精品解析：山东省日照市新营中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年度下学期阶段检测 九年级数学试题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，则0，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的乘方运算，实数的大小比较：由可得偶次方为正，奇次方为负，即可进行大小比较． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C． 可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 最近较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2024年2月9日当天，其下载量达到了次的峰值，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图是从上面看到的由个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查简单几何体的三视图的画法，根据俯视图推测出左视图的情况，再根据左视图的画法画出相应的图形即可． 【详解】由俯视图可知知，几何体横向有三排，最高层有三个小方块 即从左面看，是三列三层，其中第一列高为，第二列高为，第三列高为 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，则一架无人机平均每小时喷洒农药（ ） A. 32亩 B. 45亩 C. 60亩 D. 75亩 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意列出分式方程是解题的关键. 设一个人平均每小时喷洒农药x亩，根据题意列出分式方程解答即可. 【详解】解：设一个人平均每小时喷洒农药x亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 故选C 7. 如图，在正方形中，截去后，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用三角形的外角性质解题即可． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示： ∵， ∴. 又∵， ∴， 同理，可求得， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟悉三角形的外角等于与它不相邻的内角和是解题的关键． 8. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让绿灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让绿发光的有2种情况， ∴能让绿发光的概率为． 故选：D． 9. 在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，则，而，所以，因为为的中点，所以，则，求得，即可得解； 【详解】解：取的中点，连接，则， ∵点为的中点，， ， ， ∵为的中点，为的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（ ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，先求出A商品每件售价，再设购买A商品x件，购买B商品y件，然后分打折前购买的总金额不超过600元和打折前购买的总金额超过600元两种情况，根据打折后的金额推出打折前的金额，进而建立方程求出x、y的值，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵A商品每件进价40元，利润率为， ∴A商品每件售价为元， 设购买A商品x件，购买B商品y件， 当打折前购买的总金额不超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当打折前购买的总金额超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； ∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元， ∵， ∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ∴①②③的说法都正确， 故选：D． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 12. 若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有2个整数解，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集是， 不等式组有且只有2个整数解， 这两个整数解是4，5， ， 解得， 故答案为：． 13. 请写出一个正整数的值，使得关于的方程有实数根，那么的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据关于的方程有实数根得到，解得，再写出满足题意的答案即可． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴ ∴， 则正整数满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 14. 如图， 为的外接圆的直径，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，据圆周角定理求出，，计算即可． 【详解】连接， 由圆周角定理得：， 为 的直径， ， ． 故答案为： 15. 如图，以O为圆心，为半径作弧，分别交，于点C，D，再分别以C，D为圆心长为半径作弧，两弧交于点E，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，以及勾股定理，灵活运用菱形的性质和判定是解题的关键． 先判定出四边形是菱形，借助菱形的性质推出，，进而得出，最后再利用勾股定理和菱形性质即可求出． 【详解】解：连接，交于点F， 由题可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴ 故答案为：． 16. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为16时，则x的值为________． 【答案】5或1##1或5 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，整式的乘法，熟练掌握展开式的系数规律是解题的关键．根据系数规律得出，令，，由代数式的值为16得出，进而求出x的值． 【详解】解：由系数规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：5或1． 三．解答题（共72分小题） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中. 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】（1）根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，开立方，实数的计算法则，即可解答； （2）根据完全平方公式，平方差公式，分式的化简求值，分式的加减乘除混合运算法则对原式进行化简，再将代入，根据分母有理化即可求得． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当时， 原式 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，开立方，实数的运算法则，完全平方公式，平方差公式，分式的化简求值，分式的加减乘除混合运算法则，分母有理化等，熟练运用法则计算是解题的关键． 18. 某校为了解七、八年级学生对“新型冠状病毒感染的肺炎防控知识”掌握情况，从七、八年级各随机抽取名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下： a．不完整的七年级成绩频数分布直方图和扇形统计图： b．七年级成绩在这一组的是：70 71 71 72 73 75 75 76 76 77 78 78 78 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数 年级 平均数 中位数 七 75.8 八 79.4 80.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）求的值； （2）表中的值为_________； （3）补充完成七年级成绩频数直方图； （4）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生的成绩在各自的年级中谁更靠前，并说明理由； （5）该校七年级学生500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均分75.8分的人数． 【答案】（1）50 （2）76.5 （3） 补全图如图所示： （4） 甲同学的成绩更靠前．因为甲的成绩大于七年级抽测成绩的中位数，而乙的成绩小于八年级抽测成绩的中位数． （5）270 【解析】 【分析】（1）先求得成绩在60-70这一组占的百分率，再根据频数直方图中在60-70这一组的人数即可求得的值； （2）根据统计图和统计表中的数据和七年级成绩在70≤x＜80这一组的数据，可以求得n的值； （3）先求得80≤x＜90这一组的人数，即可补全频数分布直方图； （4）根据中位数即可判断； （5）根据统计图中的数据和题目中的数据可以计算出七年级成绩超过平均数75.8分的人数． 【详解】解：（1）在扇形统计图中，成绩在60--70这一组占的百分率为： 每个年级抽取的测试的学生数是：（名） ∴的值等于50; （2）∵50≤x＜70的有4+12=16（人），七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 72 73 75 75 76　76 77 78 78 78 79，七年级抽查了50名学生， ∴=（76+77）÷2=76.5， 故答案为：76.5； （3）略 （4）略 （5）七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 72 73 75 75 76　76 77 78 78 78 79，超过75.8分的人数为7人，超过80分的人数为16+4人， ∴， 所以估计估计七年级成绩超过平均数75.8分的人数约为270人． 【点睛】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线经过点． （1）求k，a的值； （2）过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点．判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 如图， 把代入，解得， ， 把代入，解得， ，， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）求得C、D的坐标，即可求得，，得到 【小问1详解】 ∵函数的图象经过点， ； ∴直线经过点， ， ； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接OD， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的切线． （2）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明； （2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积的面积扇形的面积，计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的长为，， ， ， ， ， ， ，， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键． 22. 综合与探究 问题情境： 在中，，为的中点．将以点为中心逆时针方向旋转，点B，C的对应点分别为点，，与的交点为．猜想证明： （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究 （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 【答案】 （1）（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ∴， 根据旋转性质得，， ∴， ∵，为的中点． ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）①解：，理由如下： 连接， ∵，为的中点． ∴，，， ∵以点为中心逆时针方向旋转，点恰好落在边上， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据，得到，根据旋转性质得，，继而得到，根据等腰三角形的性质得到，，得到得证，根据菱形的判定证明即可． （2）①连接，先证明，再证明即可．②过点D作于点M，利用等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：过点D作于点M， ∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）若该二次函数图象与轴的一个交点是． ①求二次函数的表达式： ②当时，函数最大值为，最小值为．若，求t的值； （2）对于该二次函数图象上的两点，当时，始终有．求的取值范围． 【答案】（1）①；②的值为； （2）或． 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式； ②利用配方法得到，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再利用得，所以，根据二次函数的性质，当时，时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，即，则，然后解方程即可； （2）先利用二次函数的图象经过点得到，则可求出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，即，解得或，然后利用得到或，从而得到的范围． 【小问1详解】 解：①把分别代入 得， 解得， ∴抛物线解析式为； ②∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴当时，时，函数有最小值-4，即N=-4， 当或时，函数有最大值，即， ∵， ∴ t2-2t-3-（-4）=3， 解得（舍去），， ∴的值为； 【小问2详解】 ∵二次函数的图象经过点（， ∴， 解得， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵在抛物线上，且， ∴点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离， ∴， ∴或， ∵， ∴或， 解得或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，一元二次方程和不等式组解法，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期阶段检测 九年级数学试题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，则0，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 最近较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2024年2月9日当天，其下载量达到了次的峰值，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是从上面看到的由个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，则一架无人机平均每小时喷洒农药（ ） A. 32亩 B. 45亩 C. 60亩 D. 75亩 7. 如图，在正方形中，截去后，则（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10. 某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（ ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. 若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是_______． 13. 请写出一个正整数的值，使得关于的方程有实数根，那么的值可以是_____．（写出一个即可） 14. 如图， 为的外接圆的直径，如果，那么______． 15. 如图，以O为圆心，为半径作弧，分别交，于点C，D，再分别以C，D为圆心长为半径作弧，两弧交于点E，连接，则的长为___________． 16. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为16时，则x的值为________． 三．解答题（共72分小题） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中. 18. 某校为了解七、八年级学生对“新型冠状病毒感染的肺炎防控知识”掌握情况，从七、八年级各随机抽取名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下： a．不完整的七年级成绩频数分布直方图和扇形统计图： b．七年级成绩在这一组的是：70 71 71 72 73 75 75 76 76 77 78 78 78 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数 年级 平均数 中位数 七 75.8 八 79.4 80.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）求的值； （2）表中的值为_________； （3）补充完成七年级成绩频数直方图； （4）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生的成绩在各自的年级中谁更靠前，并说明理由； （5）该校七年级学生500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均分75.8分的人数． 19. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线经过点． （1）求k，a的值； （2）过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点．判断线段与的数量关系，并说明理由． 21. 如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的长为，求图中阴影部分的面积． 22. 综合与探究 问题情境： 在中，，为的中点．将以点为中心逆时针方向旋转，点B，C的对应点分别为点，，与的交点为．猜想证明： （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究 （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）若该二次函数图象与轴的一个交点是． ①求二次函数的表达式： ②当时，函数最大值为，最小值为．若，求t的值； （2）对于该二次函数图象上的两点，当时，始终有．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $