上海市行知中学2024-2025学年高三下学期3月质量调研数学试卷

上海行知中学2024-2025学年第二学期 高三数学质量调研卷 (本试港共4页，满分150分，时间120分钟) 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分：后6题每小题5分，共54分，答案 均需以最简形式填写) 1.已知集合A={x1x≤0).B={-23}.则AnB=一 2.设复数：满足：1+)=√2i(i为虚数单位)，则：的模为一· 3不学式，二51的解聚为 1已知a=(2.6=L.若(a,5）-受则x=— 5.抛物线y=之的焦点到准线的匝高为 7。巴如（售引的展开式中二顶式系数最大的项的系数为。 8.关于x的方程引x-1川+|4-x=3的m集为. 9.设R,B分别是双曲找号-二=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且 34 P诉P丽=0.则P哌+P国=一 10.容景为n的一组数据，若所有第k百分位数(k取遍L2.3…,99)中至少两个相同， 则正整数n的及大值为一· 1L.圆谁的全面积为π，则它的休积的最大值为 12.从点P(2,)可向曲线y=x-x引三条不同切线，则，的取值范围为 二、选择题.（本题共4小题，均为单选题，前2题每小题4分，后2题每小题5分，共 18分) 13.幂函数y=在(0.+∞）上是严格增函数，且经过(-1，).则0的值可能是(). A.-2 B.3 C. -3 D. 3-2 14.己知直线m、n及平面a,其中m//n,那么在平面a内到两条直线m、n距离相等的 点的集合可能是：①一条直线：②一个平面：③一个点：①空集.其中正确的是《) A①23： 8.①2④： C.①④ D.②④ 15.关于下列两个命题的正确的判断是() 甲：log3.99999g4≤lo944.000001 乙：20242025<20252024 A甲乙都不成立B.仅甲成立： C.仅乙成立： D甲乙都成立. 16.在体有选修课排球模块的基本功（发球）测试中，计分规侧如下： ①每人可发球7次，每成功一次记1分：②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成 功加1分，连续四次发球成功加15分，以此类推，“，连续七次发球成功加3分，例如： 同学甲前2次发球成功.第3、4次发球尖数，后3次发球成功，则得分为65分.假设某 同学每次发球成功的概常为，且各次发球之间相互独立，则该问学在测试中恰好得5分 的概常是() 429 35 3 036 30 三、解答题（本大题共5道小题，每一问均需写出必要步，满分共76分） 17.(本题满分14分，第1问6分，第2问8分) 在△ABC中，角本、B、C的对边分别是a、bh、c,a2-ab+b2-c2=0. (1)求C: (2)若c=V5,△ABC的面积是5 求△ABC的周长. 18.(本题满分14分，第1问6分，第2间8分) 在三校柱ABC-AB,C,中，CC,⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC,=3. 点D,E分捌在枚AA和校CC上，且AD=1,CE=2,M为枚AB的中点. (1)求证：CM⊥BD: (2)求二面角B-BE-D的余弦值。 19.(本题满分14分，第1问6分，第2问8分) 某公司计刻期买2台机忍，该种机器使用三年后即被泡汰，机器有一易损零件，在的进机 器时，可以颜外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再 购买，则每个00元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此授集并整理 了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示），若 将这100台机器在三年内史换的易扬零件数的领率视为1台机器在三年内史换的易损零件数 发生的概率.记X表示2台机器三年内共需更换的易损多件数，刀表示购买2台机器的同 时购买的易损零件数。 个频数 089101更换的零件数 (1)求X的分布： (2)以胸买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在刀=19与n=20之中选其一，应 选用哪个？并说明理由， 20.(本题满分18分，第1间4分，第2间6分，第3间8分) 己知柄圆C,3x2+4y2=12的左、右焦点分别为F、F,直线1经过F且与C相交于 A、B两点 (1)求△FAF的周长 (2)若以F为圆心的圆段y轴所得的弦长为2互，且1与圆F相切，求1的方程： （3》设/的刻案为k,在x轴上是否存在一点M,使得1M问MB1且an∠MB=5, 若存在，求出M的坐标：若不存在，请说明理由 21.(本题满分18分，第1问4分，第2问6分，第3问8分) 已知函数y=f)和y=gx),其中fx=cosx,g)=sinx+ax,a∈R. (1)若a=1,求函数y=g(x)的图象的对称中心并说明厘由. (2)定义gn1()=9(刈（n∈N,n≥1)，81(x)即为g(x).若存在正整数T,使得 gaT()=9n()对一切n均成立，求证：a只能为0. (3)若函数y=f(x)和y=g(x)的图象在(0，+o)上有三个不同的交点，求a的取位范 围.上海行知中学2024-2025学年第二学期 高三数学质量调研卷 (本试卷共4页，满分150分，时间120分钟) 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分：后6题每小题5分，共54分，答案 均需以最筒形式填写) L.已知集合A={x|x≤0}，B={-23},则AnB= 【答】AnB={-2 2.设夏数：满足z1+)=√2i(i为虚数单位)，则：的模为 【答】H=1 以式 ≤I的解集为 【答】【-1，) 4已知石=(2，).五=L.若（位，5）=则x=— 【答】x号 5.抛物浅y=之的焦点到准线的匝高为 【1p 6已知sna=则na-引— 44 的展开式中二项式系数最大的项的系数为 【爷】第五项的系数C宁分(-2=2四 81 8.关于x的方程引r-川+4-x3的m集为 【谷】山.4 9.设F,F分别是双曲线号二=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且 34 PFP吓=0，测P师+P国= 【答】P元+PF=2loPl=lEFl=2万 10.容量为n的一组数据，若所有第k百分位数(k取遍L2,3…,99)中至少两个相同， 侧正整数n的最大值为 【答】设4=~品品 00,6-99 100 如n2100,i-i21,所以各个百分位数均不相同. n=99. 2<1<92<2<…<8<99 <99,各个百分位数均不相同. 100 100 100 n=98, 0c1、82 9 <50, 100 2c…<48<98.49<49=98-5098.51 100 100 100 50<9852 51<<96<9898 ,各个百分位数均不相同， 100 100 97<989 100 n=97.令k-1<k<0k+)<k,得女3.，和，对应的百分位数都是第33个数 100100 所以，n■97为所求， 11.圆谁的全面积为π，则它的休积的最大值为 【答】 l+π3=r, 1= r 12.从点P(2,)可向曲线y=x-x引三条不同切线，则！的取值范围为 【答】切点设为（玉。-x),其中名=2 5-'=1-3x有三个不同的解 x。-2 2x’-6x2+2-1=0有 设∫(x)=2x-6x+2-1,该函数有三个不同零点 (x)=62-12x,驻点为0和2 由三次函数图象性质，得∫(0)/(2)<0 (-2)ú+6)<0 -6<1<2 另解：画函数图象和过中心的切线，观察，归纳，猜测P介于两交点之间 二、选择题。（本题共4小题，均为单选题，前2题每小题4分，后2题每小题5分，共 18分) 13.幂函数=在(0，+∞)上是严格增函数.且经过(-1,1).则a的值可能是(). 2-3 3 A.-2 B.3 0. -2 【答】A在(0.+0)上是严格减函数 8不经过(-1，) D不经过(-1,1) 透c 14.已知直线m、n及平面a,其中m//n,那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的 点的集合可能是：①一条直线：②一个平面：③一个点：①空集.其中正确的是() A①②③： B.①②0： C.①④： D.②④. 【答】符合到两条直线m、n距离相等的轨迹为平面， 两平面交集不可能是一个点， 选B 15.关于下列两个命题的正确的判断是() 甲：lo93.9999994≤1o944.000001 乙：20242025<20252024 A甲乙都不成立B.仅甲成立： C.仅乙成立： D甲乙都成立 【答】解法一计算墨直接计算无法判断， 等价变形后 (g4-(g3.999999)g4.000001)>0, 20251g2024-20241g2025>0. 将法=的疮弱数/.感k+10>1小./w8-+10s+1010 lgx x(x+10)0gx)月 f（3.999999)>f(4),1og3.99999g4>log,4.000001 构流函数/x)=8二，2024)>/(2025)， g2024,g2025 2024>20252024 2024 2025 选A 16.在体有选修课排球模块的基本功（发球）测试中，计分规则如下： ①每人可发球7次，每成功一次记1分：②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成 功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，·，连续七次发球成功加3分.例如： 同学甲曾2次发球成功，第3、4次发球失败，后3次发球成功，则得分为6.5分.假设某 同学每次发球成功的概岸为，且各次发球之间机互独立，则该何学在测试中恰好得5分 的概常是() 25 35 026 35 30 【答】 两个不相邻两迮，或一个三迩另加一个不相邻的单发，插空法 -G 2 选A 三、解答题（本大题共5道小题，每一问均需写出必要步骤，满分共76分） 17.(本题满分14分，第1问6分，第2问8分) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,a2-ab+b3-c2=0. (1)求C: (2)若c=5,△ABC的面积是5 求△ABC的周长. 【解】1)由题意在△ABC中，得a+6-c2=b,放故cosC=+b2-c.1 2ab 21 3分 由于CeQ.,所以C=行6分 2)由感△8c的面飘是9c-导，甲双=bsnC=于 2 4 2 所以ab=23分 由c=5.得3=a2+b2-ab=(a+b2-6.所以a+b=3.6分 于是△ABC的周长为a+b+c=3+√5.8分 18.(本题满分14分，第1问6分，第2问8分) 在三枚柱ABC-A,B,C,中，CC,⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC,=3, 点D,E分别在枚AA和棱CC上，且AD=1,CE=2.M为枚AB的中点. (1)求证：CM⊥BD: (2)求二而角B-BE-D的余弦值. 【解】(1)在三梭柱ABC-AB,C,中，CC,⊥平面ABC.则该三棱柱是个直三枚柱. 所以平面CAB⊥平面ABBA，2分 又因为CA=CB=2,M为棱AB的中点，所以CM⊥A,B· 于是C,M⊥平面ABBA,A分 又B,DCABBA.所以C,M⊥B,D6分： (2)以C为原点，C,CB,CC的方向为x轴，y轴，：轴的正方向建系.…2分 依恩意.C=(2.0.0)是平而BB,E的一个法向量.EB=(02.).ED=(2,0,-1), 设i=(x,y,z)为平而DB,E的法向最， J万.EB=0m∫2y+2=0 即 不妨设x=1,则i=(1,-1,2),4分 ED=0 2x-2=0 w(@-号 CA.i6 6分 如图，=面角B-BE-D为便角，所以 -为所求.…8分 19.(本题满分14分，第1问6分，第2问8分) 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被泡达，机器有一易损等件，在购进机 器时，可以颜外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再 胸买，则每个500元，现需决策在均买机墨时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整现 了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若 将这100台机器在三年内史换的易损零件数的领率视为1台机器在三年内史换的易损零件数 发生的概率.记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，刀农示购买2台机器的同 时购买的易损零件数， 个频数 40--- 20 891011更换的易横零件数 (1)求X的分布： (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在刀=19与n=20之中选其一，应 选用哪个？并说明理由， 【解】(1)由柱状图并以频粼代皆概率可得，一台机器在三年内需更换的易损罗件数为8， 9,10,11的概率分0.2,0.4,0.2,0.2，…2分 P(X=16)a0.2×0.2▣0.04 P(X=17)=2×0.2×0.4-0.16 P(X=18)=2×02×0.2+0.4×0.4=0.24 P(X▣19)▣2×02×02+2×0.4×0.2▣0.24 P(X▣20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2▣0.2 P(X▣21)2×0.2×0.2▣0.08 P(X=22)=0.2×0.2=0.04 所以X的分布为 (161718 19202122 6分 0.040.160.240.240.20.080.04 (2)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用， 若实际损耗数大于刀，须额外购买付费，若实际损耗数不超过刀，以购买数刀为准.于是， 当n=19时，E(Y）=19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040.3分 另解 E(Y)=3800×(0.04+0.16+0.24+0.24)+4300×0.2+4800×0.08+5300×0.04=4040 当n=20时. E(Y）=20×200+500×0.08+1000×0.04=4080.….6分 可知当n=19时所需费用的期里值小于n▣20时所需费用的期望值，放应选n=19.8分 20.(本题满分18分，第1问4分，第2问6分，第3间8分) 己知椭圆C:3x+4y=12的左、右焦点分别为F、F,直线1经过F且与C相交于 A小、B两点 (1)求△EAF的周长： (2)若以F为圆心的圆被y轴所得的弦长为2√巨，且1与圆F相切，求1的方程： (3)设/的斜率为k,在x轴上是否存在一点M,使得1MM问MB1且an∠MB=5 若存在，求出M的坐标：若不存在，请说明理由. 【解】(1)根据愿设条件，可得上+之=l,故a=2,c=1,2分 根据椭圆定义，可知△FAF的周长为AF|+|AF|+|FF=2a+2c=6.4分 (2)设圆F的方程为(x-)2+y2=r(r>0).令x=0,得y=VF2-1, 故2√2-1=22，得r=√5…3分 因为相切，F到直线1：y=kx+D的距离d=2k二=5，得k=士55分 √1+k2 故直线1的方程为y=√5(x+).6分 (3)假设在x轴上存在一点M(x,0),设直线I:y=k(x+1)k≠0). [y=k(x+D) 将直线方程与椭圆方程联立，得 32+4y-12得3+42r2+8k2x+4k2-3)=0. 8x2 令Ax,)B(x,y2),则x,+x2= 3+4+x=4k2-3) 3+4k2 ，2分 故线段AB的中点C的坐标为(- 4k2 3k 3+423+4k: 3k 则线段AB的中垂线（的方程为y- 4k2 3+4= 3+4k, (x+ k 令y=0.得x= 3+4收，点M到直线1的距离d=3到1+及 3+4k2 ，…4分 148=V0+kx-x=12k+D 3+4k3 ，5分 又|MA=MBI,所以tan∠MAB= d-5 ，解得k=土2，……7分 故M(- 90.8分 21.(本题满分18分，第1问4分，第2问6分，第3问8分) 已知函数y=()和y=g().其中/x)=c0s. -,g(x)=sinx+ar,a∈R. (1)若a=1,求函数y=g(x)的图象的对称中心并说明理由. (2)定义gn1(W=9n(W（n∈N,n21),g,(x)即为g(x).若存在正整数T,使得 9aT()=gn(X)对一切n均成立，求证：a只能为0. (3)若函数y=f(x)和y=g(x)的图象在(0，+o)上有三个不同的交点，求a的取值范 围. 【解】(1)稍函数y=g(x)的图象的对称中心为(k,m),k∈Z1分 在图象上任取点P(x,%).关于(m,π)的对称点为P(2k-x,2k-): 因为y。=sinx+x。,所以2kπ-y。=sin(2kπ-xo)+2kπ-x,即点P'也在函数 y=g(x)的图象上 所以，(kπ.kπ).k∈Z为所求.4分 (2)g1(x)=sinx+ax.g2(x)=cosx+a.g(x)=-sinx.g4(x)=-cosx. 8s(x)=sinx.86(x)=cosx.g(x)=-sinx.......... 从第三项起，每隔四项重复出现，且连续四项均为不同函数. g1(x)=g(x) ax=a 若要符合题意，唯有 (8,)=8,()于是 恒成立， a=0 所以a=0且是唯一可能的值， 总之，#在T=4,使g。r(x)=g.(x)对一切正整数n均成立，a只可能为06分 (3)原问题等价干：方程osx-sin=a在(0，+0)上有三个不同的解。 等价于： 曲找h()=cosx二rsin(x>0)和直找y=a有三个不同的交点.2分 (=-+2os 由)=0.程x=a+经keN). x 如下列表 受 得割 要 (偿刳 豎 竖劉 竖 f'(x) 0 0 S 0 I(x) 异 品 y 品 极值所成数列 红引欲e.红+引正发交#且老值常调诚， 极限为0， 横轴为渐近线另一方面，当x一→0时，h(x)→+04分 综上，如图所示， .6分 F是a=位仔0<侵解得a异收会<a<异果分 3元