专题02 二元一次方程组的应用重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题02 二元一次方程组的应用重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 开放型问题 题型十五 其他问题 题型十六 新定义问题 知识点1、列方程组解应用题的基本思路： 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 知识点2、列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程。 知识点3、列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 知识点4、列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品克，表取样品克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江西赣州·开学考试）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组是 ． 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）某兴趣小组在开展“探究小球与水面高度关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为的圆柱形烧杯中（烧杯中原有水面高度是），以观察放入大球和小球数量和烧杯中水面高度的变化情况，兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果见图（如图）． 请根据图中信息回答下面的问题： (1)放入一个小球水面升高（    ）． ．               ．                    ．                  ． (2)若放入大球、小球共个，要使水面上升到，设放入大球个，放入小球个，则下列方程不正确的是（    ） ．                        ． ．                                ． (3)现有充足的大球和小球，要使水面上升到，下面的方案正确的序号是（    ） ①往烧杯中放入个大球和个小球 ②往烧杯中放入个大球和个小球 ⑤往烧杯中放入个大球和个小球 ④往烧杯中放入个大球和个小球 ⑤往烧杯中放入个大球 ．①②④⑤                ．②④⑤               ．①④⑤                ．②③④ 3．（24-25七年级下·青海西宁·期末）如图，三个形状，大小都相同的小长方形沿“横—竖—横”排列在一个大长方形中，若这个大长方形的周长为2016cm，则一个小长方形的周长为 cm． 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例2】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示) (1)若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________         (2)用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________ (3)若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________                        3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车的进价共计90万元；3辆型新能源汽车、2辆及型新能源汽车的进价共计85万元． (1)求、两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【经典例题三 方案问题】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）某景点的门票价格如表： 购票人数（人） 100以上 门票单价（元） 40 36 32 (1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？ 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 【经典例题四 行程问题】 【例4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人骑自行车绕圆形跑道行驶，从同一地点同时出发，如果方向相反，每过相遇一次；如果方向相同，每过相遇一次．求甲、乙两人的速度． 1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）某公司在网络平台推出一款新型代驾软件受到大众的欢迎，代驾费由里程费和时长费构成，其中里程费x元/公里，时长费y元/分钟，甲、乙两人用该软件雇佣代驾，按上述计价原则，他们的里程数和所用时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 费用（元） 甲 3 10 16 乙 5 14 24 (1)求x，y的值； (2)如果小王某次叫代驾所行驶里程数为10公里，所付费用为50元，则行驶的时间为多少分钟？ 2．（2023·广东东莞·模拟预测）A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？ 3．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）张老师组织七年级（1）班的学生乘客车去环境自然保护区去参观，前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，已知客车在平路上行驶的平均速度为60千米/时，在上坡路行驶的平均速度为40千米/时．客车从学校到环境自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2时． (1)求客车在平路和上坡路上各行驶多少时间？ (2)第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，问客车在下坡路行驶的平均速度是多少？ 【经典例题五 工程问题】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一家公司单独完成． (1)如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑呢？ 1．（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【经典例题六 数字问题】 【例6】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）某中学为促进阳光体育运动发展，计划购进足球、排球充实体育器材，若购买足球3个、排球2个，共需资金260元，若购买足球4个、排球3个，共需资金360元．求足球、排球的价格分别是多少元？ 1．（24-25九年级上·重庆大渡口·阶段练习）阅读：一个两位数，若它刚好等于它各位数字之和的整数倍，我们称这个两位数为本原数；把一个本原数的十位数字、个位数字交换后得到一个新的两位数，我们称这个新的两位数为本原数的奇异数． (1)一本原数刚好是组成它的两个数字之和的4倍．请写出符合条件的所有本原数； (2)一本原数刚好等于组成它的数字之和的3倍，它的奇异数刚好是两个数字之和的k倍．请问k的值是多少？ (3)一个本原数刚好等于组成它的数字之和的m倍，它的奇异数刚好是这个数的数字之和的n倍，试说明m和n的关系． 2．（24-25九年级·全国·专题练习）若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36． （1）求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除； （2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）巴蜀学子李金珉在24-25年第61届国际数学奥林匹克竞赛中以唯一满分勇夺金牌，全校同学深受鼓舞，校园里掀起了一股热爱数学、研究数学的浪潮.某学习小组讨论了这样一道数学题：若一个多位数各个数位上的数字之和为12的倍数，则称其为“榜样数”，例如：879，因为，则879为“榜样数”；又如：678492，因为，则678492也是“榜样数”. （1）95______“榜样数”；56382______“榜样数”（横线上填“是”或“不是”）； （2）最大的三位“榜样数”是______，最小的四位“榜样数”为______； （3）若一个四位正整数是“榜样数”，且满足十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字小3，且百位数字和十位数字之和是千位数字与个位数字之和的3倍，求出满足条件的四位数. 【经典例题七 年龄问题】 【例7】（24-25七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 1．（24-25七年级下·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁． 2．（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【经典例题八 分配问题】 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 1．（24-25七年级下·海南海口·期中）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量人，乙种客车每辆载客量人，已知辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元． (1)求辆甲种客车和辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用甲、乙两种客车共辆，送名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租车费用是多少？ 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 【经典例题九 销售利润问题】 【例9】（2025·宁夏·模拟预测）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个主要粮食农作物．某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是元，玉米糁每袋的生产成本是元，每日两种产品合计生产袋．（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） (1)若该工厂某日生产成本为元，则两种产品各生产多少袋？ (2)若大米每袋的售价是元，玉米糁每袋的售价是元，该工厂每日所得利润可能是元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由． 2．（24-25七年级下·全国·期末）某学校计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子的单价是元，手套的单价是元，并且学校用于购买帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件） (1)第一次购买的帽子和手套共件，求第一次学校购买帽子和手套各多少件． (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折；手套件起售，超过件的部分每件优惠元，经过学校统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学校第二次需要准备多少资金用来购买手套和帽子？ 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，邵东市某食品有限公司在端午节前为紧贴消费趋势、匹配新兴消费需求，新推出了板栗粽、牛肉粽、鲜肉粽、剁辣椒肉粽、梅干菜肉粽等，丰富的口味赢得了市场青睐．已知每个牛肉粽的进价比剁辣椒肉粽多元，个剁辣椒肉粽和个牛肉粽进价为元． (1)剁辣椒肉粽、牛肉粽的进价分别为多少元每个？ (2)若某商铺一次性购进个剁辣椒肉粽和个牛肉粽，并分别以元个和元个的定价按以下方式销售：端午节前牛肉粽涨价，端午节后牛肉粽打九折，剁辣椒肉粽的售价始终保持不变．若两种粽子全部售出后共获利元，求端午节前牛肉粽售出的个数． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（24-25八年级上·山东青岛·期末）根据以下素材，探索解决问题． 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材二：谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分如下表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0 脂肪（g） 2.1 3.2 8.0 水分（g） 40.2 89.8 74.1 素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如下表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于． 套餐 肉类 蔬菜类 主食 A B 问题解决： (1)若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量； (2)若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？ (3)为平衡膳食、请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算）________（填序号）． ①A套餐1天、B套餐4天        ②A套餐2天、B套餐3天 ③A套餐3天、B套餐2天        ④A套餐4天、B套餐1天 1．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）为了防治“甲流病毒”，某医药公司计划用两种车型购买相关药物．已知用2辆A型车和1辆型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆型车装满药物一次可运13吨． (1)求1辆A型车和1辆型车都装满药物一次可分别运多少吨？ (2)该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车辆，型车辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．请你帮该医药公司设计租车方案，求出所有租车方案．（甲、乙两辆车均有在使用） 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 3．（24-25七年级下·河北沧州·期中）庚子鼠年，疫情肆虑，口罩成为生活必需品．甲、乙两厂分别有4条和5条口罩生产线，两厂计划用3天时间赶制1000箱口罩支援疫情．若甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；若甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱． (1)甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量各是多少箱？ (2)两厂满负荷生产，是否可以如期完成任务？ 【经典例题十一 几何问题】 【例11】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据素材，完成任务． 利用现有木板制作长方体木箱问题 素材1 如图长方体木箱的长、宽、高分别是厘米、厘米、b厘米． 素材2 现有甲、乙、丙三块木板，甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做成箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）． 问题解决 任务1 请用含a，b的代数式表示这三块木板的面积． 任务2 若长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，则甲、乙、丙三块木板的面积和是多少？ 任务3 若甲木板面积是乙木板面积的3倍，求箱子侧面积与表面积的比值． 2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形都是“优美长方形”．      【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长； 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程 ， 解得 ， 正方形的边长为 ． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形和正方形的周长相等，正方形的边长为，，求“优美长方形“的长． 3．（23-24八年级上·山西运城·阶段练习）综合与实践 小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． (1)小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积． 解决问题： 请按照小许的思路完成上述问题： (2)动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程． 【经典例题十二 图表信息题】 【例12】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． 填空：a=______，b=______，c=______； d=______，e=______，f=______． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某山区有若干名中，小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 5000 (1)求a，b的值； (2)九年级学生的捐款恰好解决了剩余贫困中小学生的学习费用，请计算九年级学生可捐助的贫困小学生人数． 3．（24-25七年级下·广东·期中）现有一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，为节约成本，每辆货车均装满．已知过去两次租用这两种货车的运货情况如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车辆数（单位：辆） 2 5 乙种货车辆数（单位：辆） 3 6 该次运货物吨数（单位：吨） 17 38 (1)求甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ (2)现租用该公司3辆甲种货车及4辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？ 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 1．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？” (1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人； (2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？ 2．（24-25七年级下·河南新乡·期中）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只， ① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）； ② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________； (2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数； (3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是． (1)类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________． (2)解由图2列出的方程组． 【经典例题十四 开放型问题】 【例14】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 1．（24-25七年级下·北京通州·期末）小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边. (1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ； (2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个? (3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值. 2．（24-25七年级下·江苏·单元测试）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程． 【经典例题十五 其他问题】 【例15】（24-25七年级上·四川达州·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家年月用水吨，交水费元．月份用水吨，交水费元． (1)求、的值； (2)如果小王家月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家月份忘记了去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨，其中月份用水超过吨，一共交水费元，其中包含元滞纳金，求小王家月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某市《生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现： ①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了； ②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占； ③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有的废纸； ④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克． 根据上述信息回答下面的问题： (1)学校现在每天的可回收物和干垃圾各为多少千克？ (2)回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六年级平均每个学生5分钟可清理干垃圾3千克，七年级平均每个学生5分钟可清理干垃圾5千克，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟可以将学校1天的所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加） 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 3、（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某市《生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现：①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了；②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占；③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有的废纸；④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克．根据上述信息回答下面的问题： (1)学校现在每天的可回收物和干垃圾各为多少千克？ (2)回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六、七年级每个学生清理干垃圾的效率分别为3千克/5分钟、5千克/5分钟，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟将所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加） 【经典例题十六 新定义问题】 【例16】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 3．（23-24七年级下·江西宜春·阶段练习）定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“美好数”，点为“美好点”． (1)下列命题：①若点为“美好点”，则点也一定为“美好点”；②存在与1互为“美好数”的数；③若点与互为相反数，则一定不是“美好点”．其中真命题是 （填序号） (2)若为“美好点”，求的值． (3)已知，是二元一次方程组的解，请判断点是否为“美好点”？若是，请求的值；若不是，请说明理由． 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为2，小长方形的周长为28，则图中阴影部分的面积为（   ） A．120 B．110 C．90 D．80 3．（23-24七年级下·河南新乡·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 4．（2024·浙江嘉兴·三模）现有一列数，，，…，，满足任意相邻三个数的和为同一常数，当，，时，的值为（    ） A．18 B．22 C．2024 D．2032 5．（2024·湖北十堰·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两． 答∶1枚黄金重 两；1枚白银重 两． 6．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则 ． 8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）张老师每天下班后沿街匀速步行回家，途经新兴路大桥．他发现每隔20分钟从背后驶过一辆7路公交车，每隔12分钟迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车终点站每隔固定时间发一辆车．问： （1）7路公交车行驶速度是张老师行走速度的 倍． （2）7路公交车终点站每间隔 分钟发一辆车． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）问题情境： 目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 问题解决： 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？ 10．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 11．（23-24七年级下·江苏南通·期中）某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 55 4 220 B 18 C 12 D 9 12 合计 - 32 556 (1)购买 D种奖品的金额为 元； (2)求购买的 B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，该校七年级以上面的价格再购进 B，C，D三种奖品共20件，共花费210元，请确定所有可能的购买方案． 12．（23-24八年级上·广东茂名·期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元． (1)请分别求出、两种口罩的进价是多少元？ (2)已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？ 13．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆型车一次可运11吨，某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆A型车和1辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金每次100元，型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 14．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）某药店采购部于3月份和4月份从工厂定制一批印有药店商标的口罩．普通版和精美版的定制费每盒分别是1元和2元．若三月份定制普通版，四月份定制精美版共需定制费600元；若三月份定制精美版，四月份定制普通版共需定制费450元．该药店在3，4月份均将当月定制的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元． (1)求3，4月各购进口罩多少盒． (2)已知每盒口罩进价20元（含定制费），3月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①填表，并用含a的代数式表示b． 原价部分总利润 优惠部分总利润 甲店 10a A 乙店 B C ②4月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后（），剩余口罩全部捐献给医院．且预计乙店3，4月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求a，b，n可能的值． 15．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒 板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） 4x 3y B型（张） x ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案） (3)若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2中横式无盖礼品盒，当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个（在横线上直接写出所有可能的答案） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二元一次方程组的应用重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 开放型问题 题型十五 其他问题 题型十六 新定义问题 知识点1、列方程组解应用题的基本思路： 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 知识点2、列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程。 知识点3、列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 知识点4、列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品克，表取样品克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 设钻取样品克，表取样品克，根据等量关系“钻取和表取两种方式共采集样品1935克”和“表取是钻取的4倍还多310克”列方程组即可． 【详解】解：设钻取样品克，表取样品克， 由题意可得：． 故选B． 1．（24-25八年级上·江西赣州·开学考试）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，根据图形找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）某兴趣小组在开展“探究小球与水面高度关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为的圆柱形烧杯中（烧杯中原有水面高度是），以观察放入大球和小球数量和烧杯中水面高度的变化情况，兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果见图（如图）． 请根据图中信息回答下面的问题： (1)放入一个小球水面升高（    ）． ．               ．                    ．                  ． (2)若放入大球、小球共个，要使水面上升到，设放入大球个，放入小球个，则下列方程不正确的是（    ） ．                        ． ．                                ． (3)现有充足的大球和小球，要使水面上升到，下面的方案正确的序号是（    ） ①往烧杯中放入个大球和个小球 ②往烧杯中放入个大球和个小球 ⑤往烧杯中放入个大球和个小球 ④往烧杯中放入个大球和个小球 ⑤往烧杯中放入个大球 ．①②④⑤                ．②④⑤               ．①④⑤                ．②③④ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据放入个体积相同的小球水面升高了即可求解； （）根据放入个体积相同的大球水面升高了，求出放入一个大球水面升高的高度，再分三种情况列方程（组）即可判断求解； （）分别求出每一种方案的水面高度即可求解； 本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，根据题意，正确求出放入一个小球和大球水面上升的高度是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，放入个体积相同的小球水面升高了， ∴放入一个小球水面升高， 故选：； （2）解：由题意可得，放入个体积相同的大球水面升高了， ∴放入一个大球水面升高， 设放入大球个，则由题意得，； 设放入小球个，则由题意得，； 设放入大球个，放入小球个，则由题意得，； ∴选项方程组不正确， 故选：； （3）解：∵， ∴方案①不正确； ∵， ∴方案②正确； ∵， ∴方案③不正确； ∵， ∴方案④正确； ∵， ∴方案⑤正确； 综上，方案正确的是②④⑤， 故选： 3．（24-25七年级下·青海西宁·期末）如图，三个形状，大小都相同的小长方形沿“横—竖—横”排列在一个大长方形中，若这个大长方形的周长为2016cm，则一个小长方形的周长为 cm． 【答案】672 【分析】设小矩形的长为xcm，宽为ycm，则大矩形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm．根据矩形的周长公式结合大矩形的周长为2016cm即可得出关于（x+y）的一元一次方程，解之即可得出（x+y）的值，再根据矩形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设小矩形的长为xcm，宽为ycm，则大矩形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm． 根据题意得：2（2x+y+x+2y）=2016， 解得：2（x+y）=672， ∴小矩形的周长为672cm． 故答案为：672． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，将（x+y）当成一个整体利用矩形的周长公式找出关于（x+y）的一元一次方程是解题的关键． 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例2】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：B． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组求得图③的长方形的长和宽，再计算①②图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图①可知 解得： 由图②可知： 设图①的阴影部分周长为 ，设图②的阴影部分周长为 故答案为 ： 【点睛】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减，用含的代数式表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示) (1)若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________         (2)用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________ (3)若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________                        【答案】(1) 36.5； (2) ； (3) ， 【分析】（1）设A的边长为x，B的边长为y，列出等式组解得x、y的值，再根据面积公式计算即可. （2）由题意列出m、n的关系式，根据不等式关系进行化简即可. （3）根据题意，列出S阴影面积与A、B面积的关系式，进行化简求值即可. 【详解】(1)设A的边长为x，B的边长为y，则 ①+②得：2x=11 x=5.5 即A和B的面积之和为36.5. （2） 解得：x=, y= A、B面积之和= = (3)= 由题意得： 解得： 【点睛】本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键. 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车的进价共计90万元；3辆型新能源汽车、2辆及型新能源汽车的进价共计85万元． (1)求、两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元 (2)共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用； （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于的二元一次方程，结合均为正整数即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得： 解得： 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元． （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， ， 均为正整数， 为的倍数， 解得：或或 答：共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆． 【经典例题三 方案问题】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 【答案】(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生 (2)八年级报名38人，九年级报名58人 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用． （1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若，②若，由题意分别列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生， 由题意，得， 解得， 答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生； （2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况： ①若，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ②若，由题意，得， 解得， 答：八年级报名38人，九年级报名58人． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【答案】(1)租用了条四座电瓶船 (2)方案见解析；最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用． （1）根据题意，设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，列出方程并正确计算即可； （2）先计算出共有学生数量，设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则，再分别计算出方案一到方案三所花费用，进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，根据题意得， 解得：， ∴，， ∴租用了条四座电瓶船，条六座电瓶船 答：租用了条四座电瓶船 （2）解：由（1）可得学生人数为人 设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则 ∴， ∴ ∵为正整数， ∴或或 方案一：租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船，总费用为元， 方案二：租用6条四座电瓶船，4条六座电瓶船，总费用为元， 方案三：租用9条四座电瓶船，2条六座电瓶船，总费用为元， ∵ ∴最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）某景点的门票价格如表： 购票人数（人） 100以上 门票单价（元） 40 36 32 (1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？ 【答案】(1)七年级1班人数为49人，则2班人数为53人，联合购票，节省604元 (2)八年级报名人数为人，九年级报名人数为人 【分析】本题考查一元一次方程和二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组是解题的关键： （1）设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，根据售票方式，列出方程，进行求解即可； （2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人，根据两种不同的购票方式，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴七年级1班人数为49人，则2班人数为53人； 联合购票，节省：（元） 答：七年级1班人数为49人，则2班人数为53人；联合购票，节省604元． （2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人， 若，则：，解得：，不合题意，舍去； ∴， ∴，解得：， 答：八年级报名人数为人，九年级报名人数为人． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得时看到的数字为，时看到的数字为，时看到的数字为，再根据相同时间内所走的路程相同建立方程组即可． 【详解】解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，， 故答案为：． 【经典例题四 行程问题】 【例4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人骑自行车绕圆形跑道行驶，从同一地点同时出发，如果方向相反，每过相遇一次；如果方向相同，每过相遇一次．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是或甲的速度是，乙的速度是 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度是，乙的速度是，根据两种不同的方式列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意，得或 即或 解得或 答：甲的速度是，乙的速度是或甲的速度是，乙的速度是． 1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）某公司在网络平台推出一款新型代驾软件受到大众的欢迎，代驾费由里程费和时长费构成，其中里程费x元/公里，时长费y元/分钟，甲、乙两人用该软件雇佣代驾，按上述计价原则，他们的里程数和所用时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 费用（元） 甲 3 10 16 乙 5 14 24 (1)求x，y的值； (2)如果小王某次叫代驾所行驶里程数为10公里，所付费用为50元，则行驶的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)行驶的时间为30分钟． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用： （1）根据表格数据结合计费方式列出方程组进行求解即可； （2）根据计费方式，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）（分钟）； 答：行驶的时间为30分钟． 2．（2023·广东东莞·模拟预测）A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？ 【答案】(1)甲每小时行3千米，乙每小时行5千米 (2)出发后小时或小时两人相距1千米 【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：30分钟×甲的速度+30分钟×乙的速度=4千米，4千米-40分钟×甲的速度=（4千米-40分钟×乙的速度）×3，依此列出方程求解即可，注意单位换算； （2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时行千米，乙每小时行千米． 依题意： 解方程组得 答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米． （2）相遇前：（小时）， 相遇后：（小时）． 故在他们出发后小时或小时两人相距1千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型． 3．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）张老师组织七年级（1）班的学生乘客车去环境自然保护区去参观，前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，已知客车在平路上行驶的平均速度为60千米/时，在上坡路行驶的平均速度为40千米/时．客车从学校到环境自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2时． (1)求客车在平路和上坡路上各行驶多少时间？ (2)第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，问客车在下坡路行驶的平均速度是多少？ 【答案】(1)客车在平路和上坡路上分别行驶时间为2.4时、1.8时 (2)客车在下坡路行驶的平均速度是80千米/时 【分析】（1）设汽车在平路行驶了x千米，在上坡路行驶了y千米，根据“汽车从学校到自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2时，且平路长度为上坡路的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用速度=路程÷时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设平路的距离为x千米，坡路的距离为y千米， ， 解得：， 时，时 答：客车在平路和上坡路上分别行驶时间为2.4时、1.8时． （2）解：由题意可知：第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，平路时间不变，去时的上坡路变成回程的下坡路，因此下坡路时间减少0.9时， 千米/时 答：客车在下坡路行驶的平均速度是80千米/时． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【经典例题五 工程问题】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一家公司单独完成． (1)如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑呢？ 【答案】(1)从节约时间的角度考虑应该选择甲公司 (2)从节约开支的角度考虑应该选择乙公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n．依题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元．依题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． 根据题意，得， 解得， ， ∴甲公司的工作效率高． 故从节约时间的角度考虑应该选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元． 根据题意，得， 解得， 由（1）可知，甲公司单独完成需要10周，乙公司单独完成需要15周， ∴甲公司共需（万元），乙公司共需（万元）． ∵4.5万元万元， ∴从节约开支的角度考虑应该选择乙公司． 1．（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天 (2)元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用， （1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可； （2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可． 【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：． 答：工程队整治河道天，工程队整治河道天； （2）解：根据题意得： 元． 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【答案】(1)甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米 (2)甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米．利用两组每天可共铺设地面80平方米，再建立方程求解即可； （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元．结合两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，再建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米． ， ， ∴乙组每天铺设（平方米）， 答：甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米． （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元． ， 得：， 答：甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． (2)有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名；抽调熟练工名，招聘新工人名． (3)为了节省成本，应该招聘新工人名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可； （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可； （3）求出方案和方案的成本，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 由题意得：，解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， 、为正整数，且， 或， 有种工人的招聘方案： 抽调熟练工名，招聘新工人名； 抽调熟练工名，招聘新工人名． （3）方案中，每月发放工资为：元； 方案中，每月发放工资为：元； ， 为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名． 【经典例题六 数字问题】 【例6】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）某中学为促进阳光体育运动发展，计划购进足球、排球充实体育器材，若购买足球3个、排球2个，共需资金260元，若购买足球4个、排球3个，共需资金360元．求足球、排球的价格分别是多少元？ 【答案】足球的价格为元，排球的价格为元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，准确理解等量关系是解题的关键．设足球的价格为，排球的价格为，根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：设足球的价格为元，排球的价格为元， 根据题意得到， 解得， 答：足球的价格为元，排球的价格为元． 1．（24-25九年级上·重庆大渡口·阶段练习）阅读：一个两位数，若它刚好等于它各位数字之和的整数倍，我们称这个两位数为本原数；把一个本原数的十位数字、个位数字交换后得到一个新的两位数，我们称这个新的两位数为本原数的奇异数． (1)一本原数刚好是组成它的两个数字之和的4倍．请写出符合条件的所有本原数； (2)一本原数刚好等于组成它的数字之和的3倍，它的奇异数刚好是两个数字之和的k倍．请问k的值是多少？ (3)一个本原数刚好等于组成它的数字之和的m倍，它的奇异数刚好是这个数的数字之和的n倍，试说明m和n的关系． 【答案】(1)12，24，36，48； (2) (3) 【分析】（1）设这个本原数的十位数字为x，个位数字为y，有，得的关系，进而得到答案． （2）设这个本原数的十位数字为x，个位数字为y，有，得的关系，找出满足条件的数，找出奇异数，进行求解即可． （3）设这个本原数的十位数字为x，个位数字为y．则由题意可列方程组，两式相加求解即可． 【详解】（1）解：设这个本原数的十位数字为x，个位数字为y． 由题意知： 解得 ∴符合条件的本原数为12，24，36，48； （2）解：设这个本原数的十位数字为x，个位数字为y． 由题意知： 解得 ∴满足条件的数为27，它的奇异数是72 ∴ ∴； （3）解：设这个本原数的十位数字为x，个位数字为y． 由题意知： ①+②得 ∴ 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于依据题意正确的列方程． 2．（24-25九年级·全国·专题练习）若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36． （1）求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除； （2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值． 【答案】（1）见解析；（2） B 的值为68或59． 【分析】（1）设A的十位数字为a，个位数字为b，其“诚勤数”为100a+20+b、“立达数”为10a+b+2，作差整理即可得； （2）设B=10a+b，1≤a≤9，0≤b≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），根据““立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半”列出关于a、b的方程，求解可得． 【详解】解：（1）设A的十位数字为a，个位数字为b， 则A＝10a+b，它的“诚勤数”为100a+20+b，它的“立达数”为10a+b+2， ∴100a+20+b-（10a+b+2）＝90a+18＝6（15a+3）， ∵a为整数， ∴15a+3是整数， 则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除； （2）设B＝10m+n，1≤m≤9，0≤n≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位）， ∴B+2＝10m+n+2， 则B的“立达数”为10（m+1）+（n+2-10）， ∴m+1+n+2﹣10=（m+n）， 整理，得m+n＝14， ∵1≤m≤9，0≤n≤9， ∴、、、、， 经检验：77、86和95不符合题意，舍去， ∴所求两位数为68或59． 【点睛】本题主要考查了数字问题，根据题意表示出A、B两数的“立达数”、“诚勤数”及其变化是解题的关键． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）巴蜀学子李金珉在24-25年第61届国际数学奥林匹克竞赛中以唯一满分勇夺金牌，全校同学深受鼓舞，校园里掀起了一股热爱数学、研究数学的浪潮.某学习小组讨论了这样一道数学题：若一个多位数各个数位上的数字之和为12的倍数，则称其为“榜样数”，例如：879，因为，则879为“榜样数”；又如：678492，因为，则678492也是“榜样数”. （1）95______“榜样数”；56382______“榜样数”（横线上填“是”或“不是”）； （2）最大的三位“榜样数”是______，最小的四位“榜样数”为______； （3）若一个四位正整数是“榜样数”，且满足十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字小3，且百位数字和十位数字之和是千位数字与个位数字之和的3倍，求出满足条件的四位数. 【答案】（1）不是；是；（2）996；1029；（3）3360． 【分析】（1）根据“榜样数”的定义即可求解； （2）根据“榜样数”的定义即可求解； （3）设千位数为a，则十位数为2a，设百位数为x，则个位数为：x-3，再进行讨论可得满足条件的四位数． 【详解】解：（1）9+5=14≠12n,故不是“榜样数”； 5+6+3+8+2=24=12×2,故是“榜样数”； 故答案为：不是；是； （2）依题意得：最大的三位“榜样数”是996；最小的四位“榜样数”为1029； 故答案为：996；1029； （3）设千位数为a，则十位数为2a，设百位数为x，则个位数为：x-3 依题意得各位位数之和可能是:12，24，36，依题意得： 或或 解得或（舍去）或（舍去） 故这个四位数为：3360． 【点睛】此题主要考查了约数与倍数，新定义，解本题的关键是理解新定义，掌握数的整除是解本题的难点． 【经典例题七 年龄问题】 【例7】（24-25七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 1．（24-25七年级下·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁． 【答案】29 【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄−学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁−老师今年的年龄=老师今年的年龄−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答． 【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁， 由题意得：， 解得：， 故数学老师今年的年龄是29岁， 故答案为：29． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 2．（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得： ， 解得： ． 答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【经典例题八 分配问题】 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 1．（24-25七年级下·海南海口·期中）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量人，乙种客车每辆载客量人，已知辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元． (1)求辆甲种客车和辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用甲、乙两种客车共辆，送名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租车费用是多少？ 【答案】(1)辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元 (2)租车费用是元 【分析】（1）可设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，根据等量关系：辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，列出方程组求解即可； （2）根据题意，刚好全部坐满，确定等量关系：甲客车人数+乙客车人数，建立一元一次方程求解，进而求出费用即可． 【详解】（1）解：设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，依题意有 ， 解得， 答：辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元． （2）解：设租用甲种客车辆，乙种客车辆，则 ，解得， 元． 答：刚好坐满时，租车费用是元． 【点睛】本题考查一元一次方程及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系． 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者； (2)36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，根据题中等量关系列出方程组即可；　 （2）设需调配36座客车辆，22座客车辆，根据题意列出二元一次方程， 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，依题意，得：， 解得：； 答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者． （2）解：设需调配36座客车辆，22座客车辆， 依题意，得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴； 答：36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，根据题意列出方程组与方程是解题的关键． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 【答案】(1)5；10 (2)制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完 【分析】（1）根据1个竖式纸盒需要长方形纸板4张，正方形纸板1张，1个横式纸盒需要长方形纸板3张，正方形纸板2张，求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒需要的正方形纸板和长方形纸片的张数即可； （2）设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据制作竖式纸盒和横式纸盒需要的正方形和长方形纸板数列出方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：需正方形纸板：（张）， 长方形纸板：（张）， 故答案为：5；10． （2）解：设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意得： ， 解得：， 答：制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据正方形和长方形张数列出方程组． 【经典例题九 销售利润问题】 【例9】（2025·宁夏·模拟预测）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元 (2)共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆 (3)购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元 【分析】（）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 由题意得，， 解得， 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 由题意得，， 解得， ，均为正整数， ，，， 共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元； ， 购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个主要粮食农作物．某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是元，玉米糁每袋的生产成本是元，每日两种产品合计生产袋．（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） (1)若该工厂某日生产成本为元，则两种产品各生产多少袋？ (2)若大米每袋的售价是元，玉米糁每袋的售价是元，该工厂每日所得利润可能是元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由． 【答案】(1)大米生产了袋，玉米糁生产了袋 (2)该工厂每日所得利润不能是元，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋，根据“每日两种产品合计生产袋，且该工厂某日的生产成本为元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）假设该工厂每日所得利润能是元，设每日生产大米m袋，玉米糁n袋，根据“每日两种产品合计生产袋，且该工厂每日所得利润能是元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再结合每日生产的大米和玉米糁均为整数袋，可得出假设不成立，即该工厂每日所得利润不能是元． 【详解】（1）解：设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋， 根据题意得：， 解得：． 答：大米生产了袋，玉米糁生产了袋； （2）解：该工厂每日所得利润不能是元，理由如下： 假设该工厂每日所得利润能是元，设每日生产大米m袋，玉米糁n袋， 根据题意得：， 解得：， 又∵每日生产的大米和玉米糁均为整数袋， ∴不符合题意， ∴假设不成立， ∴该工厂每日所得利润不能是2810元． 2．（24-25七年级下·全国·期末）某学校计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子的单价是元，手套的单价是元，并且学校用于购买帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件） (1)第一次购买的帽子和手套共件，求第一次学校购买帽子和手套各多少件． (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折；手套件起售，超过件的部分每件优惠元，经过学校统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学校第二次需要准备多少资金用来购买手套和帽子？ 【答案】(1)帽子件，手套件； (2)元． 【分析】（1）设第一次学校购买件帽子，件手套，结合题意列出二元一次方程组后求解即可； （2）设第二次学校购买了件帽子，件手套，结合题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】（1）解：设第一次学校购买件帽子，件手套， 由题意得， 解得， 答：第一次学校购买帽子件，手套件． （2）解：设第二次学校购买了件帽子，件手套， 由题意得， 解得， （元）， 该学校第二次需要准备元用来购买手套和帽子． 答：该学校第二次需要准备元用来购买手套和帽子． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键正确理解题意并列出二元一次方程组． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，邵东市某食品有限公司在端午节前为紧贴消费趋势、匹配新兴消费需求，新推出了板栗粽、牛肉粽、鲜肉粽、剁辣椒肉粽、梅干菜肉粽等，丰富的口味赢得了市场青睐．已知每个牛肉粽的进价比剁辣椒肉粽多元，个剁辣椒肉粽和个牛肉粽进价为元． (1)剁辣椒肉粽、牛肉粽的进价分别为多少元每个？ (2)若某商铺一次性购进个剁辣椒肉粽和个牛肉粽，并分别以元个和元个的定价按以下方式销售：端午节前牛肉粽涨价，端午节后牛肉粽打九折，剁辣椒肉粽的售价始终保持不变．若两种粽子全部售出后共获利元，求端午节前牛肉粽售出的个数． 【答案】(1)剁辣椒肉粽的进价为元，牛肉粽的进价为元 (2)端午节前牛肉粽售出个 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程与实际应用，找准等量关系，列出方程（组）是解题的关键； （1）设剁辣椒肉粽的进价为元，牛肉粽的进价为元，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． （2）设端午节前牛肉粽售出个，则端午节后牛肉粽售出个，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设剁辣椒肉粽的进价为元，牛肉粽的进价为元， 由题意得：， 解得： 答：剁辣椒肉粽的进价为元，牛肉粽的单进价为元； （2）解：设端午节前牛肉粽售出个，则端午节后牛肉粽售出个， 由题意可得， 解得： 答：端午节前牛肉粽售出个． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（24-25八年级上·山东青岛·期末）根据以下素材，探索解决问题． 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材二：谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分如下表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0 脂肪（g） 2.1 3.2 8.0 水分（g） 40.2 89.8 74.1 素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如下表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于． 套餐 肉类 蔬菜类 主食 A B 问题解决： (1)若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量； (2)若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？ (3)为平衡膳食、请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算）________（填序号）． ①A套餐1天、B套餐4天        ②A套餐2天、B套餐3天 ③A套餐3天、B套餐2天        ④A套餐4天、B套餐1天 【答案】(1) (2)该早餐中牛奶，谷物 (3)② 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、百分数的应用等内容； （1）根据比例计算蛋白质总含量即可； （2）根据营养成分得条件建立二元一次方程组求解即可； （3）分别计算出每一方案的蔬菜总量和肉类总量，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，（g）； 答：该份早餐中蛋白质总含量为； （2）解：设该早餐中牛奶，谷物， 由题意得：， 解得：， 答：该早餐中牛奶，谷物； （3）解：A套餐每天蔬菜250克，肉类80克，B套餐每天蔬菜300克，肉类50克， 一周按5天计算， ①A套餐1天、B套餐4天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ②A套餐2天、B套餐3天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ③A套餐3天、B套餐2天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ④A套餐4天、B套餐1天，蔬菜总量为克，肉类总量为． 只有A套餐2天、B套餐3天满足蔬菜不少于克，肉类不少于克， 故选：②． 1．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）为了防治“甲流病毒”，某医药公司计划用两种车型购买相关药物．已知用2辆A型车和1辆型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆型车装满药物一次可运13吨． (1)求1辆A型车和1辆型车都装满药物一次可分别运多少吨？ (2)该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车辆，型车辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．请你帮该医药公司设计租车方案，求出所有租车方案．（甲、乙两辆车均有在使用） 【答案】(1)1辆A型车装满药物一次可运3吨，1辆型车装满药物一次可运5吨 (2)有2种租车方案：租A型车6辆，型车3辆；租A型车1辆，型车6辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设1辆型车装满药物一次可运吨，1辆型车装满药物一次可运吨，根据用2辆型车和1辆型车装满药物一次可运11吨，用1辆型车和2辆型车装满药物一次可运13吨．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用型车辆，型车辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满药物一次可运吨，1辆型车装满药物一次可运吨， 由题意得： 解得： 答：1辆A型车装满药物一次可运3吨，1辆型车装满药物一次可运5吨． （2）解：由题意，得， 整理得：， 因为，均为正整数，所以或 所以有2种租车方案： ①租A型车6辆，型车3辆； ②租A型车1辆，型车6辆． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 【答案】(1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 (2)在网店B购买更省钱 【分析】（1）设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元，再根据两种资料单价和为200元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求结合所给的折扣分别计算出两个网店的花费即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 （2）解：网店A的花费为元， 网店B的花费为元， ∵， ∴在网店B购买更省钱． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求出两种资料的单价是解题的关键． 3．（24-25七年级下·河北沧州·期中）庚子鼠年，疫情肆虑，口罩成为生活必需品．甲、乙两厂分别有4条和5条口罩生产线，两厂计划用3天时间赶制1000箱口罩支援疫情．若甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；若甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱． (1)甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量各是多少箱？ (2)两厂满负荷生产，是否可以如期完成任务？ 【答案】(1)甲厂每条口罩生产线每天的产量是42箱，乙厂每条口罩生产线每天的产量是35箱 (2)能如期完成任务 【分析】（1）设甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量分别为箱和箱，根据甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱，列出方程组进行求解即可； （2）求出满负荷生产时，3天能够生产的总量，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量分别为箱和箱， 则，解得； 答：甲厂每条口罩生产线每天的产量是42箱，乙厂每条口罩生产线每天的产量是35箱． （2）∵， ∴能如期完成任务． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组． 【经典例题十一 几何问题】 【例11】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【答案】(1)小长方形的长为米，宽为米； (2)要完成这块绿化工程，预计花费元． 【分析】（）设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组，然后求解即可； （）利用“平方米造价总面积”即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意可列方程组， 整理得： 解得：， 答：小长方形的长为米，宽为米； （2）解：（元）， 答：要完成这块绿化工程，预计花费元． 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据素材，完成任务． 利用现有木板制作长方体木箱问题 素材1 如图长方体木箱的长、宽、高分别是厘米、厘米、b厘米． 素材2 现有甲、乙、丙三块木板，甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做成箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）． 问题解决 任务1 请用含a，b的代数式表示这三块木板的面积． 任务2 若长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，则甲、乙、丙三块木板的面积和是多少？ 任务3 若甲木板面积是乙木板面积的3倍，求箱子侧面积与表面积的比值． 【答案】任务一：甲木板面积：平方厘米，乙木板面积：平方厘米，丙木板面积： 平方厘米；任务二：；任务三： 【分析】任务一：根据题意结合长方形的面积公式列式整理即可； 任务二：由长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，再建立方程组求解的值，再列式计算即可． 任务三：由题意可得：，可得，再列式计算比值即可； 【详解】任务一： 解：由题意得：甲木板面积：平方厘米， 乙木板面积：平方厘米， 丙木板面积： 平方厘米； 任务二：由题意可得： ， 解得：， ∴甲、乙、丙三块木板的面积和为 ； 任务三：由题意可得：， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 箱子侧面积为：， 箱子表面积为：； ∴箱子侧面积与表面积的比值为 ； 【点睛】本题考查了整式混合运算的实际应用，因式分解的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出甲、乙、丙三块木板面积的式子是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形都是“优美长方形”．      【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长； 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程 ， 解得 ， 正方形的边长为 ． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形和正方形的周长相等，正方形的边长为，，求“优美长方形“的长． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，线段的和差计算，正确理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据长方形周长列一元一次方程求解即可； （2）由题意可知，图2中小长方形的长和宽分别为和，根据图2得出的小长方形的长和宽关系，列二元一次方程求解即可； （3）由正方形的边长可知，再由，得出，即可求出的长． 【详解】（1）解：若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程， 解得， 正方形的边长为， 故答案为：；；； （2）解：由图1可知，， ， 设图2中小长方形的长和宽分别为和， 则，解得：， 图2中每块小长方形的面积为； （3）解：正方形的边长为， ， ， ， ， ， ． 3．（23-24八年级上·山西运城·阶段练习）综合与实践 小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． (1)小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积． 解决问题： 请按照小许的思路完成上述问题： (2)动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用， （1）设小长方形的长为、宽为，根据图示可以列出方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积即可； （2）设小长方形的长为，宽为，根据“长方形的对边相等及小正方形的边长为”列出方程组，求解后再根据长方形的面积公式即可得出答案； 根据图示找出数量关系并列出方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， ∴ 答：阴影部分的面积为； （2）设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：， ∴ 答：每个小长方形的面积为． 【经典例题十二 图表信息题】 【例12】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【答案】(1)大球为2个，小球为4个 (2)三种，当大球6个，小球2个，或大球3个，小球6个，或只放10个小球，过程见解析 【分析】本题考查了列二元一次方程组和列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及二元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键． （1）由图得出一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度．设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设此时需a个大球，个小球，根据题意列出方程，由、均为正整数列出所有符合条件的a、b的值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度． 设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度． 解得： 答∶需放入大球为2个，小球为4个时，水面上升到40个单位的高度． （2）解：容器恰好装满时，水位需上涨30个单位高度，设此时需a个大球，个小球，则： ． 所以 因为、均为正整数，所以有以下三种情况， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件． 即：当大球6个，小球2个或大球3个，小球6个或只放10个小球时，容器恰好装满． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． 填空：a=______，b=______，c=______； d=______，e=______，f=______． 【答案】(1)x=-1，y=1 (2)0，-1，5；5，4，10 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，列方程组可求出a，b，c的值；设图丙中三个空格中的数分别为d，e，f的值． 【详解】（1）由题意得 ， 解得 ． （2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，由题意得 ， 整理得 ， 解得 ． 故答案为：0，-1，5； 设图丙中三个空格中的数分别为m，n，h，由题意得 ， 整理得 ， 解得 ． 故答案为：5，4，10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某山区有若干名中，小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 5000 (1)求a，b的值； (2)九年级学生的捐款恰好解决了剩余贫困中小学生的学习费用，请计算九年级学生可捐助的贫困小学生人数． 【答案】(1)a的值为800，b的值为600 (2)初三年级学生可捐助1名贫困中学生，捐助7名贫困小学生或捐助4名贫困中学生，捐助3名贫困小学生 【分析】（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额5000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴a的值为800，b的值为600； （2）解：设初三年级学生捐助x名贫困中学生，捐助y名贫困小学生． 由题意得：800x+600y=5000， 得：4x+3y=25， ∵x、y均为非负整数， ∴x=1，y=7或x=4，y=3， 答：初三年级学生可捐助1名贫困中学生，捐助7名贫困小学生； 或捐助4名贫困中学生，捐助3名贫困小学生． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 3．（24-25七年级下·广东·期中）现有一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，为节约成本，每辆货车均装满．已知过去两次租用这两种货车的运货情况如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车辆数（单位：辆） 2 5 乙种货车辆数（单位：辆） 3 6 该次运货物吨数（单位：吨） 17 38 (1)求甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ (2)现租用该公司3辆甲种货车及4辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？ 【答案】(1)甲种货车每辆可装4吨货物，,乙种货车每辆可装3吨货物 (2)720元 【分析】（1）设甲种货车每辆运货x吨，乙种货车每辆运货y吨，根据表格，第一次2辆甲种货车运货2x吨，3乙种货车运货3y吨，共17吨；第二次甲种货车5辆运货5x吨，乙种货车6辆运货6y吨，共38吨．建立方程组，求出x、y的值; （2）根据这次租用的3辆甲种货车，4辆乙种货车，结合（1）小问结果和每吨运费列出运算式子计算． 【详解】（1）设甲种货车每辆运货x吨，乙种货车每辆运货y吨， 由题意得：， 解得， 答：甲种货车每辆可装4吨货物，,乙种货车每辆可装3吨货物； （2）则货主应付运费为（元）， 答：货主应付运费720元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，依据题意，正确建立方程组是解题关键． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【答案】有只鸽子在树上，有只鸽子在树下 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下， 由题意得，， 解得， 答：有只鸽子在树上，有只鸽子在树下． 1．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？” (1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人； (2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？ 【答案】(1)有个大和尚，个小和尚 (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目中的数量关系，掌握消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）设有大和尚，有个小和尚，根据个和尚分个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚人吃一个，列方程组求解； （2）先求得大小和尚们一起运送一趟，可以运砖块，然后用10万除以即可求解． 【详解】（1）解：设有大和尚，有个小和尚，根据题意得， 解得： 答：有个大和尚，个小和尚． （2）解：依题意，大小和尚们一起运送一趟，可以运砖 （块）， ， ∴大小和尚们一起至少需要运送趟才能满足工地需要． 2．（24-25七年级下·河南新乡·期中）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只， ① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）； ② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________； (2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数； (3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数． 【答案】(1)① ；② (2)公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只 (3)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 【分析】（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）先根据求出x，y之间的关系，然后结合“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”讨论，即可求出结论． 【详解】（1）①∵要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， ∴买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）由题意得 ， 解得， ∴只． 答：公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只； （3）根据题意得：，化简得：， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，（舍去）． 又因为，且， 所以仅有，符合题意，此时． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． 【点睛】本题考查了列代数式，以及二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组求解是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是． (1)类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________． (2)解由图2列出的方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形，结合题目所给的运算法则即可列出方程组； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：图2所示的算筹图我们可以表述为：， 故答案为：． （2）解： 将可得：， 将可得：， 将代入①中可得：， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及解方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 【经典例题十四 开放型问题】 【例14】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； 【详解】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分， 依题意得：， ∴解这个方程组为：， ∴大壮的得分为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 1．（24-25七年级下·北京通州·期末）小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边. (1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ； (2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个? (3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值. 【答案】（1）；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3），，或 【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可； (2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可； (3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值. 【详解】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)， 摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)， 摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)， ……， 摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍， 故答案为； (2)设六边形有个，正方形有y个， 则， 解得， 所以正方形有16个，六边形有12个； (3)据题意，， 据题意，，且均为整数， 因此可能的取值为： ，，或. 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键． 2．（24-25七年级下·江苏·单元测试）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 【答案】 4 5 【详解】解：根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2， 依两个等量关系列出方程组， 解得． 故答案为：4和5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程． 【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨. 【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可． 【详解】解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一) 设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨． 根据题意,得， 解得. 则x+y=4+2.5=6.5(吨). 答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨． 【经典例题十五 其他问题】 【例15】（24-25七年级上·四川达州·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家年月用水吨，交水费元．月份用水吨，交水费元． (1)求、的值； (2)如果小王家月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家月份忘记了去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨，其中月份用水超过吨，一共交水费元，其中包含元滞纳金，求小王家月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)吨 (3)吨 【分析】本题主要考查一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，找到等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，列出关于，的二元一次方程组，即可求解； （2）设小王家这个月用水吨（），根据小王家9月份上交水费元，列出方程，即可求解； （3）设小王家11月份用水吨，分两种情况，①当时，②当时，分别列出方程，即可求解． 【详解】（1）由题意得： 解①，得：， 将代入②，解得：， ． （2）， 设小王家这个月用水吨（），由题意得： ， 解得：， 答：小王家这个月用水吨． （3）设小王家11月份用水吨， 当时，， 解得：； 当时， 解得(舍去)， 答：小王家11月份用水吨． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某市《生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现： ①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了； ②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占； ③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有的废纸； ④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克． 根据上述信息回答下面的问题： (1)学校现在每天的可回收物和干垃圾各为多少千克？ (2)回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六年级平均每个学生5分钟可清理干垃圾3千克，七年级平均每个学生5分钟可清理干垃圾5千克，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟可以将学校1天的所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加） 【答案】(1)学校现在每天的可回收物为100千克，干垃圾为60千克 (2)六年级有10名学生参与活动，七年级有6名学生参与活动；或六年级有5名学生参与活动，七年级有9名学生参与活动 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，此题是一道紧密联系生活实际的题，关键是熟练掌握二元一次方程整数解的应用． （1）可设学校现在每天的可回收物x千克，干垃圾y千克，根据其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的；可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克；列出方程计算即可求解； （2）可设六年级有a名学生参与活动，七年级有b名学生参与活动，根据学校现在每天的干垃圾60千克，列出方程组求出正整数解，再找到符合条件的正整数解即可求解． 【详解】（1）设学校现在每天的可回收物为千克，干垃圾为千克， 根据题意得 解得 答：学校现在每天的可回收物为100千克，干垃圾为60千克． （2）设六年级有名学生参与活动，七年级有名学生参与活动，依题意有，即． 为正整数， 或或 六、七两个年级组成的“垃圾分类宣传”志愿者小队只有17名同学， 不合题意，舍去． 答：六年级有10名学生参与活动，七年级有6名学生参与活动；或六年级有5名学生参与活动，七年级有9名学生参与活动． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 【答案】(1) (2)1；1 (3) (4)； (5)，见解析 【分析】（1）根据互为共轭二元一次方程的定义可得答案． （2）根据互为共轭二元一次方程的定义得出，即可求出a、b的值； （3）把，和，代入求出k、b的值，确定这个方程后，再根据共轭二元一次方程的定义得出答案； （4）分别解这三个二元一次方程组，求出它们的解即可． （5）根据解得特征和呈现的规律得出结论即可． 本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法，理解共轭方程、共轭方程组的定义是正确解答的前提． 【详解】（1）由共轭二元一次方程的定义可得， 方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）由于关于x,y的方程组为共轭方程组， 所以，， 解得，， 故答案为：1，1； （3）由表可得， 解得， ∴方程为， 原方程的共轭方程为； 故答案为：； （4）解方程组，可得解为； 解方程组，可得解为； 故答案为：，． （5）． 理由如下：是共轭方程， ，整理得， 的解为， ． 3、（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某市《生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现：①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了；②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占；③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有的废纸；④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克．根据上述信息回答下面的问题： (1)学校现在每天的可回收物和干垃圾各为多少千克？ (2)回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六、七年级每个学生清理干垃圾的效率分别为3千克/5分钟、5千克/5分钟，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟将所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加） 【答案】(1)学校现在每天的可回收物为100千克，干垃圾为60千克 (2)六年级有10名学生参与活动，七年级有6名学生参与活动；或六年级有5名学生参与活动，七年级有9名学生参与活动 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，此题是一道紧密联系生活实际的题，关键是熟练掌握二元一次方程整数解的应用． （1）可设学校现在每天的可回收物x千克，干垃圾y千克，根据其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的；可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克；列出方程计算即可求解； （2）可设六年级有a名学生参与活动，七年级有b名学生参与活动，根据学校现在每天的干垃圾60千克，列出方程组求出正整数解，再找到符合条件的正整数解即可求解． 【详解】（1）解：设学校现在每天的可回收物为千克，干垃圾为千克， 根据题意得 解得 答：学校现在每天的可回收物为100千克，干垃圾为60千克． （2）解：设六年级有名学生参与活动，七年级有名学生参与活动，依题意有 ，即． 为正整数， 或或 六、七两个年级组成的“垃圾分类宣传”志愿者小队只有17名同学， 不合题意，舍去． 答：六年级有10名学生参与活动，七年级有6名学生参与活动；或六年级有5名学生参与活动，七年级有9名学生参与活动． 【经典例题十六 新定义问题】 【例16】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 ， 所以，， 所以，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用，正确掌握一元一次方程的解法和二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴求的值为或； （3）解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 3．（23-24七年级下·江西宜春·阶段练习）定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“美好数”，点为“美好点”． (1)下列命题：①若点为“美好点”，则点也一定为“美好点”；②存在与1互为“美好数”的数；③若点与互为相反数，则一定不是“美好点”．其中真命题是 （填序号） (2)若为“美好点”，求的值． (3)已知，是二元一次方程组的解，请判断点是否为“美好点”？若是，请求的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)① (2) (3)是，的值为 【分析】（1）若点为“美好点”，则有，易得，即可判断命题①；设1与互为“美好数”，则有，而该方程无解，即可判断命题②；若，则有，即可判断命题③； （2）根据“美好点”的定义建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案； （3）解方程组，结合“美好点”的定义建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：点为“美好点”，则有， ， 点也一定为“美好点”，故命题①是真命题； 设1与互为“美好数”，则有，该方程无解， 不存在与1互为“美好数”的数，故命题②是假命题； 若，则有， 此时是“美好点”，故命题③是假命题； 综上所述，真命题是①． 故答案为：①； （2）解：若为“美好点”， 则有， 解得； （3）解：当时，点是“美好点”． 理由如下： 解方程， 可得， 若点是“美好点”， 则有， 解得， 当时，点是“美好点”． ． 【点睛】本题主要考查了新定义“美好点”和“美好数”、真假命题的判定、解二元一次方程、解一元一次方程等知识，正确理解新定义“美好点”和“美好数”是解题关键． 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．“甜果苦果买一千”可得甜果个数苦果个数，可列出一个方程，又根据“甜果九个十一文，苦果七个四文钱”可得甜果和苦果的单价，根据共花费“九百九十九文钱”可得买甜果的钱数买苦果的钱数，据此可得另一个方程，联立组成方程组即可． 【详解】根据题意列方程． 故选：C． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为2，小长方形的周长为28，则图中阴影部分的面积为（   ） A．120 B．110 C．90 D．80 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据“与的差为2，小长方形的周长为28”，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 3．（23-24七年级下·河南新乡·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．根据题意，设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个，根据1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，列出二元一次方程组，解出答案即可． 【详解】解：设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个， 根据题意得：， 解得： 则A型车每辆座位数为45个，B型车每辆座位数为60个， 故选：A． 4．（2024·浙江嘉兴·三模）现有一列数，，，…，，满足任意相邻三个数的和为同一常数，当，，时，的值为（    ） A．18 B．22 C．2024 D．2032 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的拓展应用，根据题意得，，，依次可求出这一列数的所有的数，代入即可求解，能理解题意得出方程组是就解题的关键． 【详解】解：满足任意相邻三个数的和为同一常数， ， ， ， 解得：， ， ， 同理可求： ， ， ， ； 故选：B． 5．（2024·湖北十堰·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两． 答∶1枚黄金重 两；1枚白银重 两． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．设1枚黄金重两，1枚白银重两，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设1枚黄金重两，1枚白银重两， 根据题意，可得， 解得， 即1枚黄金重两，1枚白银重两． 故答案为：；． 6．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 【答案】801 【分析】本题考查了实数与整式的新定义，以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题． 利用定义和已知列方程，分情况讨论得出m的所有的值，即可确定最值． 【详解】解：设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c， 根据题意得：，（n为正整数）且 ①＋②得：， ∴当时，，， ∴，或，或，或，， 当，3，4……得不到符合题意的m， ∴m的值为801或711或621或531． ∴的最大值是801， 故答案为：801． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为， 根据图1得：， 根据图2得：， 联立解得， ∴， 则． 故答案为：12． 8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）张老师每天下班后沿街匀速步行回家，途经新兴路大桥．他发现每隔20分钟从背后驶过一辆7路公交车，每隔12分钟迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车终点站每隔固定时间发一辆车．问： （1）7路公交车行驶速度是张老师行走速度的 倍． （2）7路公交车终点站每间隔 分钟发一辆车． 【答案】 4 15 【分析】本题主要考查了含参数的二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键． 设7路公交车行驶速度米分钟，张老师匀速行走的速度米分钟，7路公交车发出时间间隔为分钟，等量关系式：20分钟公交车行驶的路程分钟张老师走的路程两站之间的距离，12分钟公交车行驶的路程分钟张老师走的路程两站之间的距离；据此列出方程组，即可求解． 【详解】解：设7路公交车行驶速度米分钟，张老师匀速行走的速度米分钟，7路公交车发车时间间隔为分钟，由题意得 ， 解得：， 7路公交车行驶速度是张老师行走速度的4倍，7路公交车终点站每间隔15分钟发一辆车． 故答案为：（1）4；（2）15． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）问题情境： 目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 问题解决： 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？ 【答案】问题一：4000公里；问题二：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，确定相等关系是关键； 问题一：由前后轮没有压力差可得答案； 问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解，再设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎并进一步解答即可． 【详解】解：问题一：由题意可得：这对轮胎行驶的里程数最大值4000公里； 问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 根据题意，得； ，得， 则， 设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎，则， 解得， 答：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里． 10．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元 (2)该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得：， 解得：， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； （2）解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 11．（23-24七年级下·江苏南通·期中）某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 55 4 220 B 18 C 12 D 9 12 合计 - 32 556 (1)购买 D种奖品的金额为 元； (2)求购买的 B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，该校七年级以上面的价格再购进 B，C，D三种奖品共20件，共花费210元，请确定所有可能的购买方案． 【答案】(1)108元 (2)购买 B种奖品6件，购买C种奖品12件 (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的实际问题； （1）根据单价×数量即可求解； （2）设购买 B种奖品x件，则购买C种奖品件，根据表格列一元一次方程即可； （3）设购买 B种奖品m件，购买 C种奖品n件，则购买D种奖品件，根据题意列方程，再讨论即可 【详解】（1）解：由表格可得：购买 D种奖品的金额为（元）； （2）解：由表格可得：设购买 B种奖品x件，则购买C种奖品件， ∴， 解得：， ∴， ∴购买 B种奖品6件，购买C种奖品12件； （3）解：设购买 B种奖品m件，购买 C种奖品n件，则购买D种奖品件， 由题意得：， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴共三种购买方案． 12．（23-24八年级上·广东茂名·期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元． (1)请分别求出、两种口罩的进价是多少元？ (2)已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？ 【答案】(1)种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元 (2)共有2种购买方案，方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；方案2：购买种口罩3个，种口罩4个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元，根据“该店进货4个A种口罩和3个B种口罩共需27元，进货2个A种口罩所需费用比进货1个B种口罩所需费用多1元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案； （2）设小雅在该药店购买种口罩个，种口罩个，利用“总价单价数量”，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元， 根据题意，可得， 解得， 答：种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元； （2）根据题意，种口罩的售价元， 种口罩的进价是元， 设小雅在该药店购买种口罩个，种口罩个， 则有， 解得， 又∵，均为正整数， ∴或， ∴小雅共有2种购买方案， 方案1：购买种口罩6个，种口罩2个； 方案2：购买种口罩3个，种口罩4个． 13．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆型车一次可运11吨，某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆A型车和1辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金每次100元，型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨 (2)方案1：租用1辆A型车，7辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用9辆A型车，1辆B型车． (3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，3辆7型车，最少租车费为940元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程； （3）根据总租金每辆车的租车费用租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意：得 ， 解得：， 答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨． （2）解：依题意，得： ， 又∵a，b均为正整数， 或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，7辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用9辆A型车，1辆B型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ， ∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，3辆7型车，最少租车费为940元． 14．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）某药店采购部于3月份和4月份从工厂定制一批印有药店商标的口罩．普通版和精美版的定制费每盒分别是1元和2元．若三月份定制普通版，四月份定制精美版共需定制费600元；若三月份定制精美版，四月份定制普通版共需定制费450元．该药店在3，4月份均将当月定制的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元． (1)求3，4月各购进口罩多少盒． (2)已知每盒口罩进价20元（含定制费），3月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①填表，并用含a的代数式表示b． 原价部分总利润 优惠部分总利润 甲店 10a A 乙店 B C ②4月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后（），剩余口罩全部捐献给医院．且预计乙店3，4月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求a，b，n可能的值． 【答案】(1)3月购进100盒口罩，4月购进250盒口罩 (2)①A：10a；B：4；C：；②a，b，n可能的值为30，10，74或40，5，72或50，0，70 【分析】（1）设3月购进x盒口罩，4月购进y盒口罩，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）①根据利润＝单件利润×销售数量，列出代数式即可，根据两店利润相同，用含a的代数式表示b；②根据乙店3，4月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，列出等式，进行求解即可． 【详解】（1）设3月购进x盒口罩，4月购进y盒口罩， 依题意得： 解得：， 答：3月购进100盒口罩，4月购进250盒口罩． （2）3月份两店分到的口罩（盒）． 依题意得，乙店原价部分的利润为（元），甲店优惠部分的总利润为元，乙店优惠部分的总利润为（元）． ∵两店的利润相同， ∴， ∴． 故答案为①A：10a；B：4；C：． ②4月乙店分到口罩（盒）． 依题意得：， ∴． ∵． 且∵a，b，n均为自然数， ∴a为10的整数倍， ∴或或． 答：a，b，n可能的值为30，10，74或40，5，72或50，0，70． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，代数式，是解题的关键． 15．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒 板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） 4x 3y B型（张） x ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案） (3)若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2中横式无盖礼品盒，当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个（在横线上直接写出所有可能的答案） 【答案】(1)，； (2)①64，38；②见解析；③20 (3)24或27 【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数，同样由图示完成表格，并完成计算． （3）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；再根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数构建方程求解． 【详解】（1）解：由题意得：，解得：． 答：，； （2）解：①由图示裁法一产生A型板材为：， 裁法二产生A型板材为：， ∴两种裁法共产生A型板材为（张）； 由图示裁法一产生B型板材为：， 裁法二产生A型板材为，， ∴两种裁法共产生B型板材为（张）． 故答案为：64，38； ②由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，每个礼品盒用2张B型板材，所以用B型板材2y张． 礼品盒板 材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） A型（张） B型（张） ③由上表可知做两款盒子共需要A型张，B型张． ∴， 两式相加得． 则．所以最多做20个． 故答案为：20； （3）解：由图示裁法一产生A型板材为：张，裁法二产生A型板材为： n张， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：m张，裁法二产生A型板材为，张， 所以两种裁法共产生B型板材为张； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36， 此时，n分别为8，9， 则共产生B型板材为张或张； ∴可做成的横式无盖礼品盒可能是24或27． 故答案为：24或27． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 学科网（北京）股份有限公司 $$