11.3 余弦定理、正弦定理的应用课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第11章 解三角形 11.3 余弦定理、正弦定理的应用 苏教版 必修第二册 1 【课标要求】 1.利用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离的测量问题. 2.能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题. 3.能运用正弦定理、余弦定理解决相关力学问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点 1. 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平 线的夹角 ______________________________________________ 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平 线的夹角 ______________________________________________ 4 名称 定义 图示 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角 （指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方 向角小于 ） _____________________________________ 南偏西 （指以正南方向为始 边,转向目标方向线形成的角） 续表 5 名称 定义 图示 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过 的水平角 __________________________________ 坡角与 坡 比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角 （ 为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比 叫坡比（坡度）,即 ______________________________________ 续表 6 知识点 2. 解三角形应用题的基本步骤 （1）分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图（一个或几个三角形）. （2）建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在同一个三 角形中,建立一个解三角形的数学模型. （3）求解:利用正弦定理、余弦定理解这个三角形,求得数学模型的解. （4）检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解. 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】测量距离与高度问题 例1（1）(2023徐州月考) 如图,,两地相距 ,甲欲驾车 从地去地,由于山体滑坡造成道路堵塞,甲沿着与 方向 成 角的方向前行,中途到达点,再沿与方向成 角 C A. B. C. D. 的方向继续前行到达终点 ,则这样的驾车路程比原来的路程约多了（参考数据: ,, ） ( ) 9 [解析] 在中,因为 , ,所以 . 因为正弦定理,即 , 所以, , 所以 .故选C. 10 （2）(2023通州月考) 如图,一栋建筑物 的高为 米,在该建筑物的正东方向有一个通信塔 . 在它们之间的地面点（,, 三点共线）处测得楼顶 和塔顶的仰角分别是 和 ,在楼顶 处测得塔 顶的仰角为 ,则通信塔 的高为( ) C A.米 B.30米 C. 米 D.60米 11 [解析] 依题意知, , 在中, （米）, 在中, , , . 由正弦定理,得 （米）, 在中, （米）, 所以通信塔的高为 米.故选C. 12 题后反思1.求距离问题的注意事项 （1）选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知, 则直接求解；若其他量未知,则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定是正弦定理还是余弦定理,如果都可以,那么就选更便于计算的定理. 2.求解高度问题需要注意的两个方面 （1）在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角（在铅垂面上所成的角）、方向 （位）角（在水平面上所成的角）是关键. （2）在实际问题中,可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题,这时最好画 两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. 13 跟踪训练1 (2023靖江期中) 如图所示,要在两山顶,间建一索道,需测量两山顶, 间的距离.现 选择与山脚,在同一平面的点为观测点,从点测得点的仰角 , 点的 仰角 以及 .若米,米,则 等于______ 米. 14 [解析] 在中, ,,所以 . 在中, , , 所以 . 在中, ,, . 由余弦定理,得 ， 所以（米）.故答案为 . 15 【题型二】测量角度问题 例2 如图所示,当甲船位于 处时,获悉在其正东方向相距 的 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往 救援,同时把消息告知在甲船南偏西 ,相距 的 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前 往处救援？（角度精确到 ，参考数据： ） 16 解如图所示,连接 . 在中, . 由余弦定理得, . 又, ,所以 , 所以 . 由正弦定理得, . 又为锐角,所以 . 作,交的延长线于点 , 则 .故乙船应朝北偏东约 的方向沿直线前往 处救援. 17 题后反思 测量角度问题需要注意的三个方面 （1）测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义； （2）求角的大小时,先在三角形中求出其正弦值或余弦值； （3）在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可 用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正弦定理、余弦定理综合使用的优点. 18 跟踪训练2 一艘轮船航行到处时看灯塔在的北偏东 方向，距离海里处，灯塔在 的北偏西 方向，距离海里处，该轮船由沿正北方向继续航行到 处时再看 灯塔在其南偏东 方向上，则 _ _. [解析] 如图，在中， , , ， 则 ， 因为，所以 ， 在中， ,, ， 则 ， 所以 ， 则.故答案为 . 19 【题型三】 正弦定理、余弦定理在平面几何中的运用 例3 如图,某市规划一个平面示意图为五边形 的一条自行车 赛道,,,,,为赛道（不考虑宽度）,, 为赛道内的 两条服务通道,,, , . （1）从以下两个条件中选一个条件,求服务通道 的长度. ； . 20 解 ,,, , 在中,由正弦定理知, , ,解得 . 选①:, , , . 21 在中,,故服务通道 的长度为 . 选②: , 在中,由余弦定理知, ,化简得 , 解得 （负值舍去）, 故服务通道的长度为 . （2）在（1）的条件下,当 赛道长度为多少时,才能使整个自行车赛道最长 （即 最大）? 23 解 在中,由正弦定理可得 , ,解得 , 问题转化为当赛道长度为多少时, 最大. 在中,由余弦定理知, , , , 即,当且仅当 时,等号成立, 此时 , 的最大值为 , 故当赛道长度为 时,才能使整个自行车赛道最长. 题后反思 三角形中几何计算问题的解题思路 （1）正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点,善于应用正弦定理、余弦 定理,只需通过解三角形,一般问题便能很快解决. （2）此类问题突破的关键是仔细观察,发现图形中较隐蔽的几何条件. 25 跟踪训练3 已知四边形的内角与互补,,, . （1）求和 ； 解 连接 （图略）,则由题设及余弦定理得, 在中， , ① 在中， . ② 由①②得,故 , . （2）求四边形 的面积. 解 . 26 $$