精品解析：河南省南阳市第一中学2024-2025学年高三第14次限时训练数学试题

南阳一中2025年春期高三年级第十四次限时训练 数学试题 命题人：王红武：审题人：王贵 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是直线的一个方向向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（ ） A. B. C. D. 4. 若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 设x，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 此函数的周期为 B. 此函数图象关于直线对称 C. 此函数在区间上有6个零点 D. 此函数在区间上单调递减 10. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的方差为4 B. 数据的平均数为17 C. 数据的平均数为10，方差大于1 D. 若数据的中位数为分位数为，则 11. 一个圆柱表面积为，体积为，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ） A. B. C. D. 三､填空题（每小题5分，共15分） （人教版选择性必修三P37第5题） 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 已知表示不超过的最大的整数，如，，若方程的正实数根为，则_____．（参考数据：） 四､解答题（共77分） 14. 四棱锥 中，底面为矩形，底面，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 15. 某地区为了检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料到200块试验田中，一段时间后测量土地的某项肥力指标，按，，，，分组，绘制成如下频率分布直方图.试验后发现，产生土地肥力的为160块，其中该项指标不小于60的有110块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力相互独立. （1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关； 指标值 合计 小于60 不小于60 产生肥力 未产生肥力 合计 （2）为了检验有机肥第二次播撒的有效性，对第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒，结果又有20块试验田产生肥力.用频率估计概率，求一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知函数． （1）求值：； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论： （3）求证有且仅有两个零点并求的值． 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围. 18. 对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中2025年春期高三年级第十四次限时训练 数学试题 命题人：王红武：审题人：王贵 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数化简，然后求出其共轭复数，从而可求出的虚部. 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数的虚部为. 故选：D 2. 已知是直线的一个方向向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由直线方向向量定义结合直线方程求出直线的一个方向向量，再利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 所以若，则，解得. 故选：A. 3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意结合三角函数、弧长公式等依次求出、圆O的半径和，再由结合两角和正切公式即可求解. 【详解】由题得，且圆O的半径为， 所以， 所以. 故选：C 4. 若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，，则，利用正弦定理可求出的大小，即可求出的值. 【详解】若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是， 作，，则，如下图所示： 向量与向量的夹角等于， 由正弦定理可得，即，可得， 所以，，即，即，故. 故选：D. 5. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据面积函数的变化趋势，结合图象的变化率先变大在变小，即可求解. 【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数， 且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小， 结合选项，可得选项D复合题意. 故选：D. 6. 设x，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】特殊值法分别判断A，B，C，再结合基本不等式计算判D. 【详解】因为， 对于A：取，所以，A选项错误； 对于B：取，所以，B选项错误； 对于C：取，所以，C选项错误； 对于D，，当且仅当取等号，所以， 因为，所以，当且仅当取等号，所以， 所以，D选项正确. 故选：D. 7. 若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，利用求出的取值范围验证取舍可得结果. 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵，∴， ∵且，∴，则， ∵，∴，解得， 当时，，，不合题意， ∴的取值范围是. 故选：B. 8. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意求出，进而结合面积公式可得，再结合正切的定义及二倍角的正切公式可求出直线的方程，进而联立方程组求得，再求出，进而求解即可. 【详解】由椭圆，得， 如图，由题意可知， 所以由， ， 由上得，且， 所以， 所以， 所以，即， 令得，故直线经过点， 联立， 所以， 所以同理可得， 所以. 故选：C. 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 此函数的周期为 B. 此函数图象关于直线对称 C. 此函数在区间上有6个零点 D. 此函数在区间上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】利用周期函数定义、轴对称性质判断AB；求出函数的零点判断C；利用导数确定单调性判断D. 【详解】对于A，，函数周期不为，A错误； 对于B，，图象关于直线对称，B正确； 对于C， ，由，得或，又， 则，函数在区间上有7个零点，C错误； 对于D，，当时，，， ，因此，函数在区间上单调递减，D正确. 故选：BD 10. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的方差为4 B. 数据的平均数为17 C. 数据的平均数为10，方差大于1 D. 若数据的中位数为分位数为，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据方差性质计算判断A，根据平均数及方差计算求解判断B，C，特例法，先从小到大排列，计算中位数及分位数判断D. 【详解】对于A：数据的方差为，A选项正确； 对于B：数据的平均数为，B选项正确； 对于C：数据的平均数为， 方差，C选项错误； 对于D：若取数据，平均数为10，方差为1， 则中位数为，因为，所以第5个数为分位数， 所以，D选项错误. 故选：AB. 11. 一个圆柱表面积为，体积为，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用圆柱表面积、体积公式建立关于圆柱底面圆半径的函数，再利用导数求出最小值进而判断. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，则，即， 因此，令，求导得， 对于AB，当时，，，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，于是，即，而， 因此都有解，A B均可以； 对于CD，当时，，，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，于是，，而， 因此有解，无解，C不可以，D可以. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用圆柱半径，结合体积及表面积建立函数关系，再利用导数探讨最小值是求解的关键. 三､填空题（每小题5分，共15分） （人教版选择性必修三P37第5题） 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 13. 已知表示不超过的最大的整数，如，，若方程的正实数根为，则_____．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再代入化简求解即可. 【详解】方程的正实数根为，则，，则. 故 . 故. 故答案为： 四､解答题（共77分） 14. 四棱锥 中，底面为矩形，底面，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）在空间直角坐标系下，分别算出每个平面的法向量，再利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 由题意得底面为矩形，底面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 因为，，所以，， 则，易得面的法向量为， 得到，故平面. 【小问2详解】 由题意得，，，， 因为为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，， 设面的法向量为，则，得到， 则，得到，令，解得，， 故， 设面的法向量为， 则，得到，则，得到 ， 令，解得，，故， 设二面角为，则， 易得二面角为锐二面角，则， 则二面角的余弦值为. 15. 某地区为了检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料到200块试验田中，一段时间后测量土地的某项肥力指标，按，，，，分组，绘制成如下频率分布直方图.试验后发现，产生土地肥力的为160块，其中该项指标不小于60的有110块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力相互独立. （1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关； 指标值 合计 小于60 不小于60 产生肥力 未产生肥力 合计 （2）为了检验有机肥第二次播撒的有效性，对第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒，结果又有20块试验田产生肥力.用频率估计概率，求一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表如下： 指标值 指标值 产生肥力 50 110 未产生肥力 20 20 不能认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图概率性质求解各组的块数，再求解卡方，判断与时的大小关系即可； （2）根据二次播撒后产生肥力的频数与总数的比值判断即可. 【小问1详解】 在指标内的有块， 同理：内的有25块，内的有35块，内的有100块， 内的有30块， 指标值 指标值 产生肥力 50 110 未产生肥力 20 20 ， 所以根据列联表及的独立性检验，不能认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关. 【小问2详解】 由题意，第一次播撒后产生肥力的频数为160， 第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒后产生肥力的频数为20， 则一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的频率为，以频率估计概率，这块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率为. 16. 已知函数． （1）求值：； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论： （3）求证有且仅有两个零点并求的值． 【答案】（1）0 （2）在和上单调递增，证明如下； 设，，则 ①当时，， ∴，于是， ∴在上单调递增； ②当时，同理可得，， 即， ∴在上单调递增； 故在和上单调递增， （3） 由于在上单调递增，且，， ∴在上有且仅有一个零点； 由于在上单调递增，且，， ∴在上有且仅有一个零点． 因此有且仅有两个零点、． 由（1）知， 又∵，∴， 不妨设，则∴是在上的零点， 而是在上的唯一零点， ∴． 【解析】 【分析】（1）计算即可发现和的规律； （2）利用作差法即可判定其单调性； （3）先根据单调性及零点存在性定理判定有两个零点，再由（1）判定两个零点的关系. 【小问1详解】 由解析式可得定义域为：，有 ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查函数的综合，属于压轴题.关键在于发现两个互为倒数的自变量其函数值的关系，以及零点存在性定理的使用. 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式以及点在椭圆上即可求解； （2）解法一：设，利用三角形的面积公式，将面积之比表示为点的纵坐标之比，利用韦达定理可求出的纵坐标之比的取值范围，从而可求解； 解法二：设，将面积之比表示为点A,B的纵坐标之比，利用韦达定理可求出A,B的纵坐标之比的取值范围，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为点在椭圆上，所以. 即，解得，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解法一： 由（1）得，依题意设， 由消去，得， 设，则， 设，则， ， 由得，， 即， 因为，所以，所以， 所以， 令且， 则，解得，且， 所以，所以的取值范围为. 解法二： 由（1）得，依题意设， 由消去，得， 设，则， 所以， 设，则， ， 令且， 则代入可得， 消去得：， 因为，所以， 所以，解得，且， 所以，所以的取值范围为. 18. 对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【答案】（1）， （2）最大值为31，最小值为11， 最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可. （3）中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以， 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13. 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算； （2）根据新定义可得当集合中的数字由大于1的因子组成时，中元素个数最大，当集合中的数字构成等比数列时，中元素个数最小，然后求最值即可； （3）对集合和分类，得到，，然后分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题目解题策略： ①仔细阅读，理解新定义内涵； ②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $