精品解析：上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三下学期摸底考试（3月）数学试题

交大附中高三摸底考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，则_________. 2. 不等式的解集为_____. 3. 等差数列中，若，则公差__________． 4. 直线的倾斜角是_________（结果用反三角表示）． 5. 将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的旋转体的体积为_________． 6. 的二项展开式中，的系数是_________.(用数字作答) 7. 若，则_________． 8. 已知，若，则的最大值为_________． 9. 若 的内角满足，则的最大值是_________． 10. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)． 11. 研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系： 56 11.9 0.213 16.0 0.00510 64 13.4 0.209 21.9 0.00535 72 15.2 0.211 28.2 0.00544 80 16.7 0.209 36.0 0.00563 89 18.6 0.209 45.3 0.00572 97 20.1 0.207 55.5 0.00590 105 21.9 0.209 67.2 0.00610 用表中比例系数与的平均数作为参数、的估计值．那么根据上表数据，估计时，刹车距离约为_________．（结果精确到0.1） 12. 已知复平面上的点对应的复数z满足：存在模长为1的复数a，使得．那么所有满足条件的点组成的图形的面积为_________． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 设,则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 下列函数中，在区间上是严格减函数的为（ ） A. B. C. D. 16. 设，记．则（ ） A. B. C. D. 三、解答题．（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，． （1）求证：平面PBC； （2）求二面角的正弦值． 18. 设函数． （Ⅰ）求 的最小正周期． （Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值． 19. 机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、 四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、 三人比赛的情况. 比赛的次数 12 10 15 获胜的次数 4 5 12 （1）根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率； （2）根据表格中的数据，请给、、 三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由. 20. 已知抛物线，动直线l经过定点且与抛物线交于A、B两点． （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）时，求线段 的长度的最小值； （3）若抛物线上存在一定点D，使得以 为直径的圆恒过点D，求a、b满足的关系式． 21. 已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． （1）若，求集合； （2）若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； （3）若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中高三摸底考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接根据并集定义得到答案. 【详解】集合，则. 故答案为：. 【点睛】本题考查了并集计算，属于简单题. 2. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为 3. 等差数列中，若，则公差__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式即可代入求解. 【详解】由，解得， 故答案为：1 4. 直线的倾斜角是_________（结果用反三角表示）． 【答案】 【解析】 【分析】求得直线斜率，进而可求得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由，可得，所以. 故答案为：. 5. 将边长为 的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的旋转体的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，旋转体为圆柱，确定该圆柱的底面半径和高，结合柱体的体积公式即可得解. 【详解】如下图所示， 由图可知，旋转体是底面半径为 ，高为 的圆柱， 故该旋转体的体积为. 故答案为：. 6. 的二项展开式中，的系数是_________.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】 根据二项展开式通项公式求的系数. 【详解】根据二项式定理,的通项为， 当时,即r=2时,可得. 即项的系数为40 故答案为：40 【点睛】方法点晴：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 7. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】因为， 则， 故. 故答案为：. 8. 已知，若，则的最大值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】由条件可得，，结合不等式可求得结论. 【详解】因为，， 所以，故， 又， 当且仅当或时等号成立； 所以的最大值为 . 故答案为： . 9. 若 的内角满足，则的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件结合正弦定理可得出，利用余弦定理可求出的最小值，结合余弦函数的单调性可得出角的最大值. 【详解】设 的内角、、的对边长分别为 、 、 ， 因为，由正弦定理可得， 所以， ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为且余弦函数在上单调递减，故， 所以，的最大值为. 故答案为：. 10. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)． 【答案】72 【解析】 【分析】根据使用颜色种数，结合分类加法计数原理、排列组合求解即可. 【详解】若使用了四种颜色，则同色或同色，共有种， 若使用了三种颜色，则同色且同色，共有种，所以一共有种. 故答案为：72. 11. 研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离 反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系： 56 11.9 0.213 16.0 0.00510 64 13.4 0.209 21.9 0.00535 72 15.2 0.211 28.2 0.00544 80 16.7 0.209 36.0 0.00563 89 18.6 0.209 45.3 0.00572 97 20.1 0.207 55.5 0.00590 105 21.9 0.209 67.2 0.00610 用表中比例系数与的平均数作为参数、的估计值．那么根据上表数据，估计时，刹车距离约为_________．（结果精确到0.1） 【答案】 【解析】 【分析】设刹车距离为，求出、的平均值，可得出的表达式，代值计算可得的值. 【详解】设刹车距离为，由题意可得， 由表格中的数据可得， ， 所以，，故. 所以，当时，刹车距离约为. 故答案为：. 12. 已知复平面上的点对应的复数z满足：存在模长为1的复数a，使得．那么所有满足条件的点组成的图形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可得，可求点组成的图形的面积. 【详解】设，由， 可得， 所以 所以，所以， 因为复数a的模为1，所以，所以， 所以是以为圆心，1为半径的圆上的点， 又是以原点为圆心，1为半径的圆上的点， 所以点形成的图形是以为圆心，2为半径的圆面， 所以点组成的图形的面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用复数的代数形式，结合利用复数的运算得到，进而可求解. 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 设,则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可推出同号,则根据分类讨论可得出,根据,两边同乘 可得,即可选出选项. 【详解】解:由题知,则同号, 当时,有, 当时,有, 故能推出, 当成立时,又, 对不等式两边同时乘以 可得, 故“”是“”的充分必要条件. 故选:C 14. 若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的加法法则计算可得结论. 【详解】因为向量与方向相反，所以，. 故选：A. 15. 下列函数中，在区间上是严格减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用解析式直接判断各选项中函数在上的单调性即可. 【详解】对于A，函数在上是严格增函数，A不是； 对于B，函数在上是严格减函数，B是； 对于C，函数在上是严格增函数，C不是； 对于D，当 时，在上是严格增函数，D不是. 故选：B. 16. 设，记．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，综合的单调性，由的单调区间去掉绝对值，进而化简求解. 【详解】因为在上单调递增，也单调递增， 所以 ； 因为在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时， ； 因为在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 即在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 又，， 所以， 又，， 所以， 又，， 所以， 所以 ， 故. 故选：B. 【点睛】处理多变量函数最值问题的方法有， （1）消元法：把多变量问题化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可用不等量消元；（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个时要关注代数式和积关系的转化. 三、解答题．（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，． （1）求证：平面PBC； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：由正方形 ，得，而 平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 又平面 ，因此平面平面，而平面 ， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面 ，且四边形 为正方形，得直线两两垂直， 以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面 的法向量，则，取 ，得， 设二面角的大小为 ，则，， 所以二面角的正弦值为. 18. 设函数． （Ⅰ）求 的最小正周期． （Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值． 【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ） 【解析】 【详解】解：（Ⅰ） = == 故 的最小正周期为T = =8 (Ⅱ)解法一：在的图象上任取一点，它关于的对称点 . 　　由题设条件，点在的图象上，从而 == 当时，，因此在区间上的最大值为　　　; 解法二：因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于 x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值. 由（Ⅰ）知 ＝ 当时，,因此在上的最大值为　　　　　 . 19. 机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、 四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、 三人比赛的情况. 比赛的次数 12 10 15 获胜的次数 4 5 12 （1）根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率； （2）根据表格中的数据，请给、、 三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据可得与其他三人比赛获胜概率，利用概率的乘法公式以及正难则反的解题思路，可得答案； （2）计算各种安排下比赛获胜的概率，进行比较可得答案. 【小问1详解】 由表格可估计与的比赛中获胜的概率， 与的比赛中获胜的概率，与 的比赛中获胜的概率， 则估计在区内决赛中三场全输的概率， 所以估计在区内决赛中至少获胜一场的概率. 【小问2详解】 ①当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ②当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ③当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ④当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ⑤当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ⑥当比赛安排为时，连胜两场的概率为； 由，则当比赛安排为或时，连胜两场的概率最大. 20. 已知抛物线，动直线l经过定点且与抛物线交于A、B两点． （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）时，求线段 的长度的最小值； （3）若抛物线上存在一定点D，使得以 为直径的圆恒过点D，求a、b满足的关系式． 【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据标准方程直接写出焦点和准线； （2）设AB的方程为，可得是方程的两根，利用韦达定理及弦长公式建立的函数关系式，即可求得最小值； （3）设，因而是方程的两根，根据韦达定理可得到，由恒成立可得对于一切实数m恒成立，求解即可得到a、b满足的关系式. 【小问1详解】 根据抛物线标准方程可得：焦点坐标为，准线方程为． 【小问2详解】 直线AB必不垂直于y轴，所以设AB的方程为， 所以是方程的两根，化简得， 所以 ； 则， 当且仅当时等号成立．所以线段AB长度的最小值为． 【小问3详解】 设，直线AB必不垂直于y轴，所以设 是方程的两根， 所以； 由题意恒成立 所以， 化简得 将式代入即对于一切实数m恒成立， 所以．因此. 【点睛】思路点睛：本题抛物线中满足某条件的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 或 的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系； ④通过讨论所得关系可确定定点. 21. 已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． （1）若，求集合； （2）若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； （3）若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【答案】（1） （2） （3）证明：记，则，在上严格递减， ①若直线l是曲线在点处的切线， 则有，所以． 故时，，所以函数在上严格递减，； 时，，所以函数在上严格递增，； 所以的解集为，集合是单元素集合； ②若集合是单元素集合，故时，， 而函数的图象是一条连续曲线，所以． 则在的附近其他自变量对应的函数值都小于， 故函数在处取得极大值，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，直线l是曲线在点处的切线． 综上，“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【解析】 【分析】（1）由已知求得，解不等式即可求解； （2）的解集为，进而得方程有重根及，据此求解即可． （3）记，必要性，则有，由题意可得的单调性，可得结论；充分性，时，结合已知可得函数在处取得极大值，进而可得结论. 【小问1详解】 因为，所以， 由，得，解得，所以． 【小问2详解】 存在实数k，m使得集合，则的解集为， 即的解集为， 所以方程有重根及． 因此恒成立，故有， 则是二次方程的两个不相等的实数解， 所以，所以实数b的取值范围是． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问，关键在于得到方程有两个二重根，进而得到恒成立，从而可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $