精品解析： 广东省阳江市江城区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省阳江市江城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 3. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：．即． 故选：B 6. 若关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，得出关于的一元一次不等式，并解不等式得出的取值范围是解题的关键；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程无实数根．根据根的判别式列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故选：A． 8. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为H，在中，由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中， ∴ 即直尺的宽度为． 故选：C． 9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 10. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 11. 点，都在二次函数图象上，则______．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为： 12. 若是一元二次方程的一个实数根，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算及生活中的旋转现象，根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，， 所以重物上升了． 故答案为：． 14. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】设，，则，证明，有，求解的值，根据计算求解即可得到阴影部分面积． 【详解】解：设，，则 由题意知， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ 故答案为：5． 【点睛】本题考查了反比例函数，矩形的性质，三角形相似的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 16. 如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为、． （1）以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； （2）在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 由（1）知：与的相似比为：， ∴与的面积比为：， ∵面积为m， ∴的面积为； 故答案为：． 17. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1） （2）小孔到蜡烛的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入求出x的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设， 把，代入，得， 关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：把代入，得， 小孔到蜡烛距离为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 2024年12月1日，阳江核电•2024阳江海陵岛马拉松在海陵岛螺洲海滨公园鸣枪开跑．来自国内外的10783名参赛选手踏上山海相依、风光秀美的赛道，感受“绿能之都，海丝名城”的独特魅力．本届赛事共设置A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑三个项目．请解答下列问题： （1）若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“C．欢乐跑”的概率为 　　； （2）甲、乙两人从A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式、用树状图求概率等知识点，正确画出树状图成为解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画树状图，可知共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有3种，然后由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵本届赛事共设置A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑三个项目， ∴甲随机选择一个项目参赛，选择的是“C．欢乐跑”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意：画树状图如下： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有3种， ∴甲、乙两人恰好选择同一项目的概率为． 19. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，则，所以，由得，则，所以，则，即可证明结论； （2）如图：连接，由是的直径得，则，因为，所以，再证明是等边三角形求得；求出，进而得到，再利用勾股定理解答即可． 小问1详解】 证明：如图：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 【答案】（1）20，40 （2）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了长方体展开图特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，． 故答案为：20；40； 【小问2详解】 解：设收纳盒高为， 根据题意得， ，（舍去）， 收纳盒长、宽、高分别为、、， ， 玩具机械狗不能放入该收纳盒． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 21. 【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 【答案】（1）22 （2）①正方形，理由见解析；②2 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点作于点，证，得，，则，再由勾股定理求解即可； 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形矩形， 又， 四边形是正方形； ②过点作于点，如图3所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型． 22. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； （3）如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式； （2）由于经过、两点, 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案； （3）由题意得，需要分类点在轴上方或下方两种情况讨论，结合图形利用构造出等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质与判定求出点的坐标即可解答． 【小问1详解】 解：代入到抛物线中， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线的解析式为， 当时，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵经过、两点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①当点在轴上方抛物线上时，作于点，作轴于点，于点，如图所示， 由（2）得：，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点横坐标为， ∴点坐标为 ， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点坐标为，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，点坐标为，不在轴上方的抛物线上，舍去； 故点不存在； ②当点在轴下方时，作，轴，于点，如图所示， ，， ， ， ， 同理①中的方法可得：， ∴，， 设，， 则，解得：， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、圆的基本性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于二次函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省阳江市江城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 3. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A B. C D. 6. 若关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 10. 抛物线的顶点坐标是______． 11. 点，都在二次函数的图象上，则______．（填“”、“”或“”）． 12. 若是一元二次方程的一个实数根，则代数式______． 13. 如图，用一个半径为定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______（结果保留）． 14. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 15. 解方程：． 16. 如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为、． （1）以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； （2）在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______． 17. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 2024年12月1日，阳江核电•2024阳江海陵岛马拉松在海陵岛螺洲海滨公园鸣枪开跑．来自国内外的10783名参赛选手踏上山海相依、风光秀美的赛道，感受“绿能之都，海丝名城”的独特魅力．本届赛事共设置A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑三个项目．请解答下列问题： （1）若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“C．欢乐跑”的概率为 　　； （2）甲、乙两人从A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率． 19. 如图，在中，，以为直径交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 20. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 21. 【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 22. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； （3）如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $