精品解析：重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期定时训练（一）数学试题

初三下数学定时训练1 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值的性质是正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 分别计算各选项绝对值比较即可． 【详解】分别计算各选项绝对值，，，，， 比较大小：，所以绝对值最小的是0， 故答案选：C． 2. 如图，是一个正方体展开图，那么在该正方体中，和“成”相对的字是（　　） A. 细 B. 节 C. 决 D. 败 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，选择任意一个面作为正方体的底面，将展开图折叠即可求解． 【详解】若以“决”为正方体的下底面，则“败”为上底面； “节”、“定”分别为正方体的左右侧面； “成”、“细”分别为正方体的前后面； 故选：A 3. 如图，，分别交 、于点E、F，平分交于点G，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，先求解，根据平分，得到，结合得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 如图， 与是位似图形，点 为位似中心，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．分析已知和所求，根据，可得，由与是以点O为位似中心的位似图形，即可得它们的位似比为；根据位似图形的性质可得与的比应等于位似比的平方，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 故选：D 5. 已知实数．则实数m的值应在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的估算，掌握相关运算法则是解题关键．先化简实数，再估算出，即可得出实数m的值的范围． 【详解】解：，且， ， ， 实数m的值应在2与3之间， 故选：B． 6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 7. 2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了31元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，找到等量关系，列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： 根据题意得：． 故选：D． 8. 两个半径相等的半圆按如图所式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．连接，得出为等边三角形，据此再结合扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】连接， ∵半圆与半圆 的半径相等， ， ∴是等边三角形， ， ， 又， ． 故选：A． 9. 如图，在正方形中，对角线 与 相交于点 ，点为 边的中点，于点 ，，交的延长线于点，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长．过点 作于点 ，设，利用勾股定理和正方形性质求出，再利用三角形面积和勾股定理求出，，，，，进一步求出，由，即可求出， 【详解】解：如图所示：过点 作于点 ， 设， ∵为边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴的面积， ∴， ∴， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的次数，分式运算，因式分解应用，完全平方公式的应用，解题的关键是注意分类讨论．根据时，，得出，，或，，或，，三种情况，即可判断①正确；根据当时，，，，根据a、b、c均为正整数，得出，，，然后分类讨论即可判断②错误；根据当时，，a、b、c均为正整数，得出所有的和为： ，根据x、y、z均不为0，得出，即可判断③正确． 【详解】解：当时，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，或，，或，，三种情况， ∴当时，符合条件的单项式共有3个，故①正确； 当时，，，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，， ∴当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴共有四种结果，故②错误； 当时，，a、b、c均为正整数， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， ∴所有的和为： ∵x、y、z均不为0， ∴， ∴所有的和为正数，故③正确； 综上分析可知：以上说法正确的有2个． 故选：C． 二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是， ， 解得：， 故答案为：1． 12. 3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”的字样，将卡片的背面朝上．洗匀后，从中任意抽取2张卡片，抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”3张卡片分别记为、、，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的结果有2种， 抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为， 故答案为：． 13. 如图，四边形是矩形，连接，点 、分别为、边的中点，连接，，交的延长线于点，点 为的中点，连接，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，根据中位线的性质可得，根据矩形对角线相等可得，根据正切的定义求得，进而勾股定理求得的长，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵点 、分别为、边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ 在中， ∵点 为的中点， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14. 若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值．先根据不等式组“有且只有三个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到且，综合后即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有三个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ∴且 ∴且， 综上，且，为整数， 或8， 所有满足条件的整数的和是． 故答案为：14． 15. 如图， 内接于 ，直径 交弦 于点E，延长 交过点C的切线于点F，连接．若， ，，则________，________． 【答案】 ①. 9 ②. ## 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接 ，作于点，由 是 的直径，与 相切于点，得，则，可证明，进而证明，得，由，，求得，则，由，求得，则，求得，由，求得，则，所以，求得，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】连接 ，作于点，则， ∵ 是 的直径，与 相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9；． 16. 我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“合十数”，并把数A分解成的过程，称为“合十分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“合十数”，616分解成的过程就是“合十分解”．按照这个规定，最小的“合十数”是________．把一个“合十数”A进行“合十分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最大值为________． 【答案】 ①. 209 ②. 5624 【解析】 【分析】本题是新定义题，主要考查了列代数式，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为，得，根据二次函数的性质可得或时，“合十数”最小；设m与n的十位数字为y，则，，，根据已知推出是整数，要使“合十数”A最大，则优先取最大数，优先代入的最大值，若满足是整数，再得出的值，代入m与n，再由即可得A的最大值． 【详解】解：由题意得，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为， ∴，， ∴， ∵， ∴当或时，“合十数”最小为； 设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，则n的个位数字为， ∴，， ∴，， ∴， ∵能被3整除， ∴是整数， 要使“合十数”A最大，则优先取最大数， 当时，不能为整数， 当时，不能为整数， 当时，，或时，可以为整数， ∴当，时，满足条件的“合十数”A最大， 此时，，，； 故答案为：209；5624． 三、解答题：本大题共有8小题，每小题10分，共80分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式，完全平方公式展开，再根据整式的加减运算计算即可； （2）先算括号里异分母分式的加减，再根据分式的除法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在学习了等腰三角形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．他们的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他们的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作 的垂线交 于点 ，交 边上的高于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在锐角 中，，，且．求证： ． 证明：，， ①__________． 在与中， （）， ③__________，即， 是等腰三角形． 进一步思考，如果三角形是钝角三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③ ；在一个钝角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个钝角三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，尺规作图---作垂线，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂线的作图方法即可作图； （2）根据证明，即可填空． 【小问1详解】 解：如图，即为所作： 【小问2详解】 证明：，， ． 在与中， （）， ，即， 是等腰三角形； 对于钝角三角形，如图： ，， ． 在与中， （）， ，即， 是等腰三角形； 故答案为：①；②；③ ；④在一个钝角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个钝角三角形是等腰三角形． 19. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____度； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1）；，； （2）八年级的成绩更好，理由见解析； （3）150人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数的定义和意义，扇形统计图，利用样本估计总体． （1）根据中位数、众数的定义，可求出、的值，用八年级C等级人数所占百分比，可求出； （2）根据平均数、中位数、众数的意义分析即可； （3）用八年级参赛学生总人数乘以样本中成绩为优秀的学生所占百分比求解即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，八年级A等级人数为人， 八年级10名学生的竞赛成绩中位数为第五、六名学生的成绩， ； 七年级10名学生的竞赛成绩中分出现了三次，次数最后， ； 八年级C等级人数为， ， 故答案为：；，； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好， 理由：因为七、八年级学生的竞赛成绩的平均数相同，但是八年级学生的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：人， 答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数为人． 20. 某甜品店在售的两款小蛋糕，水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为每个7元和12元，已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的，已知用300元购买水果蛋糕的个数比用612元购买慕斯蛋糕的个数少9个． （1）求水果蛋糕和慕斯蛋糕的每个售价分别为多少元； （2）随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了，每个慕斯蛋糕的售价上调了，月底经统计水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个，若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值． 【答案】（1）水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元 （2）a的最小值为20 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的实际运用，理解数量关系，正确列分式方程，不等式是解题的关键． （1）设慕斯蛋糕每个售价为3x元，则水果蛋糕每个售价为2x元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的， ∴设慕斯蛋糕每个售价为3x元，则水果蛋糕每个售价为2x元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 答：a的最小值为20． 21. 如图，中，，，，点D为 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（）， 的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）作图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，由共高三角形面积比化为底之比得到，故；由勾股定理得：，根据直角三角形斜边中线得到，则，那么，当点在线段上时，即，过点作于点 ，由题意得，，则，再根据面积公式得到,；当点在线段 上时，即，过点作于点 ，由题意得，，则，即可表示面积； （2）先作出 反比例函数和正比例函数以及一次函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质； （3）当时，即函数图象在函数图象下方时，交点的横坐标取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵ 与共过点作 边的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵点D为 的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，即，过点作于点 ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴, 当点在线段 上时，即，过点作于点 ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 综上：； 【小问2详解】 解：画出函数，的图象如图， 函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：记函数与函数的交点为 由图象可得：， ∴当时x的取值范围：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 22. 在某城市里，同一平面内的五处饭店间的道路分布如图所示，经测量，点均在点 的正西方向且米，点 在点 的正北方向，且米，点在点 的北偏西方向且米，点在点的东北方向．（参考数据：，） （）求道路的长度（结果保留根号）； （）若外卖员甲从点出发沿的路径去点，与此同时外卖员乙从点 出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点？请通过计算说明． 【答案】（）米； （）乙先到达点，理由如下： 在中，，米 ， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴甲的路程米， 乙的路程米， ∵， ∴外卖员乙先到达点． 【解析】 【分析】（）过点作于点 ，过点作，交的延长线于 ，得，，解得米，即得米，再解即可求解； （）解直角三角形分别求出的长度，进而求出甲和乙的路程即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）如图，过点作于点 ，过点作，交的延长线于 ，则四边形是矩形 ， ∴，， 在中，，米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴道路的长度为米； （）略 23. 已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值． （3）如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线 方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为4；四边形周长的最小值为 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为设，则，则，证明得，则，利用二次函数的性质可求出的最大值；作点P关于y轴的对称点，作点Q关于x轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则，，，可得四边形周长的最小值，求出，即可求解； （3）分两种情况：①当点M在x轴下方时，先求出把抛物线向右平移3个单位，再向上平移9个单位得到新抛物线，得出，设．过点D作于点E，交的对称轴于点F，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可；②当点M在x轴上方时，过点D作于点E，交的对称轴于点F，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 把，代入，得 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：解，得 ， ∴． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴． 设，则， ∴． 作于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为4， ∴，则． 作点P关于y轴的对称点，作点Q关于x轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则，，， ∴四边形周长的最小值 ． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形周长的最小值为； 【小问3详解】 解：①当点M在x轴下方时， ∵， ∴． 在射线 截取，作于点L， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴把抛物线向右平移3个单位，再向上平移9个单位得到新抛物线， ∴， ∴设． 过点D作于点E，交的对称轴于点F， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点M在x轴上方时，如图，过点D作于点E，交的对称轴于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，轴对称最短问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的平移，难度较大，属中考压轴题． 24. 如图，在三角形中，， ，D为 上一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若点D在边 上，延长交于点E，，，求 的长； （2）如图2，若点D在 延长线上，延长交 于点E，交于点G，求证：； （3）若点D在边 上，P为边上一点，，N为上方一点，，，连接，H为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点D旋转得到线段，连接，线段绕点B逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，以为边作等边三角形，连接，交于M， ∴，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作于G，设，根据等边对等角，得出，利用锐角三角函数得出，，，，从而求出，则，，，由旋转的性质可得，进而推出，得到，即可求解； （2）以为边作等边三角形，连接，交于M，结合旋转的性质，证明，得到，，进而得出，由三线合一的性质，得到，，从而推出，，再根据相似三角形对应边成比例，得出，即可得证； （3）根据题意，可以固定，使 进行变动，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O，结合圆周角定理，可得点B在 上运动，当点B在的延长线上时（图中），最大为的长，设交于G，此时，从而求出，再根据锐角三角函数求出，将绕点B逆时针旋转至，则点在以为圆心，2为半径的圆上运动，连接并延长，交与K，则最大，推出，利用勾股定理得出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，作于G， 设， ∵ ，， ∴， ∵， ∴在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴是固定大小的等腰三角形， ∴可以固定，使 进行变动， 如图3，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O， ∵，， ∴， ∴点B在 上运动， ∴当点B在的延长线上时（图中），最大为的长， 设交于G，此时， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点D旋转得到线段， ∴， 将绕点B逆时针旋转至， ∴， ，， ∴点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 连接并延长，交与K，则最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴最大值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，圆的定义及圆周角定理，二次根式，熟练掌握这些性质与判定，并掌握轨迹圆和主动从动圆是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三下数学定时训练1 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图，是一个正方体展开图，那么在该正方体中，和“成”相对的字是（　　） A. 细 B. 节 C. 决 D. 败 3. 如图，，分别交 、 于点E、F，平分交 于点G，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 与是位似图形，点为位似中心，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数．则实数m的值应在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度 随时间 的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 7. 2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了31元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 两个半径相等的半圆按如图所式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点，点为 边的中点，于点 ，，交的延长线于点 ，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为________． 12. 3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”的字样，将卡片的背面朝上．洗匀后，从中任意抽取2张卡片，抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为________． 13. 如图，四边形 是矩形，连接，点 、 分别为 、 边的中点，连接，，交 的延长线于点，点为的中点，连接，若，则___________． 14. 若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为________． 15. 如图， 内接于 ，直径 交弦 于点E，延长 交过点C的切线于点F，连接 ．若， ，，则________，________． 16. 我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“合十数”，并把数A分解成的过程，称为“合十分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“合十数”，616分解成的过程就是“合十分解”．按照这个规定，最小的“合十数”是________．把一个“合十数”A进行“合十分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最大值为________． 三、解答题：本大题共有8小题，每小题10分，共80分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在学习了等腰三角形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．他们的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他们的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作 的垂线交 于点 ，交 边上的高 于点 （不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在锐角 中，，，且．求证：． 证明：，， ①__________ ． 在与中， （）， ③__________，即， 是等腰三角形． 进一步思考，如果三角形是钝角三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________． 19. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____度； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 20. 某甜品店在售的两款小蛋糕，水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为每个7元和12元，已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的，已知用300元购买水果蛋糕的个数比用612元购买慕斯蛋糕的个数少9个． （1）求水果蛋糕和慕斯蛋糕的每个售价分别为多少元； （2）随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了，每个慕斯蛋糕的售价上调了，月底经统计水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个，若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值． 21. 如图，中，，，，点D为 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（）， 的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22. 在某城市里，同一平面内的五处饭店间的道路分布如图所示，经测量，点均在点 的正西方向且米，点 在点 的正北方向，且米，点在点 的北偏西方向且米，点在点的东北方向．（参考数据：，） （）求道路 的长度（结果保留根号）； （）若外卖员甲从点出发沿的路径去点，与此同时外卖员乙从点 出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点？请通过计算说明． 23. 已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，P是直线 上方抛物线上一动点，过P作轴交 于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值． （3）如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线 方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线 相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 24. 如图，在三角形 中，，，D为 上一点，将线段 绕点C顺时针旋转得到线段 ，连接． （1）如图1，若点D在边 上，延长交 于点E，，，求的长； （2）如图2，若点D在 延长线上，延长交于点E，交 于点G，求证：； （3）若点D在边 上，P为边 上一点，，N为上方一点，，，连接，H为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点D旋转得到线段，连接，线段绕点B逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $