点、沿途每隔5千米一个补给站， ∴5m=1.5n， ∴m=n， ∵m、n是正整数， ∴当n=10时，m=3，此时距离起点的距离=5×3=15（千米）， 当n=20时，m=6，此时距离起点的距离=5×6=30（千米）， 当n=30时，m=9，此时距离起点的距离=5×9=45＞42，不合题意，舍去， 综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15千米或30千米． 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据补给站的设置间隔，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据补给站和医疗站的间隔，找出m、n之间的关系． 33．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）列二元一次方程组解应用题： ①、小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？ ②、在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元． （1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？ （2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？ 【答案】①小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟；②（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）学校选用方案二更节约钱，节约122元 【分析】①设小颖上坡用了分钟，下坡用了分钟，根据“小颖家离学校1880米，且去学校共用了16分钟”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． ②（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元； （2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题． 【详解】解：①设小颖上坡用了分钟，下坡用了分钟， 依题意得：， 解得：． 答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟． ②（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是元、元， ， 解得， 即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元； （2）方案一的花费为：（元， 方案二的花费为：（元， （元，， 答：学校选用方案二更节约钱，节约122元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 34．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元． 小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同． （1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】（1）这两辆车的实际行车时间相差10分钟；（2）小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟． 【分析】（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人所付代驾费相同列方程求解即可； （2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解． 【详解】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得： 2×6+0.5x=2×8+0.5y+1×（8-7）， ∴0.5（x-y）=5， ∴x-y=10， ∴这两辆车的实际行车时间相差10分钟； （2）由（1）及题意得： ，解得 ∴小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟． 【点睛】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键． 35．（24-25七年级下·江西南昌·期末）如图，四条街围成边长为1000m的正方形ABCD，显然家住在东西方向DA街道的点P处，他的学校在东西方向CB街道的点Q处．已知显然爷爷骑电动车在东西方向的街道的速度是400m/min，在南北方向的街道的速度是500m/min．已知爷爷骑电动车沿P﹣A﹣B﹣Q送显然上学花了5min，沿Q﹣B﹣C﹣D﹣P（在B处遇堵车立即掉头）回家花了6min． （1）爷爷骑电动车跑一圈需要多少min？ （2）求PA，QB的长度； （3）如果爷爷和显然同时出发，爷爷骑电动车沿P﹣A﹣B﹣Q骑行，显然沿Q﹣B步行，且在BQ上互相看见，求显然步行的速度的取值范围． 【答案】（1）9min；（2）PA＝800m，QB＝400m；（3）0m/min＜V≤100m/min 【分析】（1）根据路程÷速度＝时间列式计算即可； （2）设PA＝x，QB＝y，根据“爷爷骑电动车沿P﹣A﹣B﹣Q送显然上学花了5min，沿Q﹣B﹣C﹣D﹣P（在B处遇堵车立即掉头）回家花了6min”列方程组，解方程组即可得到结论； （3）设显然步行的速度为Vm/min，根据题意求得V≤100m/min，于是得到结论． 【详解】解：（1）（1000+1000）÷400+（1000+1000）÷500＝9min 答：爷爷骑电动车跑一圈需要9min； （2）设PA＝x，QB＝y， 则 解得， ∴PA＝800m，QB＝400m； （3）设显然步行的速度为Vm/min， 则爷爷沿P﹣A﹣B﹣Q骑行要花min， ∴4V≤400， 解得V≤100m/min ∴显然步行的速度的取值范围为0m/min＜V≤100m/min． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的列出方程组是解题的关键． 【经典例题八 销售问题】 36．（24-25七年级下·浙江温州·期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表： A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”． (2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？ (3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程） 【答案】(1)5 (2)他使用了A型2张，B型3张． (3)有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张． 【分析】（1）根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求解即可； （2）设他使用了A型“优惠券”x张，B型“优惠券”y张，根据“同时使用了5张A， B型‘优惠券’，共优惠了404元”列二元一次方程组，求解即可； （3）设小温使用了A型“优惠券”a张， B型“优惠券”b张， C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A， B两种类型的优惠券，②使用了B， C两种类型的优惠券，③使用了A， C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案． 【详解】（1）解∶根据题意，得 (张)， 故答案为∶5； （2）解：设他使用了A型x张，B型y张． 根据题意可得解得 答：他使用了A型2张，B型3张． （3）解：设小温使用A型a张，B型b张，C型c张． 根据题意可得三种情形： ①若小温使用了A，B型优惠券，则有 化简为： ∵a，b都为整数，且， ∴， ②若小温使用了B，C型优惠券，则有 化简为： ∵b，c都为整数，且， ∴， ③若小温使用了A，C型优惠券，则有 化简为： ∵a，c都为整数，且， ∴本小题无解． 综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张． 【点睛】本题考查了二元一次方程(组)的应用，理解题意并建立相应的二元一次方程或二元一次方程组是解题的关键． 37．（24-25七年级下·浙江·期中）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元． ①求这两种大米各购进多少袋； ②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (2)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案．甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 【答案】(1)①A种大米30袋，B种大米40袋；②600元 (2)方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋；方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋 【分析】（1）①分别设A、B种大米为a袋、b袋，根据大米总袋数和金额列方程进行计算； ②列出方程后利用总货款数与总袋数呈倍数关系，将总袋数的代数式整体代入货款的方程中计算； （2）设购进A种大米袋，B种大米袋，可得购进C种大米为袋，根据金额列出方程，利用袋数为整数的条件求出x、y的值，再根据x、y的值算出各种大米数量． 【详解】（1）①设购进A种大米a袋，B种大米b袋，则题意列方程得 ， 解得 所以购进A种大米30袋，B种大米40袋； ②设售出A种大米m袋，B种大米n袋， 则， 化简得， 所以进货款（元） （2）设购进A种大米袋，购进B种大米袋，则购进C种大米为袋． 由题意得：． 解得， 为正整数， ∴或， 则有① ， ② ∴有两种购买方案： 方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋； 方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键． 38．（24-25七年级下·福建厦门·期中）小林在某商店购买商品、共三次．只有一次购买时，商品、同时打折；其余两次均按标价购买．三次购买商品、的数量和费用如下表： 购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 7 8 1113 （1）小林以折扣价购买商品、是第______次购物； （2）若商品、的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】（1）三（2）7折 【分析】（1）根据图表可得小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值，设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买7个A商品和8个B商品共花费1113元，列出方程求解即可． 【详解】（1）根据表格中，第三购买A，B商品的数量都比前两次多，购买总费用反而少，则小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物． 故答案为：三； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 根据题意，得， 解得：． 故商品A的标价为90元，商品B的标价为120元； 设商店是打a折出售这两种商品， 由题意得，（7×90＋8×120）×＝1113， 解得：a＝7． 答：商店是打7折出售这两种商品的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）年月，中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——在短短小时内，两款疑似六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动．如果消息属实，那么我们现在也有了先进的飞机大炮，希望敌人们最好也有钢铁般的意志！受此消息影响，一款飞机模型在网上爆火．某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为元和元的，两种型号的飞机模型，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型 第一天 件 件 第二天 件 件 (1)求、两种型号的飞机模型的销售单价； (2)该玩具店准备了元全部用于再采购这两种型号的飞机模型共件，求种型号的模型能采购多少件？ (3)在（2）的条件下，玩具店销售完这件模型能否实现元的利润目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元 (2)种型号的模型能采购件 (3)能实现，理由见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，熟练的确定相等关系是解本题的关键． （1）设种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元，再根据“表格信息”建立方程组即可求解； （2）设种型号的模型能采购件，再根据“玩具店准备了元的金额全部用于再采购这两种型号的飞机模型共件，”建立方程即可求解； （3）由（2）可知种型号的模型能采购件，再计算总利润，再与进行比较即可． 【详解】（1）解：设种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元； （2）设种型号的模型能采购件， 根据题意得：， 解得：， 答：种型号的模型能采购件； （3）能实现，理由如下： 由（2）可知种型号的模型能采购件， （元） ， 玩具店销售完这件模型能实现元的利润目标． 40．（2024七年级上·全国·专题练习）2023年11月底，某网店从甲厂家购进了，两种商品，种商品每件进价元，种商品每件进价元，两种商品共购进了件，所用资金为元． (1)求11月底、两种商品各购进了多少件？ (2)2024年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产，两种商品的乙厂家也提出了优惠方案． 甲厂家优惠方案： 购买总金额 优惠 未超过2000元 不打折 超过2000元，未超过5000元 全部打九折 超过5000元 全部打八折 乙厂家优惠方案： 购买种商品的总件数 购买种商品的总件数 优惠 未超过50件 未超过200件 打九折 超过50件，未超过130件的部分 超过200件，未超过400件的部分 打八折 超过130件的部分 超过400件的部分 打七折 1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进，两种商品，进价与11月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进种商品实际付款4320元，第二次全部购进两种商品实际付款3690元．已知从乙厂家购买种商品每件进价34元，购买种商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的，两种商品，并享受乙家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，该网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？ 【答案】(1)商品销售件，则商品销售件 (2)该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省元或元 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的应用，掌握销售问题中的各个量之间的关系，是解答此题的关键． （1）设种商品购进了件、则种商品购进了件，根据费用之和为11000元，列出一元一次方程求解即可； （2）根据网店在甲厂家购进种商品的费用可以得出其两种数量，分别计算两种购买方式的费用，与在乙厂家购买两种商品的费用比较即可． 【详解】（1）解：设商品销售件，则商品销售件， 由题意可得：， 解得：， （件）， 答：商品销售件，则商品销售件； （2）解：在甲厂家购进、两种商品共需付：（元）， 由（元），（元）， 所以在甲厂家购进商品数量为（件），或（件）， 由（元）， 所以在甲厂家购进商品数量为（件）， 从乙厂家购买件商品需付款：（元）， 购买件商品需付款：（元）， 购买件商品需付款：（元）， 故从乙厂家购买件商品、件商品需付款：（元）， 从乙厂家购买件商品、件商品需付款：（元）， 故该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省（元）或（元）， 答：该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省元或元． 【经典例题九 几何问题】 41．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完 (2)能，理由见解析 (3)丙纸板的张数为张或张 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张， 由题意得：， 解得：， 答：做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完； （2）解：能，理由如下， ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∴当竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为； （3）解：设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∵纸板的使用率为， ∴、均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴或， ∴丙纸板的张数为张或张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确的识图、找准等量关系列出方程组是解题的关键． 42．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①②③ (2)①；②立方厘米 (3)厘米或厘米或厘米 【分析】（1）根据无盖长方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②如图，设，，根据题意可得，，继而得到，根据长方体的体积公式即可得解； （3）列出无盖长方形纸盒的展开图，并根据“展开图外围周长为厘米”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠， ④不能折成一个无盖长方体纸盒， ①②③才能折成一个无盖长方体纸盒， 故答案为：①②③； （2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米） 故答案为：； ②如图，设，， ∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴（立方厘米）， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；    （3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米， ①如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 该方程无解；    ②如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ③如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ④如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ⑤如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米． 【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． 43．（24-25六年级下·上海徐汇·期中）已知点是数轴上的点，完成下列各题： (1)）如果点表示的数是1，将点向左移动7个单位长度、再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_______，两点间的距离是_________． (2)如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，那么终点表示的数是_________，两点间的距离是_________． (3)如果点所表示的数是1，点在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点距离的一半，则点所对应的数是________． 【答案】(1)；2 (2)； (3)或4 【分析】（1）利用平移性质和绝对值的性质求解即可； （2）利用平移性质和绝对值的性质求解即可； （3）利用平移性质和绝对值的性质列出方程组，分别解出两种情况的方程，即可解答． 【详解】（1）解：，故点表示的数是； ，故、两点间的距离是2； 故答案为：；2． （2）解：点表示的数是：； 、两点间的距离是； 故答案为：；． （3）解：设点表示的数为，点表示的数为， 由题得：， 解得：或， 点坐标为或4． 故答案为：或4． 【点睛】本题考查了数轴表示数的应用，解题的关键是掌握绝对值及点的平移的性质． 44．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)40个竖式无盖，80个横式无盖； (2)能，理由见解析 (3)240或245 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，由题意，得： ，解得：； 答：可做40个竖式无盖纸盒，80个横式无盖纸盒； （2）能；理由如下： ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：； ∴当制作竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为． （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：， ∵纸板的使用率为， ∴均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴丙种纸板的数量为张或张． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． 45．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，同时放在长方形ABCD中，阴影部分对应的面积分别表示为，，，设，，且x<y． (1)AH＝______，CI＝______，GK＝______（结果用含x、y的代数式表示）． (2)若，求长方形ABCD的面积． (3)在条件（2）下，若空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，求长方形ABCD的长x和宽y的值． 【答案】(1)x-2；y-2；8-y； (2)42； (3)x=6，y=7 【分析】（1）根据图形中各线段的关系，用x、y的代数式表示各线段便可； （2）根据，由长方形面积公式列出x、y的方程，求得xy便可； （3）根据空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，可求得x+y=13，再根据xy=42求解即可． 【详解】（1）解：∵三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，，，且x<y． ∴AH=AB-BH=x-2，CI=BC-BI=y-2，GK=AG+DK-AD=5+3-y=8-y， 故答案为：x-2；y-2；8-y； （2）由题意得：S1=2HE，HE=7-x， 所以S1=14-2x， S2=3GK=24-3y， S3=QI×QF+MN×NC=3（x-5）+（y-5）（x-3）=xy-3y-2x， ∵， ∴38-2x-3y=xy-3y-2x-4， ∴xy=42， 长方形ABCD的面积为42； （3）解：由题意得：DN+DG+KA+AH+EB+BI=y-5+3+y+x-2+x-5+2=2x+2y-10， GK+NC+CI+HE=8-y+x-3+y-2+7-x=10， ∵空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6， ∴（DN+DG+KA+AH+EB+BI）-（GK+NC+CI+HE）=6， ∴2x+2y-10-10=6，即x+y=13， ∵由（2）得：xy=42， ∴或， 解得：或， ∵x＜y， ∴x=6，y=7． 【点睛】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的边长和面积，是解题的关键． 【经典例题十 三元一次方程组压轴问题】 46．（2025九年级下·浙江·学业考试）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 【答案】(1)商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台 (2)当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台；当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台；当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台；当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和方案选择，三种不同型号的电视机，购进其中两种不同型号的电视机，有三种可能． （1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共50台”和“两种不同型号的电视机共用去9万元”，根据这两个等量关系可列出方程组． （2）当题中要问三个未知数的值时，尽量设两个未知数，减少运算量，那么，本题中只需找到两个等量关系即可，在本题中为“三种不同型号的电视机50台”和“三种不同型号的电视机共用去9万元”． 【详解】（1）解：设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为： 当购进甲种型号及乙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 当购进乙种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得（舍去）； 当购进甲种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 综上，商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台 或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台． （2）解：可行． 设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为：时；由题意，得 ∵均是大于0且小于50的整数， ∴当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台； 当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台； 当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台； 当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 47．（24-25七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 【答案】任务1：A，B，C三种型号木板的面积分别是；任务2：一共可以做18个木箱，木箱的总体积；任务3：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，二元一次方程组和三元一次方程组的应用： 任务1：根据图形分别求出三种型号的木板的长和宽，进行计算即可； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：任务1：由图可知，型木板的宽为，型木板的宽和木板的长均为，由图1可知，木板的宽与型木板的宽相同，均为，由图丙可知，型木板的长型木板的宽，由图乙可知，型木板的长等于型木板的长， ∴型木板的面积为： 型木板的面积为： 型木板的面积为：； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 由图1可知，制作一个木盒需要2张，2张和1张， ∴，解得：， ∴共制作型木板，张， ∴共能制作木盒18个， 木箱的总体积为：； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 又原来有20张型木板，故共张型木板， 由题意，得： ∴， 解得：，（均为正整数）， ∵， ∴ ∴当时，，， 即：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时．（答案不唯一） 48．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 【答案】(1) (2)至少开放5个检票口 【分析】（1）根据开放窗口与通过时间相等列方程组求解； （2）设5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放x个检票口．根据开放窗口与通过时间相等列方程和不等式解答． 本题考查三元方程的应用，不等式的应用，根据题意，列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 得， 解得， 将代入①，得， 解得． （2）解：设5分钟内完成检票，需要至少开放x个检票口，根据题意，得 ， 把，代入，得 ， ∵ ， 解得， ∵x为正整数， ∴x最小为5． 答：至少开放5个检票口． 49．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 【答案】任务一：4，1；任务二：最多能制作成600把学生椅；任务三：需要购买该型号板材块，裁切方案为：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【分析】任务一：根据板材长为列式计算即可； 任务二：由板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅，可知方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套，此时共用11块板材，能制作成60把学生椅，然后可得答案； 任务三：先计算出还需要多少椅座和椅背，再计算一共需要的总长度，除以300即为需要该型号板材的数量， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数），由题意列出方程组，求解即可． 【详解】解：任务一：由题意得：（个），（个）， 故方法二：裁切椅背8个和椅座4个；方法三：裁切椅背1个和椅座8个； 故答案为：4，1； 任务二：因为方法二可以裁切出椅背8个和椅座4个，方法三可以裁切出椅背1个和椅座8个， 所以方法二和方法三各裁一块时，能得到椅背9个和椅座12个， 又因为当板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅， 所以方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套， 此时共用11块板材，裁出60个椅背和60个椅座，即能制作成60把学生椅， 所以若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成600把学生椅； 任务三：由题意得：需裁出个椅座，个椅背， ∵（块）， ∴恰好全部用完时，需要购买该型号板材块， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数）， 由题意得：， 整理可得：， 当时，则，， 答：需要购买该型号板材块，裁切方案可以是：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和三元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 50．（24-25八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆 (3)甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元 【分析】（1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得： 3，4，5． 解得：，，． 所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆． （3）三种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）；③（元）． 对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 【经典例题十一 二元一次方程组的新定义问题】 51．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据新定义运算可得，可得，可得，再根据运算法则逐一分析各说法即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 整理得：， ∴其正整数解为：，，，，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， 上式对任意实数x，y均成立， ∴， ∴，故③符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是新定义运算，二元一次方程组的解法，二元一次方程的正整数解问题，含参数的二元一次方程有无数解的问题，理解题意，熟练的利用新定义的运算法则进行运算是解本题的关键． 52．（24-25七年级下·广西河池·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义法则得出，求出的值，再根据新定义运算法则，计算即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解本题的关键在理解新定义运算法则． 53．（24-25七年级下·浙江台州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）． （1）无理数的“雅区间”是 ； （2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为 ． 【答案】 （－3，－2） 1或37 【分析】（1）根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间”；（2）根据“雅区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出c的值． 【详解】（1）∵-3＜＜-2， ∴的“雅区间”是（－3，－2）， 故答案为：（－3，－2）． （2）∵（m，n）是“雅区间”， ∴m和n是相邻的两个整数， 又∵0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解， ∴符合条件的m和n有①m=3，n=4；②m=8，n=9； 当m=3，n=4时，将x=3，y=2代入mx﹣ny＝c得，c=3×3-4×2=1； 当m=8，n=9时，将x=8，y=3代入mx﹣ny＝c得，c=8×8-9×3=37； ∴c的值为1或37， 故答案为：1或37． 【点睛】本题考查新定义、估算无理数的大小及二元一次方程的解等知识，根据新定义结合相关知识正确分析题意是解题关键． 54．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：________，________． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 【答案】(1)，1 (2)， 【分析】（1）根据，结合，解答即可． （2）根据实部等于实部，虚部等于虚部，构造方程组解答即可． 本题考查了新知识的拓展学习，正确理解新知识，并转化成已学知识解答是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴，， 故答案为：，1． （2）解：， ∴， 解得 故x的值为，y的值为． 55．（23-24七年级下·山东滨州·期末）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． (1)当，且时，_______； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（）当，且时，分别求出和即可， （）根据条件列出方程组即可求出的值； （）由任意数对经过运算又得到数对，得，根据 得到代入方程组即可得到答案； 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）当，且时， ， ， ∴， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， ∴，； （3）∵任意数对经过运算又得到数对， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 又均不为， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$