天津市河西区南开翔宇学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年天津市河西区翔宇中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分，请考生用2B铅笔将答案填涂在答题卡上） 1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．32，42，52 D．9，40，41 3．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（　　） A．36° B．144° C．108° D．126° 4．（3分）如图，钓鱼竿AB的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为2m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为，则CC′的长为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，点E，F分别是BC、BD的中点，若AB＝8，则EF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，添加选项中的条件后不能判定四边形BFDE是平行四边形的是（　　） A．BE∥DF B．BE＝DF C．BF＝DE D．AE＝CF 7．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，▱ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 9．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°，则∠PFE的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 11．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d，且c＜a＜d＜b．若a＝2，b+c＝12．则下列判断错误的是（　　） A．d＝10 B．BD2＝12 C．四边形ABCD的面积是24 D．AD＜BC 12．（3分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝CD；④ED⊥BD；⑤AE2+AD2＝2AC2．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题3分，共18分，请考生将答案填写在答题纸上） 13．（3分）设n为正整数，若n＜＜n+1，则n的值为 　 　． 14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 　 　． 15．（3分）如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是　 　cm． 16．（3分）已知a+b＝﹣5，ab＝1，则b+a的值为　 　 17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝OB，点E，点F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，，则线段BC的长为 　 　． 18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，CF＝BE，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则PM+PN的最小值为 　 　． 三、解答题 19．（6分）（1）计算：2（）+． （2）先化简，再求值：（a﹣1+）÷（a2+1），其中a＝． 20．（7分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长． 21．（7分）某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度CE： （2）如果小明想风筝沿CD方向再上升4米，则他应该再放出多少米线？ 22．（8分）小明遇到这样一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求△ABC的面积． 小明是这样解决问题的：如图1，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形ABC（即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解决问题的方法，解答下列各题： （1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图②中画出三边长分别为，2，的格点三角形DEF； ②计算①中△DEF的面积为 　 　.（直接写出答案） （2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF． ①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由． ②若PQ＝，PR＝，QR＝3，直接写出六边形AQRDEF的面积为 　 　． 23．（8分）如图1，已知矩形ABCD，点E是边CD上一点，点F是CB延长线上一点，且BF＝DE，AF⊥AE． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）如图2，在（1）的条件下，若CD＝3DE＝6，点G是边AD上一点，连结CG交AE于点H，有∠AHG＝45°，求CG． 24．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D为平面内一点，连接DB、DC，∠BDC＝120°． （1）如图①，当点D在BC下方时，连接AD，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE． ①求证：△ABD≌△ACE； ②如图②，过点A作AF⊥DE于点F，直接写出线段AF、BD、DC间的数量关系； （2）若，DC＝12，直接写出点A到直线BD的距离． 2023-2024学年天津市河西区翔宇中学八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D A A B C B D B C 题号 12 答案 C 一、选择题（每小题3分，共36分，请考生用2B铅笔将答案填涂在答题卡上） 1．【解答】解：A．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．是最简二次根式，故本选项符合题意； C．＝＝2，的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．【解答】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； B、，，不都是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； C、∵（32）2+（42）2＝81+256＝337，（52）2＝625， ∴（32）2+（42）2≠（52）2， ∴本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； D、∵92+402＝81+1600＝1681，412＝1681， ∴92+402＝412， ∴正整数9，40，41是勾股数，符合题意； 故选：D． 3．【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC， ∵∠1＝∠B′AC+∠DCA， ∴∠1＝2∠BAC＝36°， ∴∠BAC＝18°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°， 故选：D． 4．【解答】解：由题意可得：AB′＝AB＝6m，BC＝2m， 则AC＝＝＝4（m）， AC′＝＝＝3（m）， 故CC′的长为：AC﹣AC′＝4﹣3＝（m）． 故选：A． 5．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AB＝8， 则CD＝AB＝×8＝4， ∵点E，F分别是BC，BD的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝CD＝2， 故选：A． 6．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵BE∥DF， ∴四边形BFDE是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 由BE＝DF，不能判定四边形BFDE是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵BF＝DE， ∴四边形BFDE是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 7．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°， ∵AB＝2，∠ABE＝45°， ∴AE＝AB＝2， ∴BE＝＝2， ∵AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵EC平分∠BED， ∴∠BEC＝∠DEC， ∴∠BEC＝∠ECB， ∴BC＝BE＝2， ∴AD＝2， ∴DE＝AD﹣AE＝2﹣2， 故选：C． 8．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O， ∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF＝5，AE＝CF， ∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB， ∵▱ABCD的周长为30， ∴2AB+2CB＝30， ∴AB+CB＝15， ∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25， ∴四边形ABFE的周长是25， 故选：B． 9．【解答】解：∵点P是BD的中点，点E是AB的中点， ∴PE是△ABD的中位线， ∴PE＝AD，PE∥AD， ∴∠EPD＝180°﹣∠ADB＝80°， 同理可得，PF＝BC，PF∥BC， ∴∠FPD＝∠CBD＝30°， ∴∠EPF＝∠EPD+∠FPD＝110°， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠PFE＝×（180°﹣110°）＝35°， 故选：D． 10．【解答】解：连接BH，如图所示： 根据作图可知，EF垂直平分AB， ∴BH＝AH，AD＝BD， ∵△ABC为直角三角形， ∴， ∴CG＝CD＝5cm， 根据勾股定理得：， ∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm）， 设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm， 根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2， 即62+（8﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 故选：B． 11．【解答】解：如图，连接BD， 根据题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝DC2，d＝AD2， ∵c＜a＜d＜b， ∴AD＜BC，故选项D正确，不符合题意； 在Rt△ABD与Rt△BCD中， ∵BD2＝AB2+AD2，BD2＝DC2+BC2， ∴a+d＝b+c， ∵a＝2，b+c＝12， ∴d＝10，故选项A正确； ∴BD2＝a+d＝12，故选项B正确； ∵， ∴，即， ∵a＝2，d＝10， 同理， ∴， 6＜24， 故选项C不正确，符合题意， 故选：C． 12．【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°， ∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， 所以①正确，符合题意； ∵∠DAC＝∠E+∠ACE， 即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE， ∵∠BAC＝∠E＝45°， ∴∠DAB＝∠ACE， 所以②正确，符合题意； ∵AE+AC＞CE，CE＝CD， ∴AE+AC＞CD， 所以③错误，不符合题意； ∵△ACE≌△BCD， ∴∠BDC＝∠E＝45°， ∵∠CDE＝45°， ∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°， ∴ED⊥BD， 所以④正确，符合题意； ∴△ADB是直角三角形， ∴AD2+BD2＝AB2， ∵△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD， ∴AD2+AE2＝AB2， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB2＝2AC2， ∴AE2+AD2＝2AC2， 故⑤正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分，请考生将答案填写在答题纸上） 13．【解答】解：∵1＜＜2， ∴n＝1， 故答案为：1． 14．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB， ∴D′F＝BF， 设D′F＝x，则AF＝8﹣x， 在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42， 解之得：x＝3， ∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5， ∴S△AFC＝•AF•BC＝10． 故答案为：10． 15．【解答】解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得： c2＝a2+b2，故：c＝＝＝13cm，h＝24﹣13＝11cm． 16．【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1， ∴a＜0，b＜0， ∴b+a＝﹣﹣ ＝﹣（+） ＝﹣ ＝﹣23， 故答案为23． 17．【解答】解：设EF＝x， ∵点E、点F分别是OA、OD的中点， ∴EF是△OAD的中位线， ∴AD＝2x，AD∥EF， ∴∠CAD＝∠CEF＝45°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2x， ∴∠ACB＝∠CAD＝45°， ∵EM⊥BC， ∴∠EMC＝90°， ∴△EMC是等腰直角三角形， ∴∠CEM＝45°， 连接BE， ∵AB＝OB，AE＝OE， ∴BE⊥AO， ∴∠BEM＝45°， ∴BM＝EM＝MC＝x， ∴BM＝FE， ∵∠ENF＝∠MNB， ∴△ENF≌△MNB（AAS）， ∴EN＝MN＝x，BN＝FN＝4， Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2， ∴（4）2＝x2+， 解得x＝8或﹣8（舍）， ∴BC＝2x＝16． 故答案为：16． 18．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝∠ABC，AB＝BC， ∵CF＝BE， ∴△ABE≌△BCF， ∴∠CBF＝∠BAE， ∵∠CBF+∠ABF＝90°， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠AGB＝90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， 由等腰三角形三线合一的性质，可得BG＝MG， ∴点M关于AE的对称点为点B． 过点B作BN'⊥AM，交AE于点P'， 则PM+PN的最小值即为BN'的长． ∵正方形ABCD的对角线相互垂直且平分， ∴BN'＝AC， ∵AB＝BC＝6， ∴AC＝6， ∴BN'＝3． 故答案为：3． 三、解答题 19．【解答】解：（1）原式＝（2﹣5）+2 ＝2×+1 ＝﹣18+1 ＝﹣17； （2）原式＝ ＝ ＝， 当a＝时， 原式＝＝． 20．【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD＝BC＝EF， 又∵AD∥EF， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD为矩形； （2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形， ∴DF＝AE，AF＝DE＝2OE＝4， ∵AB＝3，DE＝4，BF＝5， ∴AB2+AF2＝BF2， ∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°， ∴S△ABF＝， ∴AB×AF＝BF×AE， 即3×4＝5AE， ∴AE＝， ∴DF＝AE＝． 21．【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256， 所以，CD＝16（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝16+1.62＝17.62（米）， 答：风筝的高度CE为17.62米； （2）如图所示：延长DC至M，连接BM， 由题意得，CM＝4米， ∴DM＝20米， ∴（米）， ∴米， ∴他应该再放出米． 22．【解答】解：（1）①如图所示： ②△DEF的面积为4×5﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×5＝8； 故答案为：8； （2）①如图3， △PEF的面积为6×2﹣×1×6﹣×1×3﹣×3×2＝， △PQR的面积为×3×3＝， ∴△PQR与△PEF面积相等； ②六边形AQRDEF的面积为（）2+++（）2＝13+9+10＝32． 故答案为：32． 23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABF＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠FAE＝90°， ∴∠EAD+∠BAE＝∠FAB+∠BAE＝90°， ∴∠FAB＝∠EAD， 在△ABF与△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（AAS）， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形； （2）解：过点A作AM∥CG交BC于点M，连接ME，如图所示： ∴∠MAE＝∠AHG＝45°， ∵∠FAE＝90°， ∴∠MAF＝90°﹣45°＝45°， ∵△ABF≌△ADE， ∴AF＝AE， 在△MAF和△MAE中， ， ∴△MAF≌△MAE（SAS）， ∴FM＝EM， 设BM＝x， ∵CD＝3DE＝6， ∴BC＝CD＝6，BF＝DE＝2， ∴EM＝FM＝2+x，CM＝6﹣x，CE＝4， ∵∠BCD＝90°， 根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（2+x）2， 解得x＝3， ∴BM＝3， ∵AB＝CD＝6， 根据勾股定理，得AM＝＝＝， ∵AM∥CG，AG∥CM， ∴四边形AMCG是平行四边形， ∴CG＝AM＝． 24．【解答】证明：（1）①∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵∠ABD+∠BDC+∠ACD+∠BAC＝360°，∠BDC＝120°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠ACE+∠ACD＝180°， ∴∠ACE＝∠ABD， 又∵AB＝AC，BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； ②∵△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝ED， ∵AF⊥DE，AD＝AE， ∴DF＝DE＝AD，∠DAF＝30°， ∴AF＝DF＝AD， ∵DE＝CD+CE＝CD+BD， ∴AF＝AD＝（CD+BD）； （2）如图②，若点D在BC下方时， ∵△ABD≌△ACE， ∴点A到直线BD的距离＝点A到直线CE的距离， 设DF＝x，则AF＝2x， ∵AC2＝AF2+CF2， ∴104＝6x2+（12﹣x）2， ∴x1＝8，x2＝﹣2（舍去）， ∴AF＝8， 如图3，若点D在BC上方时，过点C作CH⊥BD交BD延长线于H，过点D作DF⊥BC于F，过点A作AN⊥BD，交BD的延长线于N， ∵∠BDC＝120°， ∴∠CDH＝60°， ∵CH⊥BD， ∴∠DCH＝30°，CD＝12， ∴DH＝6，CH＝2，DH＝6， ∵BH＝＝＝10， ∴BD＝BH﹣DH＝4， ∵S△BDC＝BD×CH＝×BC×DF， ∴4×6＝4×DF， ∴DF＝， ∵∠BDC＝120°， ∴∠DBC+∠DCB＝60°， 又∵∠ABD+∠DBC＝60°， ∴∠ABD＝∠DCB， ∴sin∠ABD＝sin∠DCB＝， ∴ ∴AN＝2， 综上所述：点A到直线BD的距离为8或2． 学科网（北京）股份有限公司 $$