精品解析：江苏省扬州市江都区2024-2025学年九年级上学期1月期末联考数学试题

2024年秋学期期末调研九年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 一个不透明的袋子中装有3个红球，2个黄球，5个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 7 7 8 1 1.1 1 16 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为（　　） A. B. C. D. 7. 从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（　　） A. 15m B. 20m C. 25m D. 30m 8. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（每小题3分，计24分） 9. 如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速(单位：千米/时)情况，则该时段内来往车辆的平均速度是____千米/时． 10. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为________． 11. 比较大小： _______．（填“＞”“＝”或“＜”） 12. 已知：关于x方程x2﹣6x+8﹣t＝0有两个实数根x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣6，则t＝_____． 13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 14. 小明家的客厅有一张直径为1.1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是_________． 15. 已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是______． 16. 如图，在中，，D是上一点，且．若，则的长为____． 三、解答题（共11题，计102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 　　 9 　　 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 　　．（填“变大”、“变小”或“不变” 19. 第一盒中有2个白球，1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出一个球． （1）求在第一盒中取出一个球是白球的概率； （2）用列表或画树状图的方法求取出的2个球都是黑球的概率． 20. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 21. 如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧形成线段，O的对应点为D，测得，此时太阳的与地面的夹角为（即）． （1）求旋转中心到地面的距离的值． （2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于米，请判断此风车是否符合要求． 22. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN． （1）求证：四边形BMDN菱形； （2）若AB=4，AD=8，求△BMD的面积． 23. 体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 24. 如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的长为，求图中阴影部分的面积． 25. 如图，已知在中， （1）请用圆规和直尺作出，使圆心P在边上，且与，两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若，，求的周长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D为直线上方抛物线上的一点，，直接写出点D的坐标． 27. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期期末调研九年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 一个不透明的袋子中装有3个红球，2个黄球，5个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．用黄球的个数除以球的总数即可求得答案． 【详解】解：∵袋子中装有10个小球，其中3个红球，2个黄球，5个白球， ∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率是． 故选：C． 2. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 7 7 8 1 1.1 1 1.6 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用平均数与方差进行决策．解题的关键在于明确进行决策需要考虑的因素．根据平均数和方差综合决定即可求解． 【详解】解：由表格可知，甲和丁的平均数一样，且最高，而甲的方差小，则稳定， ∴选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选甲， 故选：A． 3. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入，得， 解得， 故选：D． 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，由一元二次方程有实数根可得，解不等式即可. 【详解】∵， 解得：， 故选：D． 5. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6. 如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握侧面积公式是解题的关键，根据侧面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为， 故选：C． 7. 从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（　　） A. 15m B. 20m C. 25m D. 30m 【答案】B 【解析】 【分析】根据小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式求出t=3，t=5时的函数值，求其差即可． 【详解】解：∵小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2， 当t=3时，h＝30×3﹣5×32=90-45=45m， 当t=5时，h＝30×5﹣5×52=150-125=25m， ∴小球从第3s到第5s的运动路径长为45m-25m=20m． 故选B． 【点睛】本题考查求函数值，有理数减法，掌握求函数值的方法是解题关键． 8. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①设等边三角形的边长为a，代入检验即可；②在中，由勾股定理可得，因为是奇异三角形，且，所以，然后可得，，代入可求；③要证明△ACE是奇异三角形，只需证即可；④由③可得ΔACE是奇异三角形，所以，当ΔACE是直角三角形时，由②可得或，然后分两种情况讨论． 【详解】解：设等边三角形的边长为a， 则，满足奇异三角形的定义， 等边三角形一定是奇异三角形， 故①正确； 在中，， ∵， ∴，， 若是奇异三角形，一定有， ∴， ∴，得． ∵， ∴， ∴， 故②错误； 在中，， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在中，； 在中，． ∵D是半圆的中点， ∴， ∴AD=BD， ∴， 又∵，， ∴． ∴ΔACE是奇异三角形， 故③正确； 由③可得ΔACE是奇异三角形， ∴． 当ΔACE是直角三角形时， 由②可得或， （Ⅰ）当时， ，即， ∵， ∴， ∴． （Ⅱ）当时， ，即， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， ∴∠AOC=2∠ABC=120°， ∴∠AOC的度数为60°或120°， 故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了：1．命题；2．勾股定理；3．圆周角定理及推论；4．直角三角形的性质．能牢固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键． 二、填空题（每小题3分，计24分） 9. 如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速(单位：千米/时)情况，则该时段内来往车辆的平均速度是____千米/时． 【答案】60 【解析】 【分析】利用加权平均数的公式进行求解即可得. 【详解】这些车的平均速度是：(40×2+50×3+60×4+70×5+80×1)÷15＝60(千米/时)， 故答案为60． 【点睛】本题考查了加权平均数，正确识图是解题的关键. 10. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为________． 【答案】2π 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，从而得到，，进而得到是的直径，半径，由三角形内角和定理可得，从而得到，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ， 小正方形的边长为1， ，， 由勾股定理可得：， ， 是等腰直角三角形， ，， 是的直径，半径， ， ，， ， ， 的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、求弧长，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 11. 比较大小： _______．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握实数大小的比较，根据题意，则，，可得，即，则，根据正数大于零大于负数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 已知：关于x的方程x2﹣6x+8﹣t＝0有两个实数根x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣6，则t＝_____． 【答案】6. 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】由根与系数的关系可知：x1+x2＝6，x1x2＝8﹣t， ∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣6， ∴x1x2﹣2（x1+x2）+10＝0， ∴8﹣t﹣2×6+10＝0， 解得：t＝6， 故答案为6. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：用、、、分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊， 画树状图如图， 共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：． 14. 小明家的客厅有一张直径为1.1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是_________． 【答案】（3.76，0） 【解析】 【分析】根据相似三角形判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∵BC=1.1， ∴DE=3.76， ∴E（3.76，0）． 故答案为：（3.76，0）． 【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 15. 已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元一次不等式组，由题意得，则，然后代入，最后解不等式组即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：且． 16. 如图，在中，，D是上一点，且．若，则的长为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（共11题，计102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：或． 【小问2详解】 解：， ，，， ∴， ∴， 解得：，． 18. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 　　 9 　　 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 　　．（填“变大”、“变小”或“不变” 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）变小 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差等知识，掌握方差的定义和计算公式是关键． （1）根据平均数和中位数的定义求解； （2）根据方差的意义求解； （3）根据方差公式求解． 【小问1详解】 解：将乙的环数重新排序为：5，7，9，9，10 则乙的平均数，乙的中位数为9； 故填表为： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 8 9 9 32 【小问2详解】因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛； 【小问3详解】 如果乙再射击1次，命中8环，其平均数为， 其方差为：， 那么乙的射击成绩的方差变小． 故答案为：变小． 19. 第一盒中有2个白球，1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出一个球． （1）求在第一盒中取出一个球是白球的概率； （2）用列表或画树状图的方法求取出的2个球都是黑球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式，以及用列表或画树状图的方法求概率，正确列表或者画树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式求解，即可解题； （2）根据题意用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出取出的2个球都是黑球的情况数，最后结合概率公式求解即可． 【小问1详解】 解： 由题意得； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 第一盒 第二盒 白 白 黑 白 白白 白白 黑白 黑 白黑 白黑 黑黑 黑 白黑 白黑 黑黑 （画树状图正确也可） 由表格可知总共有种情况，其中取出的2个球都是黑球的情况有种， ． 20. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【小问1详解】 解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 21. 如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧形成线段，O的对应点为D，测得，此时太阳的与地面的夹角为（即）． （1）求旋转中心到地面的距离的值． （2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于米，请判断此风车是否符合要求． 【答案】（1） （2）此风车符合要求 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理求得，再利用三角形函数的定义求解即可； （2）过点C作，垂足为F，则四边形为矩形，利用特殊角的三角函数值求得，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点C作，垂足为F，则四边形为矩形． ∵， ∴，即， ∴叶片外端离地面的最低高度为， ∵． ∴此风车符合要求． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，及勾股定理和矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 22. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN． （1）求证：四边形BMDN菱形； （2）若AB=4，AD=8，求△BMD的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据线段垂直平分线性质得出，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，再根据菱形的判定定理即可求证； （2）根据矩形的性质得出，根据勾股定理得出，求出，再求出，最后根据三角形的面积公式求出答案即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：． ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，勾股定理等知识．掌握线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等是解题关键． 23. 体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 【答案】（1） （2）200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种运动器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款40万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市参加体育运动的人数的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种运动器材的套数大于120套， 设购买的这种运动器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元，不符合题意，故舍去， 当时，售价元，符合题意， 答：购买的这种运动器材的套数为200套． 24. 如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明； （2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积的面积扇形的面积，计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接OD， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的切线． 【小问2详解】 的长为，， ， ， ， ， ， ，， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键． 25. 如图，已知在中， （1）请用圆规和直尺作出，使圆心P在边上，且与，两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于P点，然后以P点为圆心，为半径作圆即可； （2）过P点作于D点，如图，根据切线的性质得到、为的半径，根据切线长定理得到，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出PA，从而得到⊙P的周长． 【小问1详解】 如图，⊙P为所作； 【小问2详解】 过P点作于D点，如图， ∵与，两边都相切，， ∴、为的半径，平分， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和切线的判定与性质． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D为直线上方抛物线上的一点，，直接写出点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线解析式求得A、B点的坐标，再由A、B点的坐标待定系数法求抛物线解析式即可； （2）取AB中点E，连接OE，直角三角形斜边中线的性质和三角形外角的性质可得BD∥OE，求得直线OE的解析式，再由平移的性质可得直线BD的解析式，再与抛物线联立解方程，即可求得D点坐标； 【小问1详解】 解：在中，当时，；当时，， ∴， 把代入中， 得∴ ∴． 【小问2详解】 解：如图，取AB中点E，连接OE， ∵OE为Rt△ABO斜边中线，∴OE=AE，∴∠AOE=∠EAO， ∴∠BEO=∠EOA+∠EAO=2∠OAE， ∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=∠BEO， ∴BD∥OE， ∵A（4，0），B（0，2），∴E（2，1）， ∴OE所在直线解析式为y=x，∵直线OE向上平移2个单位可以得到直线BD， ∴BD所在直线解析式为y=x+2，与抛物线相交时： =x+2，解得：x=0（B点）或x=2（D点）， x=2代入y=x+2，可得y=3， ∴D点坐标（2，3）； 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合，利用一次函数的平移求直线BD解析式是解题关键． 27. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 此时，，点Q不在在点P上方时， 故舍去 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $