11.2 正弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第11章 解三角形 11.2 正弦定理 苏教版 必修第二册 1 【课标要求】 1.掌握正弦定理及其变形. 2.借助向量的运算，探索正弦定理的证明过程. 3.能用正弦定理解决简单的实际问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点 1. 正弦定理 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等,即 . 4 知识点 2. 正弦定理的变形公式 若为 外接圆的半径,则 （1）,, . （2）,, . （3） . （4） . 5 知识点 3. 三角形面积公式 ；；（,,是 的 三个内角,, 所对的边） 【拓展】 , （ 为三角形内切圆的半径）. 6 知识点 4. 正弦定理解决的两类问题 类型1:已知两角及一边解三角形. 类型2:已知两边及一边对角解三角形. 【说明】在中,已知,和，以点为圆心,以边长 为半径画弧,此弧与除去 顶点的射线 的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表: 类别 为钝角 为直角 为锐角 一解 一解 一解 无解 无解 一解 无解 无解 两解 一解 无解 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】已知两角和一边解三角形 例1 在中，已知 ， ， ,解三角形. 解 , , . 由正弦定理，得 , 解得, . 9 题后反思 已知两角及一边解三角形 （1）若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定 理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. （2）若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦 定理求另外两边. 10 跟踪训练1 在中,若, ,,则 ( ) C A. B. C. D. [解析] 在中,因为,所以 ,所以 , 由得， .故选C. 11 【题型二】已知两边和其中一边对角解三角形 例2 在中，已知,, ，解三角形. 解 ， , 或 , 又,, , . 由正弦定理得 . 12 题后反思 已知两边及其中一边的对角解三角形 （1）用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角； （2）用三角形内角和定理求出第三个角； （3）根据正弦定理求出第三条边. 其中进行（1）时要注意讨论该角是否可能有两个值. 13 跟踪训练2 已知的内角，，的对边分别为，，，若，， ，若 只有一解，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D.或 [解析] 如图， 若，，，要使只有一解，则实数 的取 值范围为或 .故选D. 14 【题型三】三角形形状判断 例3 (2023南通月考) 在中,内角,,所对的边分别为,, ,已知 ,试判断 的形状,并写出证明过程. 解 是直角三角形. 证明： ， 由正弦定理,可得 , , ,, , , 由正弦定理,可得,即 , 所以 为直角三角形. 15 题后反思 判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角 形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断 三角形形状的方法如下: （1）化边为角,走三角变形之路,常用的转化方式有: ,,（为 外接圆的半径）； （2）化角为边,走代数变形之路,常用的转化方式有: ,,（为 外接圆的半径）. 16 跟踪训练3 (2023启东月考) 在中,若 ,则这个三角形 是( ) D A.底角不等于 的等腰三角形 B.锐角不等于 的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 [解析] 由正弦定理及题意,得 , . , , 或,即或 . 这个三角形为直角三角形或等腰三角形.故选D. 17 【题型四】三角形面积公式的应用 例4 计算下列各三角形的面积. （1）在中,,, ; 解 . 18 （2）在中,,, ; 解 由,得 . , . , 或 , 相应地， 或 . 或 , 的面积为或 . 19 （3）在中,,, . 解 由余弦定理得， , 则 , 故 . 20 题后反思 求三角形面积的方法 （1）若三角形中已知一个角（角的大小或该角的正、余弦值）,及该角的两边,代 入公式求面积； （2）若已知三角形的三边,可先求某个角的余弦值,再求其正弦值,最后代入公式 求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 21 跟踪训练4 已知在中, ,,,且,则 的面积为( ) C A. B.3 C. D. [解析] 因为 ,, ,所以有 ,即 , 解得或,又,所以 , 因此的面积为 .故选C. 22 $$