精品解析：河南省信阳市淮滨县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度上期八年级学业水平测试 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若分式的值为，则的值是(　　) A. B. C. D. 任意实数 2. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 的计算结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了估计池塘岸边A，B距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（ ） A. 20米 B. 15米 C. 10米 D. 5米 8. 一项工作由甲单独做，需要a天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独做每天可以完成这项工作（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点，则（ ） A B. C. D. 10. 如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 将一把直尺和一块含和的三角板按如图所示的位置放置，若，那么的度数为________． 13. 小宇用计算一个多边形的内角和，则该多边形共_____条对角线． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交轴，于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交轴于点．已知点的坐标是，则的面积为_____________． 15. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 三、解答题（共8题，75分） 16. 化简： （1）； （2） 17. 如图， 在中，． （1）尺规作图：作角平分线，交于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） （2）若，，求的长及的面积． 18. 为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？ 19. 对于正数，规定：．例如：， （1）求值：_____；_____． （2）猜想_____，并证明你的结论． 20. 图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． （1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于______． （2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积． （3）观察图b，你能写出以下三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，mn． （4）若x，y都是有理数，，，求的值． 21. 如图，与相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）当点P在运动时， （用含t的代数式表示） （2）求证： （3）当P， Q， C三点共线时， 求t的值． 22. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫 做分组分解法．例如， ②十字相乘法：教科书的“阅读与思考”栏目中有介绍． （1）根据以上方法，按照要求分解因式： ①运用分组分解法_____； ②运用十字相乘法_____；_____； _____；_____； （2）已知a，b，c为三边长，，求的周长． 23 课本有如下内容： 活动2用全筝三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相筝的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸筝方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全筝三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： （1）【概念理解】 如图，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形； （2）【性质探究】 ①如图1：小文通过连接筝型的一条对角线得到一对全筝的三角形，进而得到筝形角的性质“筝形有一组对角相筝”，这两个三角形全筝的理由是：_____； ②如图2，连结筝形的两条对角线．你能发现筝形对角线有哪些性质吗？请写出一条： （3）【拓展应用】 ①如图3，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数：_____ ②填空：如图4，在筝形中，过点D作交BC于点E，若，，则的长为_____． ③如图，如果点为内一点，平分，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上期八年级学业水平测试 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若分式的值为，则的值是(　　) A. B. C. D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件：分子=0且分母≠0，列出方程和不等式即可求出的值． 【详解】解：∵分式的值为 ∴ 解得： 故选A． 【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子=0且分母≠0，是解决此题的关键． 2. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定即可． 【详解】解：对于来说前面有个， ； 故选：B 3. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质逐项判断，注意乘除一个数或代数式的时候要保证不为0． 【详解】A. 当时，才成立，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. 因为a是分母，所以，所以成立，故C选项正确； D.，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查分式基本性质，熟练掌握分式的分子分母同乘除一个不为0的数或代数式，分式的值不变是解题的关键． 4. 如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可． 【详解】A、补充，不能判定，故A错误； B、补充，可根据判定，故B正确； C、补充，可根据判定，故C正确； D、补充，可根据判定，故D正确． 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法及合并同类项法则．根据幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则依次计算判断即可． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、2a与3b不是同类项，不能进行计算，故本选项不符合题意． 故选：A． 6. 计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逆用幂的乘法，积的乘方计算即可． 本题考查了幂的乘法，积的乘方公式的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 7. 如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（ ） A. 20米 B. 15米 C. 10米 D. 5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故A，B间的距离不可能是5米． 故选：D． 8. 一项工作由甲单独做，需要a天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独做每天可以完成这项工作的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式以及分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的计算法则及工程问题中“工作效率工作时间工作总量”的等量关系．记总工作量为单位“1”，由工作效率工作总量工作时间，可求得甲乙两人的合作效率，然后求得乙的工作效率，从而求解． 【详解】解： 由题知，记工作总量为， ∵一项工作由甲单独做，需a天完成， ∴甲的工作效率为， 又∵由甲、乙两人合作，则可提前2天完成， ∴甲、乙的合作效率为， ∴乙的工作效率为， 则乙单独做每天可以完成这项工作的， 故选：D． 9. 如图，将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正五边形，得到，根据折叠的性质，得，连接，利用三角形外角性质，计算的度数即可． 本题考查了正多边形的性质和内角和定理，折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 根据折叠的性质，得， 连接， ∵， ∴ ， 故选：C． 10. 如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设BC=a，CG=b，建立关于a、b的关系，最后求面积． 【详解】解：设BC=a，CG=b，则，，BG=a+b=8， ∴， ∵， ∴， ∴ab=8， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】直接根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： =1-4 =-3． 故答案为：-3． 【点睛】此题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则． 12. 将一把直尺和一块含和的三角板按如图所示的位置放置，若，那么的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，含角的三角板中的角度计算，三角形内角和定理．由题意可确定，，再根据平行线的性质得，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 小宇用计算一个多边形的内角和，则该多边形共_____条对角线． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角与外角、多边形的对角线，熟记以上知识点是解题的关键．根据求多边形的对角线公式进行作答即可． 【详解】解： （条）． 故答案为：9． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交轴，于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交轴于点．已知点的坐标是，则的面积为_____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，过点作于点，由角平分线的性质可得，利用面积公式即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点． 点的坐标是， ． 由作图可知是的平分线， ． ． 故答案为：24． 15. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质；连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故答案为：． 三、解答题（共8题，75分） 16. 化简： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算和分式的运算，解题关键是熟练掌握乘法公式和分式运算法则，准确进行计算； （1）先计算完全平方公式和平方差公式，再合并同类项即可； （2）先计算括号里的分式减法，再把除法变成乘法计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 17. 如图， 在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） （2）若，，求的长及的面积． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）过点作，由角平分线的性质得到，等积法求出的长，三角形的面积公式求出的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴． 18. 为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？ 【答案】原计划每天种植梨树500棵 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天种植梨树x棵 由题可知： 解得： 经检验：是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天种植梨树500棵． 【点睛】题目注意考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题关键． 19. 对于正数，规定：．例如：， （1）求值：_____；_____． （2）猜想_____，并证明你的结论． 【答案】（1）1；1 （2）1 【解析】 【分析】本题考查规律探索问题，代数式求值，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）故根据（1）中所求结果总结规律后进行证明即可． 【小问1详解】 解： ， ， 故答案为：1；1； 【小问2详解】 解：由（1）得，证明过程如下： 原式 ， 故答案为：1． 20. 图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． （1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于______． （2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积． （3）观察图b，你能写出以下三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，mn． （4）若x，y都是有理数，，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）能，；（4） 【解析】 【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长； （2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到； （3）利用（2）中图2中的阴影部分的正方形面积得到（m+n）2-4mn=（m-n）2； （4）根据（3）的结论得到（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把x-y=4，xy=5代入计算． 【详解】解：（1）由题意得：图b中的阴影部分的正方形的边长等于． 故答案为：； （2）由题意得：，； （3）观察图b，可得三个代数式之间的等量关系为：． （4）∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式． 21. 如图，与相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）当点P在运动时， （用含t的代数式表示） （2）求证： （3）当P， Q， C三点共线时， 求t的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）t的值为8或 【解析】 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想． （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，从而得出结论； （3）根据题意得，则，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，有，利用分类讨论列方程求解即可． 小问1详解】 解：设点P的运动时间为， 根据题意得：，则， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图， 根据题意得：，则， ， ∵P，Q，C三点共线， ， 在和中， ， ， ， ∴当时，， ， 当时，， ， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 22. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫 做分组分解法．例如， ②十字相乘法：教科书的“阅读与思考”栏目中有介绍． （1）根据以上方法，按照要求分解因式： ①运用分组分解法_____； ②运用十字相乘法_____；_____； _____；_____； （2）已知a，b，c为三边长，，求的周长． 【答案】（1）①；②；；； （2）7 【解析】 【分析】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）①将原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可； ②将原式利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案． 【小问1详解】 解：① ， 故答案为：； ②， 找两数乘积为，和为 7，即 9和， 分解为：； ， 将拆分为 和，满足乘积为’，和为， 分解为：； ， 令，转化为， 分解为：； ， 令，转化为， 分解为：； 故答案为：；；；； 【小问2详解】 解：， ， ， ，，， ， 的周长为7． 23. 课本有如下内容： 活动2用全筝三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相筝的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸筝方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全筝三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： （1）【概念理解】 如图，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形； （2）【性质探究】 ①如图1：小文通过连接筝型的一条对角线得到一对全筝的三角形，进而得到筝形角的性质“筝形有一组对角相筝”，这两个三角形全筝的理由是：_____； ②如图2，连结筝形的两条对角线．你能发现筝形对角线有哪些性质吗？请写出一条： （3）【拓展应用】 ①如图3，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数：_____ ②填空：如图4，在筝形中，过点D作交BC于点E，若，，则的长为_____． ③如图，如果点为内一点，平分，且，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①；②有一条对角线平分一组对角，一条对角线垂直平分另一条对角线（答案不唯一）； （3）①或；②8；③见解析 【解析】 【分析】（1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可； （2）①利用证明，即可得出结论； ②利用证明结合垂直平分线的判定，即可得出结论； （3）①分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可； ②根据平行线的性质和角平分线得到，进而得到，进而求解即可； ③过点B作，，证明出，得到，然后由等边对等角得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：①在与中， ， ∴， ∴ ∴这两个三角形全筝理由是：； ②有一条对角线平分一组对角，一条对角线垂直平分另一条对角线（答案不唯一）， 证明：在与中， ， ∴， ∴，， 即平分、； ∵， ∴垂直平分； 【小问3详解】 解：①分两种情况：当筝形中，时，如图， ∴； 当筝形中，时，如图， ∵ ∴ ∴ 综上，当四边形为筝形时， 的度数为或； ②∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ③如图所示，过点B作， ∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$