专项20 盈亏问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——盈亏问题 8种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 把一定数量的东西分给一定数量的人,往往会出现每人少分则有余(盈),每人多分则不足(亏);或者拿一定数量的钱去购买单价一定的物品,常常会出现少买则钱有剩余,多买则钱不够的情况。像这样根据盈亏来求未知量的问题叫做盈亏问题。 盈亏问题的基本解答规律是: 两次分配的总差额-两次分配的差=份数。 “总差额”的三种情况是: (1)一盈一亏:盈+亏=总差额 (2)一盈(亏)一正好:盈(亏)=总差额 (3)同盈同亏:大盈(亏)-小盈(号)=总差额 【一盈一亏求和】 若干个同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人,若每船5人则船上有4个空位。问:有多少个同学?多少条船? 【解析】 （1）盈：每船4人则多5人； 亏：每船5人则船上有4个空位，理解为：每船5人则少4人； （2）两种坐船方式人数差额：每船相差5-4=1（人），总差额为5+4=9（人）； （3）船的数量：9÷1=9（条）； 总人数：4×9+5=41（人）； 【详解】 船的条数：（5+4）÷（5-4）=9（条） 同学人数：4×9+5=41（个） 答：有41个同学，9条船。 1.学校给参加夏令营的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车,若每辆车乘32人，则还有3个空座。问:有多少名同学?多少辆车? 2.全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐9人;如果增加一条船,那么每条船正好坐6人。问:全班有多少人? 3.有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下32块；如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49块。这批砖原有多少块？ 【两盈两亏找差】 学校将一批铅笔奖给三好学生。若每人奖9支,则缺45支;若每人奖7支,则缺7支。问:三好学生有多少?铅笔有多少? 【解析】 （1）亏：每人奖9支,则缺45支； 亏：每人奖7支,则缺7支； （2）分配奖品的数量差额：每人差额9-7=2（支），总差额45-7=38（支）； （3）三好学生人数：38÷2=19（人） 铅笔总数量：19×9-45=126（支） 【详解】 (45-7)÷(9-7)=19(人) 19×9-45=126(支) 答:三好学生有19人,铅笔有 126支。 【总结】同盈(亏)的盈亏问题中,总人数(份数)=[大盈(号)-小盈(亏)]÷分配差。 1.有一堆梨要装人若干个箱子里。如果每个箱子装35个,则还缺25个;如果每个子装 40个,则还缺50个。问一共有多少个箱子?有多少个梨? 2.盒子里有若干支铅笔。取相同的次数,如果每次取9支,则剩下28支;如果每次取11支,则剩10支。盒子里有多少支铅笔? 3. 吉林大道部分路段亮化改造。工人师傅如果每天修路260米,修完全长就得延长天;如果每天修路300米,修完全长得延长4天。这段路有多长? 【消元解盈亏】 小朋友分一些糕点和糖果,其中糕点是糖果的2倍。每人分5块糖果和9块糕点时,糖果刚好分完,还剩下8块糕点。问:有多少小朋友?糕点和糖果各有多少块? 【解析】 （1）倍数关系：糕点是糖果的2倍。则说明：糕点必须分出糖果数量的2倍时，则糖果和糕点恰好同时分完； （2）实际分配方式：糖果5块，糕点9块； 同时分完方式应是：糖果5块，糕点10块； （3）实际每次分配差额：糕点10-9=1（块）； （4）总差额：8块。理解为：每人少分1块，则余8块； （5）分配份数（小朋友数量）：8÷1=8（人） （6）糖果:5×8=40(块) 糕点:40×2=80(块) 【详解】 8÷(5×2-9)=8(人) 糖果:5×8=40(块) 糕点:40×2=80(块) 答:小朋友有8人,糕点有80块，糖果有40块。 【总结】相同数量的人分配两种物品时,根据这两种物品间的倍数关系,先求出人数(份数),再求出总数。 (1)相同数量的人分配两种物品时,如果其中正好有一种物品被分完,根据这两种物品间的倍数关系,先求出人数(份数),再求出总数； (2)相同数量的人分配两种物品时,如果两种物品都没有分完,通过这两种物品间的倍数关系,把分配两个物品转化成分配一种物品的盈亏问题,然后根据总差额和分配差求出参与分配的人数。 1. 有若于个苹果和橘子,其中苹果的个数是橘子的3倍。如果每天吃2个橘子和5个苹果,子吃完时还剩 20个苹果。原来有多少个橘子和多少个苹果? 2. 雷锋小队拿一篮子苹果和白梨去敬老院慰问老人。每次从篮子里取出2个白梨。个草果送给老人,最后剩下11个苹果,白梨正好分完。这时,队长突然想起原来果的个数是白梨个数的3倍。你知道原来篮子里多少个苹果?有多少个白梨吗” 3. 某果树专业队上山植果树,所带的苹果树苗是橘子树苗的3倍。如果橘子树苗每人栽3棵,还余2棵;苹果树苗每人栽10棵,则少6棵。那么该果树专业队有多少人?要裁多少棵苹果树和橘子树? 【条件转化型】 少先队员植树。如果每人种5棵树,还多3棵树；如果其中2人每人种4棵,其余每人种6棵,就恰好种完。少先队员有多少人?树有多少棵? 【解析】 （1）转化条件：如果其中2人每人种4棵,其余每人种6棵,就恰好种完。转化为：每人统一都种6棵，则前面2人共少种2×（6-4）=4（棵）； （2）盈：每人种5棵树,还多3棵树； 盈：每人种6棵树,还少4棵树； （3）种树棵数差额：每人多种6-5=1（棵），则一共可以多种4+3=7（棵） （4）少先队员人数：7÷1=7（人） （5）总棵数：5×7+3=38（棵） 【详解】 少先队员人数：[3+2×（6-4）]÷（6-5）=7（人） 树的棵数：5×7+3=38（棵） 【总结】当其中一种分配方式每人分得数量没有统一时，应该先把每份的数量转化为相同数量后，再利用盈亏问题基本公式进行解决问题。 1. 四年级学生出去划船。老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐。安排时发现有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方坐，请问：一共有多少学生? 2.妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？ 3.队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？ 【井深型盈亏问题】 用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳对折后垂到井水面,绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面,绳子超过井台2米。求绳长和井深。 方法一： 【解析】 （1）绳子对折即把绳子分成2份测量井深，每份余9米，则一共多9×2=18（米）；绳子三折即把绳子分成三份量井深，每份余2米，一共多2×3=6（米）； （2）盈：2份测量多18米， 盈：3份测量多6米； （3）井深：（18-6）÷（3-2）=12（米） 绳长：（12+9）×2=42（米） 【详解】 井深：（2×9-3×2）÷（3-2）=12（米） 绳长：（12+9）×2=42（米） 方法二： 【解析】两次测量的每折总差额是：9-2=7（米），对应的分率的差额是：-，那么绳长是：7÷（-）＝42米，井深是：42÷2-9=12米；据此解答。 【详解】 绳子长：（9－2）÷（-）（理解为：绳子长度的比绳子长度的长7米） ＝7÷ ＝42（米） 井深：42÷2-9=12（米）； 答：这根绳长42米，井深12米。 【总结】 （1）盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数； （2）基本关系式为：总差额÷每份的差额=总份数。 1.用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米到井口，那么井深多少米？绳长多少米？ 2. 用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳对折后垂下到井水面，绳子超过井台9米，把绳子三折后垂下到井水面，绳子超过井台3米，求绳长和井深(用方程解) 3. 用一根绳子去测一口井的深度,把绳子三折后去测量,井口外余下三米,把绳子四折后去测,井口外余下一米,问这口井深多少米?这根绳子长多少米? 【行程型盈亏问题】 一个通讯员骑自行车送紧急文件到某地。如果每小时行12千米，就要迟到15分钟，如果每小时行15千米，就能提前5分钟到达。通讯员去某地的路程是几千米? 解法一： 【解析】 15分钟=小时，5分钟=小时 ①如果每小时行12千米，就要迟到15分钟，假设按原时间到达，就的再行12×=3（千米）（亏） ②如果每小时行15千米，就能提前5分钟到达，则按原时间到达，就多行了15×=1.25（千米）（盈） ③再原定时间内，骑自行车的速度15千米/小时比速度12千米/小时多行了3+1.25=4.25千米； ④原定时间=4.25÷（15-12）=（分钟）； ⑤全程：15×（-）=20千米。 列式：15分钟=小时，5分钟=小时 （12×+15×）÷（15-12）=（分钟） 15×（-）=20千米 解法二： 【解析】 ①15分钟=小时，5分钟=小时 ②解：设原定时间为x小时。 ③根据路程不变列出方程式： 12×（x+）=15×（x-） ④解得x= ⑤全程：15×（-）=20（千米） 1.某段路程,以每分钟80米的速度前进,可以提早15分钟到达。如果以每分钟60米的速度前进,就要迟到5分钟。那么预定几分钟到达?这段路程长多少米? 2.小聪明第一天从家到学校时,每分钟行120米,结果早到了4分钟,第二天以每分钟80米的速度行走,结果晚到了4分钟,第三天想准时到校每分钟应该行多少米? 3.张宇上午7时20分从家里出发到校上课。如果每分钟走50步，离上课还有7分钟；如果每分钟走35步，就要迟到5分钟。求学校的上课时间。 【利润型盈亏问题】 某商场在促销活动中，将一批商品降价处理。如果减去定价的12%出售，那么可以盈利170元；如果减去定价的20%出售，那么亏损150元。此商品的购入价是多少元？ 方法一： 【解析】 ①减去定价的12%出售，那么可以盈利170元：表示售价是定价的1-12%=88%；售价高于成本价170元；（降价12%） ②减去定价的20%出售，那么亏损150元。表示售价是定价的1-20%=80%；售价低于成本价150元；（降价20%） ③盈亏问题：定价的88%比定价的80%多8%（多降价20%-12%），多170+150=320元； ④求出定价：320÷8%=4000（元），再求出成本价。 ⑤列式：定价为（170+150）÷（20%-12%）=4000（元）；成本价为4000×（1-20%）+150=3350（元） ⑥答：此商品的购入价是3350元。 方法二：方程法。 不管怎样销售，商品的成本价是不变的，由此可以列出方程。 【解析】 解：设定价是x元，由题意得: (1-12%)x-170=(1-20%)x+150 解得:x=4000 成本价为4000×（1-20%）+150=3350（元） 1.某商场在十一促销期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，那么可盈利215元；如果减去定价的20%出售，那么亏损125元。此商品的购入价是多少元？ 2.一件商品随季节变化降价出售，如果按定价降价10%，可获利360元;如果按定价降价 20%，就要亏损480元。这种商品的进价是多少元？ 3.甲、乙两件商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来两件商品都按定价打九折出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本。 【工程型盈亏问题】 晶晶读一本故事书，原计划若干天读完。如果每天读11页，可以比原计划提前2天读完；如果每天读13页，可以比原计划提前4天读完。求原计划多少天读完？这本书共有多少页？ 【解析】 （1）已知如果每天读11页，可以比原计划提前2天读完，这就是说，如果继续读2天的话，还可以多读11×2=22页； （2）又知如果每天读13页，可以比原计划提前4天读完，这就是说，如果继续读4天的话，还可以多读13×4=52页。 （3）两种情况，虽然都可以多读，但是它们之间有差别。就是说，在一定的日期之内，第二种方法比第一种方法多读52-22=30页。 （4）为什么能多读30页呢？就是因为每天多读（13-11=）2页。由于每天多读2页，结果一共可以多读30页。再求出读的天数即可。 【详解】 （1）原计划多少天读完这本书？ 　　（13×4-11×2）÷（13-11） 　　=（52-22）÷2 　　=30÷2=15（天） 　（2）这本书共有多少页？ 　　11×（15-2） 　　=11×13=143（页） 　　答：这本书共143页，原计划15天读完。 1.春节马上要到了,小明爸爸是个工匠师傅,他想亲手制作一批小玩具去集市上卖,如果每小时制作18个可比计划提前6小时完成;如果每小时制作15个,可比计划提前3小时完成。问:爸爸计划制作多少个小玩具? 2.蓓蕾童装厂,原计划每天生产132套服装,实际每天生产167套,这样就比原计划少用3天,而且还比原计划多生产了24套。这个童装厂实际生产了多少套童装? 3.李师傅做一批零件,如果平均每天做24个,将比计划推迟1天完成,如果他平均每天做40个,将比计划提前1天完成,为了按计划完成,他平均每天要做多少个零件? 满分：100分 时间：60分钟 1.有一堆螺丝和螺母,若1个螺丝配2个螺母,则多10个螺母;若1个螺丝配3个螺母,则少6个螺母。问:螺丝、螺母各多少个? 2.明明拿一根绳子在一个圆柱上绕，绕了2圈时，绳子还余 2.86米,但要绕5圈还差1.85米。问:这根绳子多长?圆柱的直径是多少?(π=3.14) 3.锅炉房今年冬天计划烧若干天暖气，现存的煤如果按每天用5.5吨计算则可剩余90吨煤,如果按每天用6吨计算则可剩余30吨。问:现存煤有多少吨? 4.甲、乙两人的信纸一样多,信封也一样多。甲写1封信用1张信纸,乙写1封信用3张信纸。结果甲的信封用完时还剩50张信纸,乙的信纸用完时还剩50个信封。原来他们各有信封多少个?信纸多少张? 5.甲、乙两种商品的单价分别为12元和14元，采购员带的钱买甲种商品比买乙种商品可多买3个，并且没有剩余的钱。问:采购员带了多少钱? 6.钢笔与圆珠每支相差1.20元，小明带的钱买5支钢笔差1.50元,买8支圆珠笔多0.60元。小明带了多少钱? 7.有若千个苹果和梨。如果按每1个苹果2个梨分堆，那么梨分完时还剩5个苹果;如果按每3个苹果5个梨分堆,那么苹果分完了还剩5个梨。问:苹果和梨各有多少个? 8.水果店运来的西瓜个数是哈蜜瓜个数的4倍,如果天卖130个西瓜和 36个哈蜜瓜，那么哈蜜瓜卖完后还剩下70个西瓜。问:水果店运来的西瓜和哈蜜瓜共多少个? 9.妈妈给了红红一些钱去买贺年卡,有甲、乙、丙三种贺年卡,甲种卡每张0.50元,丙种卡每张1.20元。用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张。妈妈给了红红多少钱?乙种卡每张多少钱? 10.小强买来橘子和苹果,橘子是苹果个数的3倍。苹果每人分2个少1个;橘子每人分个多5个。小强家有几口人?买了多少个苹果和橘子? 11.悦悦每天早晨7点30分从家出发上学去，如果每分钟走45米，则迟到4分钟到校；如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校。求从家出发需要走多少分钟才能准时到校？悦悦的家离学校有多少米？ 12.幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果 【巩固提升】参考答案 1.学校给参加夏令营的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车,若每辆车乘32人，则还有3个空座。问:有多少名同学?多少辆车? 【解析】 由题意，可以设租了x辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，则总人数可表示为28x+13，若每辆车乘32人则还有3个空座，则总人数又可表示为32x-3，根据总人数不变列出方程解答即可. 【详解】 解：设租了x辆大轿车。 28x+13=32x-3   4x=16    x=4 28×4+13=125（名） 答：有125名同学。 2.全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐9人;如果增加一条船,那么每条船正好坐6人。问:全班有多少人? 【解析】列方程解决 【详解】 解：设有x条船，那么根据题意列出方程为： 9(x－1)＝6(x＋1) 解出x＝5， 也就是有5条船，那么人数是9×(5－1)＝36(人) 3.有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下32块；如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49块。这批砖原有多少块？ 【解析】 改拼成一个每边比原来多一块的正方形，缺49块，所以32+49=81（块）正好拼满； 在首次拼成的大正方形的相邻两边周围，再减去相邻两边1个角上的地砖，等于首次拼成的大正方形边长的2倍，所以首次拼成的大正方形每边地砖数：（32+49-1）÷2=40（块）。这批砖共有40×40+32，计算解决问题． 【详解】 原大正方形每边地砖有： （32+49-1）÷2 =80÷2 =40（块） 这批砖原来有： 40×40+32 =1600+32 =1632（块） 答：这批砖原来有1632块． 【总结】解决此题的关键是求出首次拼成的大正方形每边地砖数，然后求出这批砖的数量。 1.有一堆梨要装人若干个箱子里。如果每个箱子装35个,则还缺25个;如果每个子装 40个,则还缺50个。问一共有多少个箱子?有多少个梨? 【解析】 每个箱子装35个，还缺25个，假设有x个梨，那么可列等式 = ，然后解出x即可，通过梨的数量求出箱子的数量。 通过列一元一次方程解答这道题，通过题意找到两个等量关系，一个是箱子的数量是一定的，梨的数量是固定的，据此设梨的数量是x，用箱子的数量列等式即可。 【详解】 解：设有x个梨。 = x＝150 (150＋25)÷35＝5(个) 答：一共有5个箱子，150个梨。 2.盒子里有若干支铅笔。取相同的次数,如果每次取9支,则剩下28支;如果每次取11支,则剩10支。盒子里有多少支铅笔? 【解析】 每次取铅笔差距：11-9=2（支）； 剩余铅笔差距：28-10=18（支）； 取铅笔次数：18÷2=9（次）； 盒子里铅笔总数：9×9+28=81+28=110（支）； 答：盒子里有110支铅笔。 【详解】 (28-10)÷(11-9)=9(次) 9×9+28-109(支) 或11x9+10=109(支) 3.吉林大道部分路段亮化改造。工人师傅如果每天修路260米,修完全长就得延长天;如果每天修路300米,修完全长得延长4天。这段路有多长? 【解析】 （1）每天修260米，多用8天，多修：260×8=2080（米） （2）每天修300米，多用4天，多修：300×4=1200（米） （3）原计划修完需要的天数：(2080-1200)÷(300-260)=22（天） （4）路的全长：300×(22-4)=5400（米） 答：这段吉林大道的路长是5400米。 1.有若于个苹果和橘子,其中苹果的个数是橘子的3倍。如果每天吃2个橘子和5个苹果,子吃完时还剩 20个苹果。原来有多少个橘子和多少个苹果? 【解析】考点：差倍问题苹果的个数是桔子的3倍，每人实际分得的苹果是桔子的5÷2=2.5倍，剩下11个苹果正好是桔子的3-2.5=0.5倍，然后再根据差倍公式进一步解答。 【详解】 11÷（3-5÷2） =11÷（3-2.5） =11÷0.5 =22（个）； 22×3=66（个） 答：筐中原有苹果66个，桔子22个。 【总结】本题关键是原来与实际苹果与桔子的倍数差，然后再根据差倍公式进一步解答。 2.雷锋小队拿一篮子苹果和白梨去敬老院慰问老人。每次从篮子里取出2个白梨。个草果送给老人,最后剩下11个苹果,白梨正好分完。这时,队长突然想起原来果的个数是白梨个数的3倍。你知道原来篮子里多少个苹果?有多少个白梨吗？ 【解析】 由苹果是梨的3倍，假设每次拿出的苹果是梨的3倍即每次从篮里取出2个梨、2×3=6个苹果送给老人，则苹果可以刚好分完．由于每次少拿了1个苹果，才最后剩下13个苹果，由此可求出老人人数就是：13÷（6-5）=13（人），苹果数量是：13×5+13=78（个），梨的数量是：13×2=26个． 【详解】 老人人数是：13÷（2×3-5）=13（人） 苹果数量是：13×5+13=78（个） 梨的数量是：13×2=26（个） 答：篮子里原有苹果和梨各78个、26个。 【总结】解答此题的关键是根据苹果的个数是梨的3倍，可知每次从篮里取出2个梨、6个苹果送给老人时，才正好同时分完。分时每每次从篮里少取1个，就剩13个，正好求出老人人数，即可解答问题。 3.某果树专业队上山植果树,所带的苹果树苗是橘子树苗的3倍。如果橘子树苗每人栽3棵,还余2棵;苹果树苗每人栽10棵,则少6棵。那么该果树专业队有多少人?要裁多少棵苹果树和橘子树? 【解析】 人数：(6+2×3)÷(10-3×3)=12(人) 橘子：12×3+2=38(棵) 苹果：12×10-6=114(棵) 答：一共12人，38棵橘子树和114棵苹果树。 1.四年级学生出去划船。老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐。安排时发现有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方坐，请问：一共有多少学生? 【解析】 解：设有x条船，则学生人数为6x+22人，依题意得 8(x-3)+6=6x+22 8x-18=6x+22 2x=40 x=20 总人数：6x+22=6×20+22=142(人) 2.妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元。已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？ 【解析】 因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6＝24（元），这样化成普通的盈亏问题。 猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10（元） 小明妈妈带的钱数是：12×10＋4＝124（元）。 3.队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？ 【解析】 这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成每人挖6个树坑，形成统一的标准。那么它就相当于每人挖6个树坑，就要差（6-4）×2=4个树坑。这样，盈亏总数就是3+4=7，所以，有少先队员7÷（6-5）=7名，共挖了5×7+3=38个坑。 【详解】 盈亏总数等于3+（6-4）×2=7（个） 少先队员有7÷（6-5）=7（名） 答：共挖了5×7+3=38个树坑。 1.用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米到井口，那么井深多少米？绳长多少米？ 【解析】 把绳三折，井外余2米，则绳子在井外的长度是3×2=6米，把绳四折，还差1米不到井口，则绳子还差4×1=4米与井深相同，就是绳4折比3折差了6+4=10米同井深一样长。 【详解】 井深： （3×2+4×1）÷（4-3） =（6+4）÷1 =10÷1 =10（米） 绳子长度：（10+2）×3=36（米） 答：井深10米，绳长36米 2. 用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳对折后垂下到井水面，绳子超过井台9米，把绳子三折后垂下到井水面，绳子超过井台3米，求绳长和井深(用方程解) 【解析】设井深为x米,根据题意列方程得: 2x+9×2=3x+3×2 解得:x=12 绳子长度： 12×3+2×3 =36+6 =42(米) 答:绳子的长度为42米，并深12米。 3. 用一根绳子去测一口井的深度,把绳子三折后去测量,井口外余下三米,把绳子四折后去测,井口外余下一米,问这口井深多少米?这根绳子长多少米? 【解析】 解：设这口井深x米。根据绳子长度相不变，列出方程为： 3x+3×3=4x+4×1 解得：x=5 绳长：3×5+3×3=24（米） 1.某段路程,以每分钟80米的速度前进,可以提早15分钟到达。如果以每分钟60米的速度前进,就要迟到5分钟。那么预定几分钟到达?这段路程长多少米? 【解析】 ①因为路程不变，使用方程解答 ②设预定x分钟到达。 80×(x-15)=60×(x+5) 80x-1200=60x+300 80x-60x=1200+300 20x=1500 x=75 ③这段路程长:80×(75-15)=4800(米) 2.小聪明第一天从家到学校时,每分钟行120米,结果早到了4分钟,第二天以每分钟80米的速度行走,结果晚到了4分钟,第三天想准时到校每分钟应该行多少米? 【解析】设小聪明从家出发离准时到校的时间为x分钟,等量关系:第一天的速度×第一天行的时间=第二天的速度×第二天行的时间。 【详解】 解:设小聪明从家出发离准时到校的时间为 x分钟。 120(x一4)=80(x+4) 120x-480=80x+320 120x-80x=480+320 40x=800 X=20 小聪明家到学校的路程: 120×(20-4)=1920(米) 第三天想准时到校每分钟应该行的米数: 1920÷20=96(米) 答:第三天想准时到校,每分钟应该行96米。 3.张宇上午7时20分从家里出发到校上课。如果每分钟走50步，离上课还有7分钟；如果每分钟走35步，就要迟到5分钟。求学校的上课时间。 【解析】这种盈亏问题的另一种比较常见的类型。 主要是在计算盈亏总数时必须注意量的单位的统一。这里，盈亏总数不是7+5=12分，而是7×50+5×35=525步。所以，准点到校用时为525÷（50-35）=35分钟。所以，上课时间是7点55分。 【详解】 准点到校的用时： （7×50+5×35）÷（50-35）=35分钟， 答：学校上课时间为7点55分。 1.某商场在十一促销期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，那么可盈利215元；如果减去定价的20%出售，那么亏损125元。此商品的购入价是多少元？ 【解析】 ①减去定价的10%出售，那么可以盈利215元：表示售价是定价的1-10%=90%；售价高于成本价215元；（降价10%） ②减去定价的20%出售，那么亏损125元。表示售价是定价的1-20%=80%；售价低于成本价125元；（降价20%） ③盈亏问题：定价的90%比定价的80%多10%（多降价20%-10%=10%），多215+125=340元； ④求出定价：340÷10%=3400（元），再求出成本价。 ⑤列式：定价为（215+125）÷（20%-10%）=3400（元）；成本价为3400×（1-20%）+125=2845（元） ⑥答：此商品的购入价是2845元。 2.一件商品随季节变化降价出售，如果按定价降价10%，可获利360元;如果按定价降价 20%，就要亏损480元。这种商品的进价是多少元？ 【解析】 设定价是x元，由题意得: (1-10%)x-360=(1-20%)x+480 解得:x=8400 进价:8400×(1-10%)-360=7200(元) 答：略 3.甲、乙两件商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来两件商品都按定价打九折出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本。 【解析】 200×(1+20%)÷90%-200=16（元） 甲成本：（17.7-16)-(30%-20%)-90%=130（元） 1.春节马上要到了,小明爸爸是个工匠师傅,他想亲手制作一批小玩具去集市上卖,如果每小时制作18个可比计划提前6小时完成;如果每小时制作15个,可比计划提前3小时完成。问:爸爸计划制作多少个小玩具? 【解析】 解:设计划的时间为z小时，根据题意可得 18×(x-6)=15x×(x-3) 18x-108=15r-45 3x=63 x=21 则计划制作(21-6)×18=270(个) 答:计划制作270个小玩具。 2.蓓蕾童装厂,原计划每天生产132套服装,实际每天生产167套,这样就比原计划少用3天,而且还比原计划多生产了24套。这个童装厂实际生产了多少套童装? 【解析】 设计划生产x天，那么计划生产的总数量是132x套；实际生产了（x-3）天，用实际生产的天数乘实际的工作效率就是实际的总数量，根据实际生产的总数量减去计划生产的总数量是24套，列出方程求出计划生产的天数，进而求出实际生产的天数和实际生产的套数． 【详解】 解：设计划生产了x天，由题意得： 167×（x-3）-132x=24   167x-501-132x=24      35x-501=24       35x=525        x=15 套数： （15-3）×167 =12×167 =2004（套） 答：这个童装厂实际生产了2004套童装。 【总结】本题先设出数据，根据工作量、工作时间和工作效率三者的关系，表示出实际和计划的工作量，再找出等量关系列出方程求解。 3.李师傅做一批零件,如果平均每天做24个,将比计划推迟1天完成,如果他平均每天做40个,将比计划提前1天完成,为了按计划完成,他平均每天要做多少个零件? 【解析】 每天做24个，迟一天完成，说明时间到时还有24个没有完成；每天做40个，提前一天完成，说明时间到时还可以多做40个，64个就是每天做24个和40个的差别； 所以规定时间为（24×1+40×1）÷（40-24）=4（天）； 有零件24×（4+1）=120（个），或40×（4-1）=120（个）； 按时完成每天做120÷4=30（个）。 【详解】 ①规定时间： （24×1+40×1）÷（40-24） =64÷16 =4（天） ②按时完成每天做个数： 24×（4+1）÷4 =120÷4 =30（个） 答：他平均每天要做30个零件。 【总结】此题属于盈亏问题，在本题中求出计划的天数，是解决问题的关键。 【经典测试】参考答案 1.有一堆螺丝和螺母,若1个螺丝配2个螺母,则多10个螺母;若1个螺丝配3个螺母,则少6个螺母。问:螺丝、螺母各多少个? 【解析】 由于第二次螺丝与螺母相配时，正好每个螺丝比第一次多1个螺母．两次螺母数量差为10+6=16（个），每一个螺丝匹配的螺母数量差为3-2=1（个），所以两次相配所需的螺母数量的差就是螺丝的数量。 【详解】 （10+6）÷（3-2） =16÷1 =16（个） 答：共有16个螺丝。 【总结】此题运用的是盈亏问题的解法，根关系式“（盈数+亏数）÷两次分物数量差=分物份数”求出螺丝数量。 2.明明拿一根绳子在一个圆柱上绕，绕了2圈时，绳子还余 2.86米,但要绕5圈还差1.85米。问:这根绳子多长?圆柱的直径是多少?(π=3.14) 【解析】 由题意可知：5圈比2圈要多用2.86+1.85=4.71米，所以每圈为4.71÷3=1.57米，根据圆的周长公式：c=πd，即可求出圆柱的底面直径，则绳子长1.57×2+2.86=6米，据此解答。 【详解】圆柱的底面周长： （2.86+1.85）÷3 =4.71÷3 =1.57（米） 绳长：1.57×2+2.86 =3.14+2.86 =6（米） 圆柱的底面直径：1.57÷3.14=0.5（米） 答：绳长6米，圆柱的底面直径是0.5米。 【总结】此题主要考查圆的周长公式的实际应用。 3.锅炉房今年冬天计划烧若干天暖气，现存的煤如果按每天用5.5吨计算则可剩余90吨煤,如果按每天用6吨计算则可剩余30吨。问:现存煤有多少吨? 【解析】 本题可用方程求解，找到等量关系是解答本题的关键。 根据题意可知：不管怎样烧，用的每的总吨数不变，烧的天数是一样的； 设共烧了x天，则可分别表示出煤的总数，令其相等，即可列出方程5.5x+90=6x+30，解出x的值，即可求出煤的总数。 【详解】 解：设一共烧了x天，根据题意得： 5.5x+90=6x+30 解得x=120， 则5.5x+90=750（吨） 答：现存的煤有750吨。 4.甲、乙两人的信纸一样多,信封也一样多。甲写1封信用1张信纸,乙写1封信用3张信纸。结果甲的信封用完时还剩50张信纸,乙的信纸用完时还剩50个信封。原来他们各有信封多少个?信纸多少张? 【解析】 解：设甲有x个信封，则甲有x+50张信纸，乙用x-50个信封，用3(x-50)张信纸。 因为甲、 乙两人的信纸一样多。列出方程为： x+50=3(x-50), 2x=200 x=100, 信纸数量：100+50=150（张） 答：甲和乙各有100个信封，150张信纸。 5.甲、乙两种商品的单价分别为12元和14元，采购员带的钱买甲种商品比买乙种商品可多买3个，并且没有剩余的钱。问:采购员带了多少钱? 【解析】 解：设采购员买乙种商品x个，则甲种商品为(x+3)个。由题意可得： 12(x+3)=14 x=18 14×18=252(元) 答:采购员带了252元钱。 6.钢笔与圆珠每支相差1.20元，小明带的钱买5支钢笔差1.50元,买8支圆珠笔多0.60元。小明带了多少钱? 【解析】 设每支钢笔x元，那么每支圆珠笔就是x-1.2元，根据总价=数量×单价，分别求出5支钢笔和8支圆珠笔的总价，再根据需要的钱数相等列方程，求出钢笔的单价，最后根据小明带的钱数=5支钢笔总价-1.5元即可解答。 【详解】 解：设每支钢笔x元，根据题意得： 5x-1.5=8×（x-1.2）+0.6 5x-1.5=8x-9.6+0.6 5x-1.5+9=8x+-9+9 5x+7.5-5x=8x-5x    7.5=3x  7.5÷3=3x÷3    x=2.5 小明： 5×2.5-1.5 =12.5-1.5 =11（元） 答：小明带了11元。 7.有若千个苹果和梨。如果按每1个苹果2个梨分堆，那么梨分完时还剩5个苹果;如果按每3个苹果5个梨分堆,那么苹果分完了还剩5个梨。问:苹果和梨各有多少个? 【解析】 此题可理解为：当剩余的5个苹果分完,还欠10个梨；这样按3个苹果6个梨的话就也欠10个梨,现只按3个苹果5个梨分,多出了5个梨；依题可得： （5+10）÷（6-5）=15（组） 苹果有：3×15=45（个） 梨有：5×15+5=80（个） 8.水果店运来的西瓜个数是哈蜜瓜个数的4倍,如果天卖130个西瓜和 36个哈蜜瓜，那么哈蜜瓜卖完后还剩下70个西瓜。问:水果店运来的西瓜和哈蜜瓜共多少个? 【解析】解答此题应设出一共卖了x天，x天后，西瓜卖了130x个，哈密瓜卖了36x个，然后根据：运来的西瓜个数是哈蜜瓜个数的4倍，列出方程：4×36x=130x+70，求出一共卖的天数，进而分别求出西瓜和哈密瓜的个数。 【详解】 解：设一共卖了x天。 4×36x=130x+70   144x=130x+70    14x=70      x=5 西瓜：130×5+70=720（个） 哈密瓜：36×5=180（个） 答：水果店运来西瓜720个，哈蜜瓜有180个。 【总结】设出一共卖了x天，根据题意，找出数量间的关系式，然后列出方程，解答求出一共卖的天数，是解答此题的关键。 9.妈妈给了红红一些钱去买贺年卡,有甲、乙、丙三种贺年卡,甲种卡每张0.50元,丙种卡每张1.20元。用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张。妈妈给了红红多少钱?乙种卡每张多少钱? 【解析】 钱数相同，则数量和单价成反比;用这些钱能买甲种卡或内种卡的数量比为 1.20:0.5=12:5 已知，用这些钱买甲种卡要比买丙种卡多:8+6=14（张） 可得:用这些钱能买甲种卡 14÷(1-)=24张； 所以，妈妈一共给红红:0.5×24=12元，用这些钱能买乙种卡 24-8=16 张，由此求得结论。 【详解】 解:1.20:0.5=12:5,8+6=14 （张） 14÷(1-) =24(张) 24×0.5=12(元) 12÷(24-8) =12÷16, =0.75(元) 答:妈妈给红红12元钱，乙种卡每张0.75元。 【总结】此题考查了整数、小数的复合应用。 10.小强买来橘子和苹果,橘子是苹果个数的3倍。苹果每人分2个少1个;橘子每人分个多5个。小强家有几口人?买了多少个苹果和橘子? 【解析】 苹果每人分2个多1个，橘子是苹果的三倍，也就是说：如果橘子每人分6个多3个； 再和剩下的条件联系起来就简单多了，变成了一个盈亏问题， 【详解】 前后共相差：5+3=8个橘子 前后共相差：8-6=2个人 则共有8÷2=4人 则有苹果：4×2+1=9个 橘子：8×4-5=27个 11.悦悦每天早晨7点30分从家出发上学去，如果每分钟走45米，则迟到4分钟到校；如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校。求从家出发需要走多少分钟才能准时到校？悦悦的家离学校有多少米？ 【解析】 已知如果悦悦每分钟走45米，则迟到4分钟，这就是说，按照规定到校的时刻来说，还距离学校有45×4=180米的路； 又知如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校，这就是说，到校之后还可以多走出75×4=300米的路。这样，一个慢一个快，在同样时间之内，速度快要比速度慢多走出180+300=480米的路。又知每分钟多走75-45=30米。总之，由于每分钟多走30米，一共多走出480米；因此，从家到学校所需要的时间就可以求出来了，随之，悦悦的家距离学校的米数也可以求出来了。 【详解】 　　（1）准时到校需要多少分钟？ 　　（45×4+75×4）÷（75-45） 　　=480÷30 　　=16（分钟） 　　（2）悦悦家与学校距离多少米？ 　　45×16+45×4 　　=720+180 　　=900（米） 　　答：准时到校需要16分钟，悦悦家离学校900米。 12.幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果共有多少个？ 【解析】 分给大班的小朋友每人5个则余10个，大班比小班多3个小朋友，相当于分给小班的小朋友每人5个则余10+3×5=25个，盈亏总数=25+2=27，小班人数=27÷（8-5）=9人，苹果有9×5+25=70个。 【详解】 人数：（25+2）÷（8-5）=9（人） 苹果：9×5+25=70（个） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$