精品解析：广东省佛山市南海区2024—2025学年上学期期末监测九年级数学试卷

南海区2024~2025学年第一学期中小学期末学业水平监测九年级数学试题 试卷说明： 本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程x2=x的解是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x1=1，x2=0 D. x1=﹣1，x2=0 2. 若菱形的边的长为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，位似中心为点，，的周长为，则的周长为（） A. 9 B. 12 C. D. 18 5. 在一个不透明的箱子里有个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为，由此可以推算出约为（ ） A. 10 B. 15 C. 16 D. 21 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 7. 如图是小明所设计的花架侧面简易图，已知，cm，cm，cm，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（） A. B. C. D. 10. 如果把周长为，面积为的矩形，周长和面积分别减半（简称为减半矩形），下结论正确的是（ ） A. 不存在这样的减半矩形 B. 存在无数个这样的减半矩形 C. 减半矩形较长一边长为 D. 减半矩形的较长一边长为 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 已知，则_____． 12. 请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是______． 13. 某兴趣小组同学在同一时刻测量了直立在太阳下的四根竹竿的影长，结果如下： 竹竿高度/米 影长/米 小明在这一时刻测得一棵大树的影长为36米，则这棵大树的高度是______米． 14. 在中，，，是边上的中线，若，则的长是_____． 15. 如图，，为与的交点，点在上，若，，则_____． 三、解答题：本大题共8小题，16-18题每题7分，19-21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分 16. 解方程：． 17. 如图，在中，对角线与相交于点，，，求的长． 18. 据统计，某企业年利润为万元，年利润为万元，该企业年到年利润的年平均增长率都相同． （1）求该企业利润的年平均增长率； （2）若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过万元？ 19. 2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作、、、）参加公益讲解活动． （1）若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是_________； （2）小王和小李在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小王和小李选到相同景区的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数与反比例函数表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）连接、，求的面积． 21. 综合与实践 【主题】测量旗杆高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】 步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤：小明从点出发沿着方向前进米，到达点； 步骤：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为米，米． 【问题解决】 已知点、、、与旗杆的底端在同一直线上，，，，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． （1）求证：； （2）求该旗杆的高度． 22. 如图，在正方形中，点为对角线上一动点（点不与、重合），连接，过点作交直线于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）求证：； （2）试探究与的数量关系，并说明理由； （3）若正方形的边长为，求的最小值． 23. 如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． （1）求的值； （2）求证：； （3）猜想与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南海区2024~2025学年第一学期中小学期末学业水平监测九年级数学试题 试卷说明： 本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程x2=x的解是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x1=1，x2=0 D. x1=﹣1，x2=0 【答案】C 【解析】 【详解】解：x2-x=0， x（x-1）=0， x=0或x-1=0， ∴x1=0，x2=1． 故选：C． 点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法． 2. 若菱形的边的长为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质即可求出菱形的周长，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的边的长为， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：D． 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，中间有一条横着的虚线，即看到的图形如下： 故选：D． 4. 如图，与位似，位似中心为点，，的周长为，则的周长为（） A. 9 B. 12 C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可，掌握位似图形的概念，相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 与位似， ，， ， ， 的周长的周长， 的周长为， 的周长为， 故选：A． 5. 在一个不透明的箱子里有个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为，由此可以推算出约为（ ） A. 10 B. 15 C. 16 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，根据白球的个数除以它占总数的比例即为球的总数，求出即可，解题的关键是能够根据大量重复试验中频率稳定于概率得出概率． 【详解】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为， ∴， 解得：， ∴约为， 故选：B． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：在方程中， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7. 如图是小明所设计的花架侧面简易图，已知，cm，cm，cm，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵cm，cm，cm， ∴， ∴， 故选：． 8. 在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判断，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、由能判定是矩形，该选项符合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由平分能判定是菱形，该选项不合题意； 故选：． 9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出取值，再根据反比例函数的性质判断出的取值，二者一致的即为正确答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由函数的增减性可知，但从函数图象与轴的交点来看，相矛盾，故选项不符合题意； B、由函数的增减性可知，但从函数图象与轴的交点来看，相矛盾，故选项不符合题意； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故选项符合题意； D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故选项不符合题意； 故选：C． 10. 如果把周长为，面积为的矩形，周长和面积分别减半（简称为减半矩形），下结论正确的是（ ） A. 不存在这样的减半矩形 B. 存在无数个这样的减半矩形 C. 减半矩形的较长一边长为 D. 减半矩形的较长一边长为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设矩形的长为，宽为， 则，，即得，设减半矩形的长为，则宽为，由题意得，解方程求出即可逐项判断求解，根据题意列出方程求出减半矩形的长和宽是解题的关键． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 则，， ∴， 设减半矩形的长为，则宽为， 由题意得， ， 解得，(不合题意，舍去)， ∴， ∴减半矩形的两邻边长分别为， 即减半矩形的较长一边长为， ∴选项不合题意，选项符合题意， 故选：． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 13. 某兴趣小组的同学在同一时刻测量了直立在太阳下的四根竹竿的影长，结果如下： 竹竿高度/米 影长/米 小明在这一时刻测得一棵大树的影长为36米，则这棵大树的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 设这棵大树的高度为米，根据题意可得： ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 在中，，，是边上的中线，若，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，含度角的直角三角形，勾股定理，在中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用含度角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形斜边上的中线以及含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： 在中，是边上的中线， ， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 15. 如图，，为与的交点，点在上，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，由得，由得，即得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，16-18题每题7分，19-21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 17. 如图，在中，对角线与相交于点，，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形的性质和勾股定理即可得到结论，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 18. 据统计，某企业年利润为万元，年利润为万元，该企业年到年利润的年平均增长率都相同． （1）求该企业利润的年平均增长率； （2）若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过万元？ 【答案】（1） （2）不能 【解析】 【分析】（）该企业利润的年平均增长率为，根据题意列出方程解答即可； （）根据题意列出算式计算即可判断求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：该企业利润的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：该企业利润的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：∵， ∴该企业年的利润不能超过万元． 19. 2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作、、、）参加公益讲解活动． （1）若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是_________； （2）小王和小李在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小王和小李选到相同景区的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表的方法求概率，简单的概率公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）先用画树状图或列表的方法画出表格，得到共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种，即可求解． 【小问1详解】 解：小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是， 故答案：； 【小问2详解】 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种， ∴小王和小李选到相同景区的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）连接、，求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由（）得到点坐标，再根据图象解答即可； （）设直线与的交点为，可得，再根据计算即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何图形，正确求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴一次函数的表达式为，， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设直线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】 步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤：小明从点出发沿着方向前进米，到达点； 步骤：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为米，米． 【问题解决】 已知点、、、与旗杆的底端在同一直线上，，，，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． （1）求证：； （2）求该旗杆的高度． 【答案】（1）证明见解析 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明即可求证； （）设米，得米，由得，即得，由得，即得，进而即可求解； 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 22. 如图，在正方形中，点为对角线上一动点（点不与、重合），连接，过点作交直线于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）求证：； （2）试探究与的数量关系，并说明理由； （3）若正方形的边长为，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（）利用正方形的性质和旋转的性质可得，，利用余角性质可得，进而即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，进而由正方形性质得； （）延长至，使 ，连接、、，由正方形和全等三角形的性质得，进而可得，即得，得到，即可得，利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又由旋转得，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长至，使 ，连接、、，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． （1）求的值； （2）求证：； （3）猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（）设，， 由勾股定理得，即得，，即得到，进而求出点坐标即可求解； （）连接，利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，据此即可求证； （）设的中点为，连接，延长与的延长线相交于点，证明得，证明得，，即得，进而得，即得到，即可得． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴设，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，如图所示， ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点的横坐标为，且反比例函数 的图象经过点， ∴点的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； 小问3详解】 解：，证明如下： 设的中点为，连接，延长与的延长线相交于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$