精品解析：河北省秦皇岛市昌黎县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 2. 据人民网消息，2023年端午假期，我国国内旅游出游约亿人次，同比增长．其中近似数“亿”精确到的数位是（　　） A. 百分位 B. 十分位 C. 千万位 D. 百万位 3. 若取，计算的结果是（ ） A. B. 181.7 C. D. 4. 已知，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值可以是（    ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 6. 若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 7. 已知实数、满足，且、恰好是等腰两条边的边长，则的周长是（ ） A. 10 B. 8 C. 10或8 D. 6 8. 如图所示，在数轴上点A所表示数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 9. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 10. 三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个轴对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 A. 40海里 B. 60海里 C. 70海里 D. 80海里 12. 如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 已知，，则______． 14. 如图，与关于点成中心对称，则线段与的数量关系是________． 15. 如图，点在线段外，且．求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：甲：作的平分线交于点；乙：过点作，垂足为；丙：作边上的中线交于点C．三位同学都需要证明，甲证明三角形全等的方法是_____，乙证明三角形全等的方法是_____，丙证明三角形全等的方法是_____．（每空写一种方法即可） 16. 如图，和均为直角三角形，且，，点从点向点运动，在运动过程中，线段长的最大值为_____，最小值为_____，当点为边中点时，则长为_____． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 正数x的两个平方根分别为3和． （1）求a值； （2）求立方根． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块中裁出长为，宽为的长方形木条，问最多能裁出多少块这样的木条？ 21. 如图． （1）已知与关于直线对称，作出． （2）在直线上找一点，使得的周长最小，请在图中标出点位置． 22. 如图，在中，是的垂直平分线，，D为的中点． （1）求证： （2）若，则 23. 在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 24. 如图，在等腰三角形中，，D为的中点．点在上，，点是等腰三角形的腰上的一点，是以为腰的等腰三角形． （1）上做出点，将图形补充完整； （2）求的度数． 附加题（10分）： 25. 如图，在中，，，，点是上一动点（与点不重合），连接，作关于直线的对称点，当点在的下方时，连接，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义逐个判断即可，能熟记最简分式的定义是解此题的关键，分式的分子和分母除了公因式1，再没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，故A不符合题意； B、是最简分式，故B符合题意； C、，原分式不是最简分式，故C不符合题意； D、，原分式不是最简分式，故D不符合题意． 故选：． 2. 据人民网消息，2023年端午假期，我国国内旅游出游约亿人次，同比增长．其中近似数“亿”精确到数位是（　　） A. 百分位 B. 十分位 C. 千万位 D. 百万位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了近似数，解题的关键是近似数“亿”中的6在亿位上，即近似数精确度百万位． 【详解】解：近似数“亿”精确到的数位是百万位． 故选：D． 3. 若取，计算的结果是（ ） A. B. 181.7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先把的系数相加减，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 4. 已知，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及分母有理化、二次根式加减乘除混合运算等知识，熟练掌握分母有理化，根据选项运用二次根式加减乘除混合运算逐个验证是解决问题的关键． 【详解】解：， A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 若，则的值可以是（    ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求得结果，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 只有选项D符合题意， 故选：D． 6. 若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由题意，将化为最简二次根式，从而得到，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同类二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，是最简二次根式，且可以与合并， ，解得， 故选：C． 7. 已知实数、满足，且、恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（ ） A. 10 B. 8 C. 10或8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系定理，先计算m，n的值，再根据分类思想计算即可． 详解】解：∵， ∴， 当三角形的三边为时，此时，三角形不存在； 当三角形的三边为时，此时三角形存在，且周长为； 故选：A． 8. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：B． 9. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 10. 三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个轴对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．添加①后可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故该选项不符合题意； B．添加②后可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故该选项不符合题意； C．添加③后可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故该选项不符合题意； D．添加④后找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 11. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 A. 40海里 B. 60海里 C. 70海里 D. 80海里 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里， 【详解】∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°， ∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°． ∴NP＝NM＝80（海里）． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和的定理，解决此题的关键是计算要细心，不要出错． 12. 如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点， 平分， ， ， 当点与点重合时，的值最小，等于的值， ，的面积为8， ， ， 的最小值为4， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的逆用，先利用平方差公式得到，再代入求值即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，与关于点成中心对称，则线段与的数量关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称，根据中心对称性质，可以得到中心对称图形对应边的关系． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， 故答案为：． 15. 如图，点在线段外，且．求证：点在线段垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：甲：作的平分线交于点；乙：过点作，垂足为；丙：作边上的中线交于点C．三位同学都需要证明，甲证明三角形全等的方法是_____，乙证明三角形全等的方法是_____，丙证明三角形全等的方法是_____．（每空写一种方法即可） 【答案】 ①. 或 ②. 或 ③. 或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．由等边对等角可知，，再根据三位同学的作法，结合全等三角形的判定定理分析即可． 【详解】解：，则， 甲同学的作法可知，， ，，，则证明的方法是， ，，，则证明的方法是， 乙同学的作法可知，， ，，则证明的方法是， ，，，则证明的方法是， 丙同学的作法可知，， ，，，则证明的方法是， ，，，则证明的方法是， 故答案为：或；或；或． 16. 如图，和均为直角三角形，且，，点从点向点运动，在运动过程中，线段长的最大值为_____，最小值为_____，当点为边中点时，则长为_____． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质、直角三角形的斜边中线定理和勾股定理，熟练掌握直角三角形的相关定理是解题关键． 由和均为直角三角形和可知，通过“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得，，，再根据直角三角形的斜边中线定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得即可求解． 【详解】解：和均为直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ，． 当与重合时，的值最大，此时，， 当时，的值最小，此时，． 当点为边中点时，， 故答案为：6，3，． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）1 （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算： （1）先进行乘法运算和化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法和乘方运算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 正数x的两个平方根分别为3和． （1）求a的值； （2）求的立方根． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的性质和开立方运算，解题的关键是熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根；求一个数的立方根的运算就是开立方． （1）根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即可解答； （2）由（1）求出x，再根据立方根的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵正数x的两个平方根是3和， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴这个正数是， 即， ∴， ∴27的立方根是3， 即这个数的立方根为3． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块中裁出长为，宽为的长方形木条，问最多能裁出多少块这样的木条？ 【答案】（1） （2）2． 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，无理数大小的估算．掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和范围，根据题意解答． 【小问1详解】 解： 两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， ∴原矩形木板的长为：，宽为 ， 原矩形木板的面积为； 答：原矩形木板的面积为． 【小问2详解】 解：剩余的木料长为：，宽为：， ∵，， 从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的木条， 答：最多能裁出　块这样的木条． 21 如图． （1）已知与关于直线对称，作出． （2）在直线上找一点，使得的周长最小，请在图中标出点位置． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查画轴对称图形及轴对称的性质，正确画出各点的对称点并熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）分别作点、、关于直线的对称点、、，顺次连接即可得； （2）连接，交直线于，根据轴对称的性质即可得出点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，作点、、关于直线的对称点、、，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接，交直线于， ∵点与关于直线对称， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为，点即为所求． 22. 如图，在中，是的垂直平分线，，D为的中点． （1）求证： （2）若，则 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键． （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得，的度数，进而可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明可得． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ． 24. 如图，在等腰三角形中，，D为的中点．点在上，，点是等腰三角形的腰上的一点，是以为腰的等腰三角形． （1）在上做出点，将图形补充完整； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，过作于，于，根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线的性质定理，可得，再分两种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点、即为所求作； 【小问2详解】 解：连接，过作于，于， ，D为的中点， 平分， ， 若，且， ， ， ， ； 若，且， ， ， 的度数为或． 附加题（10分）： 25. 如图，在中，，，，点是上一动点（与点不重合），连接，作关于直线的对称点，当点在的下方时，连接，求面积的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，垂线段最短，连接，由轴对称可得，由勾股定理得，当时，点到的距离最小，则到的距离最大，此时面积的最大，过作于，利用求出，即可求出，再根据三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 关于直线的对称点，， ， 在中，，，， ， ∵点在的下方， ∴当时，点到的距离最小，则到的距离最大，此时面积的最大， 如图，过作于， ， ， ， 面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$