精品解析：安徽省阜阳第一中学2025届高三下学期阶段性检测（二）数学试题

阜阳一中2025届高三（下）阶段性检测（二） 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 16 2. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ） A. 30 B. 55 C. 80 D. 110 5. 函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（ ） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值 6. 已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数在开区间的零点个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题每题5分，共40分 9. 设是三个随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若，则 C. D. 若相互独立，则 10. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 11. 封闭曲线C是平面内与两个定点和的距离之积为2的点的轨迹，是曲线C上一点，O为坐标原点．则下列说法正确的有（ ） A. 曲线C关于坐标原点对称 B. 曲线C位于直线和直线所围成的矩形框内 C. 的周长的最小值为 D. 三、填空题 12. 已知函数的导函数为，且满足，则______. 13. 的展开式中常数项为_________．（用数字作答） 14. 已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为__________. 四、解答题 15. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 16. 某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求的值及品种小麦千粒重的中位数； （2）用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率. 17. 如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且平面. （1）求三棱锥的体积； （2）分别在线段上，且平行，平面MNC与平面所成角为，与平面所成角为，求. 18. 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜阳一中2025届高三（下）阶段性检测（二） 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【详解】解法一：设，则， 解得，所以，所以， 解法二：因为，所以， 解法三：方程两边同时平方，有，所以， 故选:A. 2. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】取时成立，故充分性不成立； 当时，，当且仅当时，等号成立， 故必要性得证． 故选：B. 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，在上的投影向量为. 故选：A 4. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ） A. 30 B. 55 C. 80 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质，由条件求得，再根据等差数列求和公式化简计算即得. 【详解】因是等差数列，故，解得， 则. 故选：B. 5. 函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（ ） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算出当时，的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数在区间上是增函数，且，，则当时，， 而函数在区间上先增后减， 所以，函数在区间上先增后减，当，该函数取到最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题. 6. 已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为关于的方程在区间内有两个不等的实根，于是画出曲线与直线的图象，结合图象求解即可. 【详解】因为函数有2个不同的零点， 所以关于的方程在区间内有两个不等的实根， 即曲线（圆的上半部分）与经过定点的直线有两个不同的交点，如图 过作圆的切线，则点到切线的距离， 解得或（舍去）， 所以，得， 即k的取值范围是. 故选：B. 7. 函数在开区间的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：由，令求解；法二：由，令求解. 【详解】解：法一： ， ， 令，则或， 即：或或， 如图所示： 由图像可知， 函数共8个零点. 法二：因为， 由，得，或， 所以，或，即，或，， 因为， 所以，或共个零点. 故选：D 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线定义结合已知得，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解. 【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以， 点A在双曲线上， ， 又， ，， 点B在双曲线上， ， ， ， 设内切圆圆心为I，连接，如图所示， ， ， 即， 为等边三角形，， 在由余弦定理得：， 即：， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 二、多选题每题5分，共40分 9. 设是三个随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若，则 C. D. 若相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据概率的性质即可逐项判断得到答案. 【详解】对于选项A：若A，B互斥但不对立，则，故A错误； 对于选项B：若，，故B正确； 对于选项C：显然，故C正确； 对于选项D：若相互独立，则也相互独立，则，故D错误 故选：BC. 10. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 11. 封闭曲线C是平面内与两个定点和的距离之积为2的点的轨迹，是曲线C上一点，O为坐标原点．则下列说法正确的有（ ） A. 曲线C关于坐标原点对称 B. 曲线C位于直线和直线所围成的矩形框内 C. 的周长的最小值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得，取平方化简得（*），对于A，利用点关于坐标原点的对称点均满足（*）方程即得；对于B，利用可求得，再利用此范围回代求得即可；对于C，利用基本不等式易判断；对于D，利用（*）求出的范围即得. 【详解】依题意，，因，，， 则有， 两边平方可得：， 即，也即（*）. 对于A，因是曲线C上一点，则满足， 对于，显然也满足， 而点与关于坐标原点对称，故A正确； 对于B，由（*）可得，即， 整理得：，即，因，故可得； 设，由可得， 于是，则得，解得， 故曲线C位于直线和直线所围成的矩形框内，故B正确； 对于C，因，则， 当且仅当取得等号， 此时的周长为， 即的周长的最小值为，故C错误； 对于D，由（*）可得，由C分析已得，可得， 故有，因，故得，故D正确. 故选：ABD . 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对点的轨迹方程的处理，利用方程结构的对称性特征判断图形的对称，利用分离变量，可求得参数的范围，从而界定曲线的位置，求得相关量的取值范围. 三、填空题 12. 已知函数的导函数为，且满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】对原函数求导，将代入求即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 的展开式中常数项为_________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项. 【详解】解：因为， 其中展开式的通项为， 令得的常数项为， 令，即得展开式中的系数为. 所以的常数项为. 故答案为： 14. 已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意整理出，求出，；由此判断出为递增的等差数列，进而求解即可. 【详解】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称， 得， 两式相减得，所以， 由时，由，得； 由时，由，得； 又由，结合，， 所以成首项为，公差为的等差数列， 所以，且此等差数列为递增数列， 所以的中位数为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是判断出为递增的等差数列，从而得解. 四、解答题 15. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解； （2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解． 【小问1详解】 解：由正弦定理知， ， ， 的周长为， ， ． 【小问2详解】 解：的面积， ， 由（1）知，，， 由余弦定理知， ， ． 16. 某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求的值及品种小麦千粒重的中位数； （2）用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率. 【答案】（1），品种千粒重的中位数为43.75g； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求出及中位数. （2）求出千粒重不低于45g的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. 【小问1详解】 由品种小麦的频率分布直方图，得，所以； 设品种小麦千粒重的中位数为，由品种小麦的频率分布直方图， 得，，则， 于是，解得，即品种千粒重的中位数为43.75g. 【小问2详解】 设事件，分别表示从，两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g， 事件表示两个样本小麦的千粒重恰有一个不低于45g，则， 用频率估计概率，则，， 由，相互独立，所以 . 17. 如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且平面. （1）求三棱锥的体积； （2）分别在线段上，且平行，平面MNC与平面所成角为，与平面所成角为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可根据线线垂直求证平面，进而根据线面平行的性质可得，根据相似以及体积公式即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据空间角的向量法求解角，利用余弦的和角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，平面平面，且平面平面，，平面， ∴平面，平面，则， 又，，平面ABC，则平面， 连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵，∴，易知. ∴三棱锥底面的面积，高， ∴其体积为：. 【小问2详解】 由题意及（1）得，以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图，，则． 由于平行，设，则， 设平面的法向量为， 由，取，则， 平面的一个法向量为， 所以． 又因为，所以． ． 又，所以． 18. 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值； （2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值. 【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值 由题意知，，设圆M上的点，则． 所以． 从而有． 因为，所以当时，． 又，解之得，因此． [方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值 抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点A、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. [方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到． 过P作y轴的平行线交于Q，则． ． P点在圆M上，则 ． 故当时的面积最大，最大值为． [方法三]：直接设直线AB方程法 设切点A，B的坐标分别为，． 设，联立和抛物线C的方程得整理得． 判别式，即，且． 抛物线C的方程为，即，有． 则，整理得，同理可得． 联立方程可得点P的坐标为，即． 将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得． 由弦长公式得． 点P到直线的距离为． 所以， 其中，即． 当时，． 【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值； 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） ； （2） ； （3） 由（2）知，当时，， 取，则，而， 因此 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）不等式对恒成立可得对恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理得证. （3）由（2）取可得不等式，再取，并借助裂项相消法求得证. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 不等式， 由时，恒成立，得， 令，由当时，恒成立， 得，，求导得，令， 求导得，而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $