精品解析：河北省秦皇岛市昌黎县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 初二年级位同学参加学校举行的诗歌朗诵比赛，其成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，小东已知自己的成绩，想判断能否进入决赛，还需知道这位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义判定即可． 【详解】参加歌唱比赛的位同学成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，小东要知道自己是否进入决赛，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较，所以需知道位同学成绩的中位数是多少． 故选：C． 【点睛】此题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数以及方差在实际问题中的正确应用，解题的关键是中位数在生活中的应用． 2. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系式得出，进而根据分式的减法进行化简即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3. 经过两年时间，我市的污水利用率提高了.设这两年污水利用率的平均增长率是，则列出的关于的一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这两年污水利用率的平均增长率是，原有污水利用率为1，利用原有污水利用率（1+平均每年污水利用率的增长率=污水利用率，列方程即可. 【详解】解：设这两年污水利用率的平均增长率是，由题意得出： 故答案为：A. 【点睛】本题考查的知识点是用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题目找出等量关系式，再列方程. 4. 已知中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由，得， ，得， ， 故是钝角三角形， 故选：C． 5. 若4米高的旗杆在某时刻太阳光下的影子长是6米，同时旗杆旁边的一棵大树的影子长是12米，则大树的高度是（ ） A. 6米 B. 8米 C. 9米 D. 10米 【答案】B 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：设树高为米， 根据题意得，， 解得：， 所以大树的高度是8米． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 6. 已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在. 【详解】∵点在双曲线上， ∴， ∵， ∴点(3，-1)在该双曲线上， ∵， ∴点、、均不在该双曲线上， 故选：A. 【点睛】此题考查反比例函数解析式，正确计算k值是解题的关键. 7. 如图，在中，，，的面积等于，则四边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由证明，再根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”得 ，而，可求得的值，再求出四边形的面积值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可． 【详解】解：， ， ∵四边形内接于， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M， ∵， ∴， 连接，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故选：C． 10. 如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过，则该汽车通过这段公路最少需要（ ） A. 40分钟 B. 45分钟 C. 55分钟 D. 60分钟 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，熟知反比例函数图象与性质，正确求出反比例函数解析式是解题关键．先求出反比例函数解析式为，再求出当时，，根据反比例图象与性质即可求解． 【详解】解：如图，设抛物线解析式为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ， ∴反比例函数解析式为， ∴时，， ∴当时，， ， 故选：B． 11. 如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求得，然后根据阴影部分的面积计算即可求解． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分面积 ． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 12. 如图，的顶点O在原点上，顶点A的坐标为，，点P为OB上一点，且，将向右平移，当点P的对应点落在反比例函数上时，则点P′的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴交于点，过点作交于点，过点作交于点，证明，求出，再由与关于点是位似图形，求出，，根据平移的性质可知，的纵坐标为3，再求横坐标即可． 【详解】解：过点作轴交于点，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， ， 与关于点是位似图形， ， ，， 在的图象上， ， ，， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，位似的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 在函数（为常数）的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质，根据题意得：，可得反比例函数的图象经过第二，四象限，在每一象限内随的增大而增大，进行解答即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二，四象限，在每一象限内随的增大而增大， 点，在第二象限， ， ， 点在第四象限， ， ， ． 故答案为：． 14. 若正多边形的一个中心角为，则这个正多边形的一个内角等于______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，根据题意，题中正多边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形，从而一个内角由两个角构成，即可得到答案，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由正多边形的性质可知，题中正多边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形， 这个正多边形的一个内角等于， 故答案为：． 15. 如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及扇形的弧长，根据已知得出点运动的路线是解题关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：第一次是以为旋转中心，长为半径旋转， 此次点走过路径是． 第二次是以为旋转中心，为半径旋转， 此次走过的路径是， 故点两次共走过的路径是． 故答案为：． 16. 如图，已知点分别在反比例函数的图象上，且，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，余角性质，相似三角形的判定和性质，过作轴，过作轴，可证，又由反比例函数的性质可得，，得到，进而得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作轴，过作轴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点分别在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再用因式分解法求解； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 解得：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18. 如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB，AB与水面AC垂直．此时，小华的眼睛所在位置D到湖面的距离DC为4米．她测得树梢B点的仰角为30°，测得树梢B点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB（结果保留根号） 【答案】AB=（8+4）m． 【解析】 【分析】设BE=x，则BA=x+4，B′E=x+8，根据∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=即可得出x的值，进而得到答案， 【详解】如图：过点D作DE⊥AB于点E， 设BE=x，则BA=x+4，B′E=x+8， ∵∠ADB′=45°， ∴DE=B′E=x+8， ∵∠BDE=30°， ∴tan30°= ，解得x=4+4 ， ∴AB=BE+4=（8+4 ）m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键 19. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设y与x的函数关系式为，将代入即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 20. 如图，已知：是的两条弦，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，已知内接于，点在的延长线上，．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 连接，得到，得出是等边三角形，得到，可得，即可得到结论. 【详解】证明：如图，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 22. 如图，，分别切、于点、．切于点，交于点（与不重合）． （1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，切线的性质，正方形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径画弧交于，作直线交于点，直线即为所求． （2）连接，,根据切线的性质可证明四边形是正方形，得到，设，结合，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 连接，， 是的内切圆，，，是切点， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设， 在中， ， ， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，把线段绕点逆时针旋转到，交轴于点，反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）连接，若点在反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定得到，可得，，由点，的坐标可得，，从而得到点的坐标，因为反比例函数的图象经过点，可求得的值； （2）设的解析式为，根据点，的坐标可求出的解析式，继而得到点的坐标，根据点，的坐标可得的长，从而得到的面积，设点坐标为，根据，可求出的值，从而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：作轴，垂足为点， 把线段绕点逆时针旋转到， ，， ， 即， 在和中， ， （）， ，， 点， ，， 点的坐标为，， 反比例函数的图象经过点， ； 小问2详解】 设的解析式为， 点， ， 解得， 的解析式为， 令，则， 点坐标为， ， ， ， 设点坐标为， ， ， 解得， 点坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，求一次函数解析式，勾股定理等知识．证得是解（1）题的关键．求得点的坐标是解（2）题的关键． 24. 如图，在中，，，．若动点在线段上（不与点、重合），过点作交边于点． （1）当点运动到线段中点时，计算长； （2）点关于点的对称点为点，以为半径作，当等于多少时，与直线相切． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质，含角的直角三角形性质，相似三角形的性质与判定，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出，的值，根据题意可得，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）过作于，根据等面积法求出，即可得出的半径，证得出比例式，代入求出即可． 【小问1详解】 解：，，， ，， 点为中点， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 过作于， ，，，， 由三角形面积公式得：，即， ， 分为两种情况：①如图1， ， ， 点和点关于点对称， ， ， ， ， ， ； ②如图2， ， ， 点和点关于点对称， ， ， ， ， ， ， 综上所述，为或时，与直线相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 初二年级位同学参加学校举行的诗歌朗诵比赛，其成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，小东已知自己的成绩，想判断能否进入决赛，还需知道这位同学成绩的（ ） A 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 2. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A 1 B. C. D. 3. 经过两年时间，我市的污水利用率提高了.设这两年污水利用率的平均增长率是，则列出的关于的一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 5. 若4米高的旗杆在某时刻太阳光下的影子长是6米，同时旗杆旁边的一棵大树的影子长是12米，则大树的高度是（ ） A. 6米 B. 8米 C. 9米 D. 10米 6. 已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，的面积等于，则四边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过，则该汽车通过这段公路最少需要（ ） A. 40分钟 B. 45分钟 C. 55分钟 D. 60分钟 11. 如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，的顶点O在原点上，顶点A的坐标为，，点P为OB上一点，且，将向右平移，当点P的对应点落在反比例函数上时，则点P′的坐标为（　　） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 在函数（为常数）的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为______． 14. 若正多边形的一个中心角为，则这个正多边形的一个内角等于______°． 15. 如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为______________． 16. 如图，已知点分别在反比例函数的图象上，且，则______． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB，AB与水面AC垂直．此时，小华的眼睛所在位置D到湖面的距离DC为4米．她测得树梢B点的仰角为30°，测得树梢B点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB（结果保留根号） 19. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． （1）求y与x函数关系式； （2）当时，求x的值． 20. 如图，已知：是的两条弦，且，求证：． 21. 如图，已知内接于，点在的延长线上，．求证：是的切线． 22. 如图，，分别切、于点、．切于点，交于点（与不重合）． （1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若半径为，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，把线段绕点逆时针旋转到，交轴于点，反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）连接，若点在反比例函数的图象上，求点的坐标． 24. 如图，在中，，，．若动点在线段上（不与点、重合），过点作交边于点． （1）当点运动到线段中点时，计算的长； （2）点关于点的对称点为点，以为半径作，当等于多少时，与直线相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$