精品解析：安徽省池州市贵池区2024—2025学年上学期九年级期末检测数学试卷

九年级（上）数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的二次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列图形中不是位似图形的为（ ） A. B. C. D. 4. 三角函数、、之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在截取，点就是线段的黄金分割点．若，则（　　） A. B. C. D. 6. 如表给出了二次函数（）的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 1 0.49 ﹣0.04 ﹣0.59 ﹣1.16 … A. 0.09 B. 1.19 C. 1.29 D. 1.39 7. 如图，在中，中线与中线相交于点G，连结．下列结论成立的是（   ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为( ) A. B. C. D. 9. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③⑤ D. ①④⑤ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，那么线段a和b的比例中项为_________． 12. 如图，在由正三角形构成的网格图中，三点均在格点上，则的值为___________． 13. 如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝____． 14. 如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则______； （2）连接，交于点，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算: . 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都位于格点（网格线的交点）上，按要求完成下列任务． （1）画出关于直线的轴对称图形（点，，的对应点分别为，，）． （2）以点为位似中心，在网格中出画出，使得与位似，且位似比为（点，，的对应点分别为，，）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 18. 如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ． （1）求的长； （2）求的正弦值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某景区纪念品超市以50元每个的价格新进一批工艺摆件，经过一段时间的销售发现日销量y（个）与单个售价x（元）之间的函数关系如图． （1）根据图象，求出y与x的函数关系式； （2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 20. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管（其中C、D、E三点共线）的长度为0.6米．（参考数据：） （1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）； （2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点，点的坐标为，轴，且，． （1）求点坐标和反比例函数表达式，并求出一次函数的表达式． （2）连接，求的值． （3）观察图象请直接写出关于的不等式的解集． 七、（本题满分12分 22. 如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）请求出点，，的坐标； （2）若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值； （3）若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标． 八、（本题满分14分） 23. 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的二次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 2. 已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案． 【详解】A．，则5y=6x，故此选项错误； B．，则xy=30，故此选项错误； C．，则5y=6x，故此选项错误； D．，则5x=6y，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积． 3. 下列图形中不是位似图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A三个图形中的两个图形是位似图形；故A不符合题意， B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故B符合题意， 根据位似图形的概念，C三个图形中的两个图形是位似图形；故C不符合题意， 根据位似图形的概念，D三个图形中的两个图形是位似图形；故D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 4. 三角函数、、之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 5. 采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在截取，点就是线段的黄金分割点．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及巧妙运用勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，， ． 又， ． 又， ， 则， ． 故选：C． 6. 如表给出了二次函数（）的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 1 0.49 ﹣0.04 ﹣0.59 ﹣1.16 … A. 0.09 B. 1.19 C. 1.29 D. 1.39 【答案】B 【解析】 【分析】观察表中数据得到二次函数与x轴的一个交点在和之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的一个根的近似值． 【详解】当时，， 当时，， 二次函数与x轴的一个交点在和之间， 方程的一个根在1.1到1.2之间， 故选：B． 【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根． 7. 如图，在中，中线与中线相交于点G，连结．下列结论成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中线性质，以及中位线的判定与性质，关键是掌握相似三角形的性质．由分别为的中点，分别是、的中点，得到是的中位线，推出，，进而得到，由相似三角形的性质即可判断选项A、B、C，再利用三角形中线性质，即可判断D项． 【详解】解：与是的中线， ，分别是、的中点， ，， ， ， 即， 故选项A错误，不符合题意； ， ， 故选项B错误，不符合题意； ， ， ， 故选项C正确，符合题意； 是的中线， ， 是的中线， 是的中点， 是的中线， ， ， ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证，利用相似三角形性质得到，即，在直角三角形ABD中易得，从而解出DC，得到△ABC的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可 【详解】 易证 即 由题得 解得 的高易得： 故选B 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC的长度 9. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象．根据一次函数与反比例函数图象找出、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、三象限， ∴， 对于二次函数， ∴对称轴为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧；排除选项A和B； ∵反比例函数的图象在第二象限内， ∴，则， ∴二次函数的图象与轴交点在轴下方， 满足上述条件的函数图象只有选项D． 故选：D． 10. 如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③⑤ D. ①④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象判断时，y的取值． 【详解】解：抛物线开口向下，与y轴的交点位于正半轴， ，， 对称轴在y轴右侧， a，b异号， ， ， 故①正确； 对称轴是直线， ， ， ， 故②正确； 抛物线与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线， 抛物线与x轴的另一交点在点和之间，如图： 当时，， ， 故③错误； 由图可知，当时，y有最大值， 即， （m为实数）； 故④正确； 如上图，当时，可能大于0，也可能小于0， 故⑤错误； 综上可知，正确的有①②④， 故选B． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，那么线段a和b的比例中项为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，若，那么c是a，b的比例中项，据此列式求解即可． 【详解】解：设线段a和b的比例中项为x， 由题意得，， ∴， ∴或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴线段a和b的比例中项为， 故答案为：． 12. 如图，在由正三角形构成的网格图中，三点均在格点上，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，然后设正三角形构成的网格线段长为，分别求出直角边，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定理即可求出． 【详解】解：由正三角形的性质可知， 设正三角形构成的网格线段长为， 在中，，， 根据勾股定理，可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 13. 如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝____． 【答案】 【解析】 【详解】 过点D作， 则， 由相似三角形性质得， ， 而， 则， 由于， 所以 故答案为：12． 14. 如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则______； （2）连接，交于点，则______． 【答案】 ①. ②. ##0.4 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）过点A作，利用等面积法得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴在，， ∵以为直角边作等腰，且， ∴， 故答案为：； （2）过点A作于G，如图所示： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算: . 【答案】 【解析】 【分析】分别将cos30°，tan60°，sin45°，cos45°的值代入计算即可. 【详解】解：原式= = = = 【点睛】本题考查特殊角度的三角函数值的计算，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键. 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都位于格点（网格线的交点）上，按要求完成下列任务． （1）画出关于直线的轴对称图形（点，，的对应点分别为，，）． （2）以点为位似中心，在网格中出画出，使得与位似，且位似比为（点，，的对应点分别为，，）． 【答案】（1） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质分别找出点A、B、C的对应点，，，顺次连接即可得答案； （2）连接OA并延长OA到A2，根据网格特征使OA2=3OA，同理找出点B、C的对应点B2、C2，顺次连接即可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求： 【点睛】本题考查作图——轴对称变换及位似变换，正确利用网格，根据轴对称及位似图形的性质找出对应点是解题关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 18. 如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ． （1）求的长； （2）求的正弦值． 【答案】（1）长为20． （2）的正弦． 【解析】 【分析】（1）由的余弦求出的长，得到长，由勾股定理即可解决问题． （2）过C作于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题． 【小问1详解】 【小问2详解】 作于H 的面积 的正弦值是 【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某景区纪念品超市以50元每个的价格新进一批工艺摆件，经过一段时间的销售发现日销量y（个）与单个售价x（元）之间的函数关系如图． （1）根据图象，求出y与x的函数关系式； （2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式； （2）设每天的利润为元，根据利润（销售单价成本单价）销售量可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：设（为常数）， 将点代入，得， 解得：， 与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为W元，由题意得： ， ，抛物线开口向下， ∴当时，W有最大值，． ∴销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元． 20. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管（其中C、D、E三点共线）的长度为0.6米．（参考数据：） （1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）； （2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 【答案】（1）1.6米 （2）0.6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形； （1）过B作于解，求出的长即可； （2）易得四边形为矩形，求出的长，分别解，，求出的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：过B作于 ， 在中，， 米，， 米． 答：水平横管到水平线的距离约为1.6米； 【小问2详解】 ， ∴四边形为矩形， 米， 米， （米）， 在中，， 米． 又在中，， 米，， 米 米． 米， 答：水平横管的长度约为0.6米． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点，点的坐标为，轴，且，． （1）求点坐标和反比例函数表达式，并求出一次函数的表达式． （2）连接，求的值． （3）观察图象请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据的长及的正切求出的长，进而得出点的坐标，进一步可求出反比例函数的解析式，再求出点的坐标，由、两点的坐标即可求出一次函数的解析式； （2）根据题意，分别求出及的面积即可解决问题； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：轴， ， 在中，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将点代入直线中， 得， ， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由，得， 点的坐标为， ， 又点的坐标为， ， ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 关于的不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式、反比例函数和一次函数的图象与性质、解直角三角形、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 七、（本题满分12分 22. 如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）请求出点，，的坐标； （2）若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值； （3）若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标． 【答案】（1），， （2） （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于的一元二次方程即可得出点、的坐标，再令抛物线解析式中求出值即可得出点坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分，和三种情况考虑，根据等腰直角三角形的性质结合点、点的坐标找出点的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，再代入点坐标中即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时， 解得：，， ， 当时，， ， ， ； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 由得， 解得， 直线的解析式为， 轴， 、的横坐标相同，并且、分别在抛物线和直线上， 设， 在第二象限， ， ， ，抛物线开口向下， 时，长度最大，最大值为； 【小问3详解】 解：在抛物线上存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下： 假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： 当时，设与轴交于，如图2， ，， ， ， ，， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为； 当时， 为等腰直角三角形， ， 又， 在上， 过作于，如图， 则， ， ， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为； 当时，，如图， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为，， ， 综上所述，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识点，解答本题的关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 八、（本题满分14分） 23. 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）＝； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是矩形，得出，，再证明，即可得解； （3）过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出．设，则，设，则，由勾股定理可得，再证明，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：过点N作于点H， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作于点N，交的延长线于点M，连接， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得 (舍去)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $