精品解析：湖南省株洲市天元区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期七年级期末考试 数学试题卷 时量120分钟．满分120分． 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年6月25日14时7分，嫦娥六号携带月球背面样品成功返回地球，历时53天，38万公里的太空往返之旅，创造中国航天新的世界纪录．其中克服温差之大也是一大创举，月球表面的最高温度零上，记作，最低温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 字母x说：我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的数．那么表示的数（ ） A. 一定是负数 B. 一定是正数 C. 是0 D. 以上都有可能 3. 如图，数轴上被爱心遮盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 4.4 4. 在古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ） A. B. C. D. 5. 下列变形错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（ ） A. B. C. D. 7. 在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 中国古代涌现包括“铸、钧、镒、铢”等在内的质量单位，而现代的质量单位有：吨（）、千克（）、克（）、毫克（）、微克（）等．其中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知线段，点是直线上一点，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. 或 B. C. D. 或 10. 如图，将若干个点按一定规律排列，第1幅图中的点数为1，第2幅图中的点数为5，第3幅图中的点数为9，第4幅图中的点数为，…．照这样的规律排列，第幅图中的点数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 单项式的系数是_____． 12. 洲际弹道导弹是一种能够携带核弹头或常规弹头的远程导弹，主要用于跨大陆的战略攻击任务．作为现代核威慑战略的核心武器之一，它具备极大的毁灭性．2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约12000公里，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．其中12000公里用科学记数法表示为___公里． 13. 华罗庚是我国现代数学的代表人物之一，也是世界著名的数学家，一生致力于数学研究与发展．他从初中毕业文凭起步，自强不息，自学成才，留下10多部专著和200多篇学术论文，“华氏定理”更是载入国际数学史册．华罗庚纪念馆之前累计接待中外参观者a万人，为容纳更多的参观者进行了新馆扩建，若之后每年平均接待参观者b万人，则c年后累计接待的总人数将达到______万人．（用含a，b，c的代数式表示） 14. 下列生产现象中，不可以用“两点确定一条直线”来解释的有________．（填序号） ①经过刨平的木板上的两个点可以弹出一条墨线；②建筑工人通过在两个钉子之间拉一条绳子砌墙；③把弯曲的公路改直就可以缩短路程． 15. 已知关于多项式的值与无关，则的值为________． 16. 华为手机一经问世，由于其性能遥遥领先于其它品牌手机，市场出现供不应求，导致消费者需加价才能买到手机，若该手机加价以后，每台售价为8280元，则该品牌手机每台原价为_______元． 17. 如图，将一副三角板的两个直角顶点重合摆放到桌面上，若，则________． 18. 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．我们称使得成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为（m，n）．若（8，n）是“神奇数对”，且关于x的方程3x﹣6＝n与2x﹣1＝3k的解相等，则k的值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 解方程（组）： （1）解方程：； （2）解方程组． 21. 如图1是一个长为，宽为的长方形，按图中虚线用剪刀平均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）试用含x，y的式子表示图2中阴影部分的面积； （2）若，，求的值． 22. 对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|． （1）计算：2⊙（﹣3）的值； （2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b． 23. 国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地． 为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人， 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 （1）国庆7天，________日的实际访问量最大； （2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）； 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 差值/万人 ________ ________ （3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位） （4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？ 24. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 25. 数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 26. （1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期七年级期末考试 数学试题卷 时量120分钟．满分120分． 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年6月25日14时7分，嫦娥六号携带月球背面样品成功返回地球，历时53天，38万公里的太空往返之旅，创造中国航天新的世界纪录．其中克服温差之大也是一大创举，月球表面的最高温度零上，记作，最低温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，根据零上记为“”，可知零下记为“”，可得答案． 【详解】因为零上记作， 所以零下记作． 故选：B． 2. 字母x说：我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的数．那么表示的数（ ） A. 一定是负数 B. 一定是正数 C. 是0 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对有理数的认识，相反数，x可以表示正数，负数或0，而是x的相反数，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵是x的相反数， ∴当x表示正数时，表示负数； 当x表示负数时，表示正数； 当x表示0时，表示0； ∴表示正数，负数或0． 故选：D． 3. 如图，数轴上被爱心遮盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 4.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小关系．根据数轴得到被被墨水遮盖的数在之间，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，被墨水遮盖的数在之间， ∵， ∴被墨水遮盖的数可能是； 故选：B． 4. 在古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数是解题的关键．先由图1可得白色表示负数，黑色表示正数，然后观察图2列式即可． 【详解】解：由图1知：白色表示负数，黑色表示正数， ∴图2表示的过程是在计算． 故选A． 5. 下列变形错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题关键． 根据等式的性质逐项分析即可解答． 【详解】解：A、两边乘，得到，故A不符合题意； B、当时，等式不一定成立，故B符合题意； C、等式两边同时乘以，然后同时加1，等式仍成立，即，故C不符合题意； D、分子分母都乘以，则，故D不符合题意． 故选：B． 6. 李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据多项式的相关概念逐项判断即可得解． 【详解】解：A、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是5，故不符合题意； B、是一个五次三项式，故不符合题意； C、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是，故不符合题意； D、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是，故符合题意； 故选：D． 7. 在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据等式的性质，进行化简即可． 【详解】解：， 方程的两边同时乘以，得：； ∴； 故选B． 8. 中国古代涌现包括“铸、钧、镒、铢”等在内的质量单位，而现代的质量单位有：吨（）、千克（）、克（）、毫克（）、微克（）等．其中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方意义求解即可，解决本题的关键是熟练掌握有理数的乘方意义． 【详解】解：，，， ． 故选：A． 9. 已知线段，点是直线上一点，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．根据题意分两种情况，①如图1，由，，可得的长度，由线段的中点的性质可得即可得出的长度；②如图2，由，，可得，根据线段中点的性质可得，即可得出的长度． 【详解】解：①如图1， ∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴； ②如图2， ∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴； ∴的长为或． 故选：D． 10. 如图，将若干个点按一定规律排列，第1幅图中的点数为1，第2幅图中的点数为5，第3幅图中的点数为9，第4幅图中的点数为，…．照这样的规律排列，第幅图中的点数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查代数式，图形规律探索，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先根据前几个图形点数，即可发现规律，从而得到第个图摆放圆点的个数，将代入即可求解． 【详解】解：观察图形可知：第1幅图中的点数为，即， 第2幅图中的点数为5，即 第3幅图中的点数为9，即 第4幅图中的点数为；即 … 第幅图摆放的点数为：， 当时，， 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 单项式的系数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数的定义，根据单项式的系数即为单项式中的数字因数求解即可． 【详解】解：的系数是， 故答案为： 12. 洲际弹道导弹是一种能够携带核弹头或常规弹头的远程导弹，主要用于跨大陆的战略攻击任务．作为现代核威慑战略的核心武器之一，它具备极大的毁灭性．2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约12000公里，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．其中12000公里用科学记数法表示为___公里． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解∶， 故答案为∶． 13. 华罗庚是我国现代数学的代表人物之一，也是世界著名的数学家，一生致力于数学研究与发展．他从初中毕业文凭起步，自强不息，自学成才，留下10多部专著和200多篇学术论文，“华氏定理”更是载入国际数学史册．华罗庚纪念馆之前累计接待中外参观者a万人，为容纳更多的参观者进行了新馆扩建，若之后每年平均接待参观者b万人，则c年后累计接待的总人数将达到______万人．（用含a，b，c的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意并正确列式是解题关键．由新馆扩建之后每年平均接待参观者b万人，则c年累计接待的人数为万人，再加上之前累计接待a万人，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，c年后累计接待的总人数将达到万人， 故答案为：． 14. 下列生产现象中，不可以用“两点确定一条直线”来解释的有________．（填序号） ①经过刨平的木板上的两个点可以弹出一条墨线；②建筑工人通过在两个钉子之间拉一条绳子砌墙；③把弯曲的公路改直就可以缩短路程． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查两点确定一条直线和两点之间线段最短的应用，熟练掌握两点确定一条直线；两点之间，线段最短是解题的关键．根据两点确定一条直线和两点之间线段最短逐项判断即可求解． 【详解】解：①经过刨平的木板上的两个点可以弹出一条墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释； ②建筑工人通过在两个钉子之间拉一条绳子砌墙，可以用“两点确定一条直线”来解释； ③把弯曲的公路改直就可以缩短路程，可以用“两点之间线段最短”来解释． 综上可知不可以用“两点确定一条直线”来解释的有③． 故答案为：③． 15. 已知关于多项式的值与无关，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式、乘方的运算等知识点，先根据题意求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的值与x无关， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1． 16. 华为手机一经问世，由于其性能遥遥领先于其它品牌手机，市场出现供不应求，导致消费者需加价才能买到手机，若该手机加价以后，每台售价为8280元，则该品牌手机每台原价为_______元． 【答案】7200 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该品牌手机每台原价为元，根据“该手机加价以后，每台售价为8280元”，进行列式作答即可． 【详解】解：设该品牌手机每台原价为元， 依题意：， 解得， 则该品牌手机每台原价为7200元． 故答案为：7200． 17. 如图，将一副三角板的两个直角顶点重合摆放到桌面上，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角的计算，由题意得，结合图形可得，，据此求解即可得，熟练掌握各个角之间的关系是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故答案为：． 18. 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．我们称使得成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为（m，n）．若（8，n）是“神奇数对”，且关于x的方程3x﹣6＝n与2x﹣1＝3k的解相等，则k的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得，求出n的值，即可求方程3x-6=n的解为x=5，再将x=5代入方程2x-1=3k，即可求k的值． 【详解】解：∵（8，n）是“神奇数对”， ∴， ∴n=9， ∴3x-6=9， ∴x=5， ∵方程3x-6=n与2x-1=3k的解相等， ∴10-1=3k， ∴k=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，理解同解方程的定义是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算和整式的加减运算； （1）根据有理数乘方、除法等运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法分配律，展开求解即可； （3）根据整式的加减运算法则，求解即可； （4）根据整式的加减运算法则，求解即可； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 20. 解方程（组）： （1）解方程：； （2）解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的解法，熟练掌握解方程（组）步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解方程即可； （2）用加减法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： 去分母得 ， 去括号得 ， 移项得 ， 合并同类项得 化系数为1： 【小问2详解】 解： ①得：③， ③②得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解是． 21. 如图1是一个长为，宽为的长方形，按图中虚线用剪刀平均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）试用含x，y的式子表示图2中阴影部分的面积； （2）若，，求的值． 【答案】（1）或（写出其中一个即可） （2）13 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，熟练掌握图中阴影部分面积的两种计算方法是解题关键． （1）先求出每个小长方形的长为，宽为，再根据图2中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；根据图2中阴影部分是一个边长为的小正方形，利用正方形的面积公式计算即可得； （2）根据（1）可得，再将，代入计算即可得． 【小问1详解】 解：∵图1是一个长为，宽为的长方形，按图中虚线用剪刀平均分成四个完全相同的小长方形， ∴每个小长方形的长为，宽为． 方法一：∵图2中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积， ∴图2中阴影部分的面积为． 方法二：∵图2中阴影部分是一个边长为的小正方形， ∴图2中阴影部分的面积为， 综上，图2中阴影部分的面积为或． 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵，， ∴． 22. 对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|． （1）计算：2⊙（﹣3）的值； （2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b． 【答案】（1）6；（2）﹣2b 【解析】 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据数轴得出b＜0＜a，且|a|＜|b|，再计算即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：2⊙（﹣3）＝|2＋（﹣3）|＋|2﹣（﹣3）|＝1＋5＝6； （2）从a，b在数轴上的位置可得a＋b＜0，a﹣b＞0， ∴a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|＝﹣（a＋b）＋（a﹣b）＝﹣2b． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23. 国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地． 为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人， 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 （1）国庆7天，________日的实际访问量最大； （2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）； 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 差值/万人 ________ ________ （3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位） （4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？ 【答案】（1）3 （2）0， （3）30.3万人 （4）60万次 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，减法运算，乘法运算以及混合运算的实际应用等知识． （1）可分别求出每一天的访问人数，再比较得出访问量最高的一天即可． （2）根据差值当日实际访问量日标准访问量计算出2日和7日的差值即可． （3）将7日的总访问量相加然后乘以即可得出答案． （4）根据第二问可以求出国庆七天的差值，再根据差值计算交换次数． 【小问1详解】 解：1号访问量人数为(万)， 2日访问人数为(万)， 3日访问人数为(万)， 4日访问人数为(万)， 5日访问人数为(万)， 6日访问人数为(万)， 7日访问人数为(万)． ∵， ∴3日访问人数最多， 故答案为∶3． 【小问2详解】 解：2日的差值为：，7日的差值为：， 故答案为：0， 【小问3详解】 解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)． 【小问4详解】 解：7天总差值为：（万人） ∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换． ∴总交换次数为：（万次） 24. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只． 【解析】 【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可． (2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可． 【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两． 解得: 答:每头牛3两银子,每只羊2两银子． (2)设买牛a头,买羊b只． 3a+2b=19,即． 解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8． 答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买羊8只． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系． 25. 数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【小问1详解】 设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； 【小问3详解】 设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 26. （1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 【答案】（1）3；（2）3；（3）秒或5秒或10秒；（4）15秒或10秒或20秒 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了线段和角倍数关系，新定义的理解和运用等知识，并与方程相结合，运用分类讨论的思想解决问题． （1）根据C是线段的“二倍点”，即可解答； （2）根据射线是的“二倍线”，即可解答； （3）根据线段的“二倍点”的定义分三种情况即可解答； （4）根据的“二倍线”的定义分三种情况即可解答． 【详解】解：（1）当点C是的中点时，， 当点C为靠近B的三等分点时，， 当点C为靠近A的三等分点时，， ∴线段上共有3个“二倍点”； 故答案为∶3； （2）有三种情况∶ ①当为角平分线时，， ②当靠近的三等分线时，， ③当靠近的三等分线时，， ∴内部共有3条“二倍线”； 故答案为∶3； （3）分三种情况∶ ①当点M是的中点时，， ∴， ∴， ②当点M为靠近B的三等分点时，， ∴， ∴， ③当点M为靠近A的三等分点时，， ∴， ∴， 综上：t为秒或5秒或10秒时，点M是线段的“二倍点” （4）有三种情况∶ ①当为角平分线时∶， ∴， ∴， ②当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； ③当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； 综上，t的值是15秒或10秒或20秒时射线是的“二倍线” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $