精品解析：江西省九江市修水县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

秘密★启用前 九江市2024－2025学年度上学期期末考试 九年级数学试题卷 本试卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面表格中．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据定义逐项判断，即含有一个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：因为符合定义，所以A正确； 因为不是整式方程，不符合定义，所以B不正确； 因为含有两个未知数，不符合定义，所以C不正确； 因为是一元一次方程，不符合定义，所以D不正确． 故选：A． 2. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币都是正面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两枚硬币朝向相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 正 反 正 正，正 正，反 反 反，正 反，反 共有4种等可能的结果，其中两枚硬币都是正面向上的结果有1种， 两枚硬币都是正面向上的概率为． 故选：C． 3. 如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有条实线段，    故选：C． 4. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. y随x的增大而增大 C. 点在反比例函数的图象上 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的性质依次进行判断即可得． 【详解】解：反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，故A正确，B不正确， 当时，，则点在反比例函数的图象上，故C正确， 当时，，故D正确， 故选：B． 5. 如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由DE∥BC得，由DF∥AC得，于是，可判断A错误；由DE∥BC得，可判断B正确；由DF∥AC得，可判断C正确；由DE∥BC得，可判断D正确． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴， ∵DF∥AC， ∴， ∴， ∴， 故A错误； ∵DE∥BC， ∴， 故B正确； ∵DF∥AC， ∴， 故C正确； ∵DE∥BC， ∴， 故D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的对应边成比例正确地列出比例式是解题的关键． 6. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的运算，解题的关键是利用分式的性质将拆分为，再结合已知条件进行计算． 【详解】解：由已知， 则． 故答案为3． 8. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系；由根与系数的关系得，代入，即可求解；掌握根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 9. 一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在，则袋子中的黄球有_______个 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率， 首先根据频率得出摸到红球的概率为，再设黄球为x，并根据概率公式得出方程，求出解即可． 【详解】解：∵经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为． 设黄球为x个，根据题意，得， 解得． 经检验，是该方程的解， 所以袋子中的黄球有4个． 故答案为：4． 10. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为______ 【答案】8 【解析】 【分析】设A的坐标为（a，），则B的坐标为（3a，），然后求解面积即可. 【详解】解：设A的坐标为（a，） ∴ ∵四边形为矩形 ∴ ∴B的纵坐标为 ∴B的横坐标为 ∴ ∴矩形ABCD的面积= 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与矩形的面积公式，反比例函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 11. 如图，一条笔直的公路边有一路灯OP，距离路灯1.5米处有一棵垂直于地面的小树DE，影长米．为了测量树高，小明在路灯的另一侧距离路灯9米远处的地面竖起一根1.5米的竹杆AB，经测量AB的影长米，则小树的高度是______． 【答案】4米 【解析】 【分析】先证明证明，推出，求得OP=6，再证明得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵AB=1.5，BC=3，OC=OB+BC=9+3=12， ∴， ∴OP= 6米， ∵， ∴， ∴， ∵OP=6，EF=3，OF=1.5+3=4.5， ∴DE = 4米， 故答案为:4米. 【点睛】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 12. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：①若∠ACP=90°，②若∠APC=90°，且点P在BO延长线上，③若∠APC=90°，且点P在线段BO上时，分别根据图形计算即可． 【详解】解：在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点， ∴AO=1，BO=， ①若∠ACP=90°时， ∵∠OCP=∠OAB=90°，CO=AO，∠COP=∠AOB， ∴△OCP≌△OAB， ∴OP=BO， ∴BP=OP+BO=2； ②若∠APC=90°，且点P在BO延长线上时， ∵O为AC的中点， ∴OP=AC=1， ∴BP=OP+BO=； ③若∠APC=90°，且点P在线段BO上时， ∵O为AC的中点， ∴OP=AC=1， ∴BP= BO-OP=； 综上，线段BP的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）利用因式分解法求解； （2）利用配方法求解． 【小问1详解】 解：， ， 解得：； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 解得：． 14. 如图，电路图上有1个电源、4个开关和1个完好的小灯泡． （1）若随机闭合个开关，小灯泡发光是___事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）若随机闭合2个开关，求小灯泡发光的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】（1）只闭合个开关，小灯泡不能发光，由此可解； （2）通过列表法列出所有等可能的情况，再从中找出小灯泡发光的情况数，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，只闭合个开关，小灯泡不能发光， 因此随机闭合个开关，小灯泡发光是不可能事件． 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下． （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 由上表可知，共有12种等可能的情况，其中随机闭合2个开关能使小灯泡发光的情况有8种， 故所求概率为． 【点睛】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图表示出所有等可能的情况，做到不重复、不遗漏． 15. 如图，在中，D为上一点，．求的长． 【答案】的长为9． 【解析】 【分析】根据已知条件证明，得到求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 故的长为9． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求解． 16. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 【答案】（1） 证明： 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根. （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另外一个根为，则 解得：， 故的值为，方程的另一个根为． 17. 如图，在矩形中，，分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作出的边上的中线； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】（1） 如图1，即为所作 （2） 如图2，四边形即为所作 【解析】 【分析】（1）连接，，作点与、交点的线段并延长至线段交于点，连接即为所求； （2）分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了基本作图，矩形、菱形的性质，三角形中线等知识，熟悉以上知识点是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：由题意可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，因此可得，又，则可得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形. （2）设，则，再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形的面积. 【详解】（1）略 （2）∵矩形中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ， ∴， ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可. 19. 如图，已知是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． （1）求的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，根据一次函数和反比例函数交点求不等式的解集，将分成两个三角形是解题的关键． （1）先把代入可得反比例函数解析式，再把点代入反比例函数关系式得求出坐标，然后将两个点的坐标代入直线关系式，求出一次函数的解析式，进而求出C点的坐标，最后结合得出答案； （2）先确定两个图象的交点的横坐标为，再根据反比例函数的图象在一次函数图象的上方的函数值大，可得自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得到， 所以反比例函数解析式为， 把代入得，解得， 把和代入得， 解得． 所以一次函数的解析式为； 当时，， 解得：， 所以C点坐标为， 则， ； 【小问2详解】 解：由图象得不等式的解集为或． 20. 课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 【答案】 （1）证明：如图1，延长到E使得，连接，， 图1 D为中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）延长到E使得，连接，，由矩形的判定方法得四边形为矩形，即可得证； （2）连接、，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接、， 图2 ，点E是的中点，， ， 点F是中点， ，， ． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少? （2）国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？ 【答案】（1）商场对商品平均每次每次降价的百分率为 （2）这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元 【解析】 【分析】（1）设商场对商品平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设商场对商品平均每次降价的百分率为， 由题意得： 解得：，（舍去）， ， 答：商场对商品平均每次每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设这天商场在每件150元的基础上降价元， 由题意得：， 解得：， 为了尽快销售完这批商品， ， 答：这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）． （1）求过点B的反比例函数y＝的解析式； （2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式． 【答案】（1）y= （2）直线BD的解析式为y=-2x+20 【解析】 【分析】（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）证明△OBF∽△BDF，利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可． 【小问1详解】 解：过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图， ∵A（3，4）， ∴OE=3，AE=4， ∴AO==5， ∵四边形OABC是菱形， ∴AO=AB=OC=5，AB∥x轴， ∴EF=AB=5， ∴OF=OE+EF=3+5=8， ∴B（8，4）， ∵过B点的反比例函数解析式为y=， 把B点坐标代入得k=32， ∴反比例函数解析式为y=； 【小问2详解】 解：∵OB⊥BD，即∠OBD=90°， ∴∠OBF+∠DBF=90°， ∵∠DBF+∠BDF=90°， ∴∠OBF=∠BDF， 又∵∠OFB=∠BFD=90°， ∴△OBF∽△BDF， ∴， ∴， 解得DF=2， ∴OD=OF+DF=8+2=10， ∴D（10，0）． 设BD所在直线解析式为y=k1x+b， 把B（8，4），D（10，0）分别代入得：， 解得． ∴直线BD的解析式为y=-2x+20． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 在中，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为_______，直线与所成锐角的度数为_______； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值及直线与所成锐角的度数并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，当时，．求的长度． 【答案】（1），； （2），， 理由：如图2， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ，即， ∴， ，， ∵， ∴， ， 即直线CD与AP所成锐角度数为； （3）． 【解析】 【分析】（1）先判断和是等边三角形，进而得出，，进而判断，即可得出答案； （2）先判断和是等腰直角三角形，进而得出，进而，判断即可求出答案； （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，由题意得：，进而得到，得出，再判断，得到，求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 由旋转知， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 延长交于，于， 则为直线与所成锐角， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ，， ∴， ， 同理可得： ， ，即， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 九江市2024－2025学年度上学期期末考试 九年级数学试题卷 本试卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面表格中．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币都是正面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. y随x的增大而增大 C. 点在反比例函数的图象上 D. 当时， 5. 如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　 ） A. B. C. D. 6. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_______． 8. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于_______ 9. 一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在，则袋子中的黄球有_______个 10. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为______ 11. 如图，一条笔直的公路边有一路灯OP，距离路灯1.5米处有一棵垂直于地面的小树DE，影长米．为了测量树高，小明在路灯的另一侧距离路灯9米远处的地面竖起一根1.5米的竹杆AB，经测量AB的影长米，则小树的高度是______． 12. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，电路图上有1个电源、4个开关和1个完好的小灯泡． （1）若随机闭合个开关，小灯泡发光是___事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）若随机闭合2个开关，求小灯泡发光的概率． 15. 如图，在中，D为上一点，．求的长． 16. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 17. 如图，在矩形中，，分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作出的边上的中线； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 19. 如图，已知是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． （1）求的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 20. 课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少? （2）国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）． （1）求过点B的反比例函数y＝的解析式； （2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式． 六、（本大题共12分） 23. 在中，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为_______，直线与所成锐角的度数为_______； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值及直线与所成锐角的度数并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，当时，．求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $