精品解析：江西省上饶市广信区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期八年级数学学科期末绿色评价试卷 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 2. 下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图有（ ）条对称轴． A. B. C. D. 无数 5. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知下列命题：两点之间线段最短；全等三角形的对应边相等；底角相等的两个等腰三角形全等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．其中真命题的个数为（ ）个． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在中，，则_______． 8. 如图所示，，其中与，与是对应顶点，则___________． 9. 一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是________． 10. 纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用，尺寸为几十至几百纳米．例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为0.000000052米．数据0.000000052用科学记数法表示为______． 11. 已知，，则______． 12. 若分式的值为整数，则非负整数的值为___________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 14. 如图， ，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 15. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）AB//DE． 16. 解方程． 17. 请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹） （1）在图1中画出线段的中垂线 （2）如图2，找一个格点C，以为腰，使为等腰三角形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： （1）； （2）； 19. 先化简，然后从，2，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值． 20. 如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题 题目：某商店准备购进甲乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 （1）解法一所列方程中的x表示 (填序号)，解法二所列方程中的x表示 (填序号): ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件 （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件? 22. 【综合与实践】图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． （1）根据图形可知，图2中，大正方形的边长为___________，阴影部分的面积为___________； （2）观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系； （3）根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知长方形的周长为，面积为，求这个长方形长与宽的差． 六、（本大题共一题，共12分） 23. （1）【问题】如图1，平分，，，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________________； （2）【探究】如图2，平分，，，求证：； （3）【应用】如图3，四边形中，，，，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期八年级数学学科期末绿色评价试卷 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示即可求解． 【详解】解：自行车支架一般都会采用如图的设计，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B ． 2. 下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意． 故选：D． 3. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、 是单项式，故该选项不符合题意； B 、是分式，故该选项符合题意； C、 是多项式，故该选项不符合题意； D 、是单项式，故该选项不符合题意． 故选B． 4. 下图有（ ）条对称轴． A. B. C. D. 无数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据圆和正方形的对称性即可求解，掌握圆和正方形的对称性是解题的关键． 【详解】解：由图形可知，该图形有条对称轴， 故选：． 5. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴原式， 故选：C． 6. 已知下列命题：两点之间线段最短；全等三角形的对应边相等；底角相等的两个等腰三角形全等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．其中真命题的个数为（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真命题、假命题．真命题指的是正确的命题，即如果命题的题设(条件)成立，那么结论一定成立；假命题则是指那些题设成立，但结论不成立的命题．解决本题的关键是根据真命题、假命题的定义进行判断． 【详解】解：两点之间线段最短，是真命题； 全等三角形的对应边相等，是真命题； 底角相等的两个等腰三角形全等，两个底角相等的等腰三角形形状相同，大小不一定相同，不一定是全等三角形，所以这是一个假命题； 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是真命题． 一共有个真命题． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在中，，则_______． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和定理．利用三角形的内角和等于180度即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：110． 8. 如图所示，，其中与，与是对应顶点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形书写时各对应顶点应在相应位置，可由此准确地找到对应关系． 【详解】解：∵，且与，与是对应顶点， ∴． 故答案为：． 9. 一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是________． 【答案】浙A7936 【解析】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是找到对称轴，进而得出相应的结果． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可知图中所示车牌号应为浙A7936， 故答案为：浙A7936． 10. 纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用，尺寸为几十至几百纳米．例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为0.000000052米．数据0.000000052用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得出答案． 这里． 【详解】 故答案为： 11. 已知，，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．根据，结合，，进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：20． 12. 若分式的值为整数，则非负整数的值为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查分式的求值问题，由分式的值为整数，可得可以为、、、，据此可以得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴可以为、、、， ∴可以为、、、， ∴非负整数的值为或或． 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用， （1）转化成，根据平方差公式展开，即可求出答案； （2）转化成，根据完全平方公式展开，即可求出答案； 解题的关键是掌握：完全平方公式：、平方差公式： 【小问1详解】 解：： ； 【小问2详解】 ． 14. 如图， ，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和，平行线的判定， （1）在中，由，再代入数据计算即可； （2）先得出，再根据平行线的判定即可得证； 解题的关键是掌握：三角形的内角和为、同旁内角互补，两直线平行． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 即的度数为； 【小问2详解】 略 15. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）AB//DE． 【答案】 解：（1）∵BE=CF， ∴BE+EC=EC+CF， 即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． （2）∵△ABC≌△DEF， ∴∠B=∠DEF， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）． 【解析】 【详解】（1）用边边边证明两个三角形全等即可； （2）利用全等三角形的性质及平行线的判定即可证明. 略 16. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先找出最简公分母，去分母后求出的值，然后检验确定分式方程的解即可．解题的关键：通过去分母把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根． 【详解】解：方程两边同时乘，得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴原分式方程的解是． 17. 请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹） （1）在图1中画出线段的中垂线 （2）如图2，找一个格点C，以为腰，使为等腰三角形． 【答案】（1） 解：如图所示，直线即为所作； ∵， ∴直线是线段的中垂线． （2） 解：如图，点C即为所作； ∵， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，中垂线的判定、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）取格点，作直线即可； （2）根据等腰三角形的性质，构造边长为的线段即可找出点C； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； 【小问2详解】 ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 19. 先化简，然后从，2，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值． 【答案】，取，原式 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时,分式无意义， 当时,原式． 20. 如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴； （2） 解：当时，点E在的平分线上，理由如下： 连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵）， ∴， ∴平分， ∴点E在的平分线上． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质推出，，由判定，推出； （2）由，推出，由等腰三角形的性质推出平分，得到点E在的平分线上． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题 题目：某商店准备购进甲乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 （1）解法一所列方程中的x表示 (填序号)，解法二所列方程中的x表示 (填序号): ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件 （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件? 【答案】（1）①，③ （2）甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元 （3）至多购进甲种商品12件 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择解法一，设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元，根据用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；选择解法二：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，甲种商品每件进价为元，乙种商品每件进价为元，根据甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，列出方发出，解方程即可； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，求解a的范围，可得答案． 【小问1详解】 解：由甲商品数量=乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价乙商品进价=20可得：中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； 【小问2详解】 解：如下两种解答中选择其中一种即可． 若选择“解法一”，过程如下： 解：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元， 由题意得：， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 若选择“解法二”，过程如下： 解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件， 由题意得： ， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 【小问3详解】 解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意，得， 解得， 答：至多购进甲种商品12件． 22. 【综合与实践】图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． （1）根据图形可知，图2中，大正方形的边长为___________，阴影部分的面积为___________； （2）观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系； （3）根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知长方形的周长为，面积为，求这个长方形长与宽的差． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景， （1）根据图2可得出大正方形的边长和阴影部分的正方形的边长，可得结论； （2）根据图形各个部分面积之间的和差关系即可得出结论； （3）设这个长方形的长为，宽为，则，，利用（2）中的结论，将数据代入然后进行计算即可； 掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积的和差关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：图2中，大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：；； 【小问2详解】 图2中阴影部分的面积为， 也可以表示为大正方形的面积减去四个长方形的面积，即：， ∴代数式，和之间的数量关系是：； 【小问3详解】 设这个长方形的长为，宽为，则，， ∴， ∵， ∴ ， ∴这个长方形长与宽的差为． 六、（本大题共一题，共12分） 23. （1）【问题】如图1，平分，，，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________________； （2）【探究】如图2，平分，，，求证：； （3）【应用】如图3，四边形中，，，，，若，求的值． 【答案】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过点D作，交于E，，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ． ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质即可求解； （2）过点D作，交于E，，交延长线于F，先证明，即可证明 ，根据全等三角形的性质即可得证 （3）过点D作，交延长线于F，连接，证明，进而证明 ，得出，进而根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）略 （3）解：过点D作，交延长线于F，连接， ，， ， ， ， 在和中， ． ，， 在和中， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $