2024年九年级中考数学一轮复习专题训练：二次函数

2024年数学中考一轮复习专题：二次函数 一、选择题 1．抛物线 的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．将抛物线y＝x2＋4先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝(x－2)2－3 B．y＝(x＋2)2－3 C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x＋2)2＋3 3．将抛物线 绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ， ， 是二次函数 图象上的点，则（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．-或 6．已知二次函数（），经过点P（，12）．当时，的取值范围为．则如下四个值中有可能为的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝3 8．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．若是关于自变量x的二次函数，则n＝　 　． 10．请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式　 　． 11．在二次函数y=3（x+1）2-2中，当x>-1时，y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）． 12．拋物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的两根为　 　. 13．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为.小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需　 　. 14．将二次函数的图象在x轴上方部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线y=x+b与新函数的图象恰好有3个公共点时，b的值为　 　． 15．如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形． （1）当抛物线y＝ax2+1是“美丽抛物线”时，则a＝　 　； （2）若抛物线y＝ax2+k是“美丽抛物线”，则a，k之间的数量关系为 　 　． 16．如图，已知 的半径为2，圆心P在抛物线 上运动；当 与x轴相切时；圆心P的坐标为　 　. 三、解答题 17．已知抛物线的顶点坐标为(2，1)且经过点(－1，－8). （1）求抛物线的解析式； （2）求出抛物线与坐标轴的交点坐标. 18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为A，h＞0． （1）若a＝2，①点A到x轴的距离为　 ； ②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离； （2）已知点A到x轴的距离为4，若此抛物线与直线必有两个交点，分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足，求a的值和h的取值范围． 19．种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓.因受疫情影响，多地封村封路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动.在销售的30天中，第一天卖出20kg，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg.第x天的售价为y元/kg，y关于x的解析式为.第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg.已知种植销售草莓的成本是18元/kg，设第x天的销售量为pkg，利润为W元（利润=销售收入－成本）. （1）k=　 　，b=　 　； （2）请写出p关于x的函数关系式：　 　； （3）求销售草莓第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少元？ 20．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．已知一名男生投实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数解析式； （2）根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4m，此项考试得分为满分17分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 21．如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h，k+），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m，垂足为E、D．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形． （1）直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标以及直径的长． （2）求抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点坐标以及直径的长． （3）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的直径为，求a的值． （4）①已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值． ②直接写出抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点矩形与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：易知对称轴为x=0，将x=0代入可知y=－1，所以顶点坐标为（0，－1）. 故答案为：B 【分析】此函数解析式是顶点式，因此可直接写出顶点坐标。 2．【答案】D 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线 的开口向上，顶点坐标为（0，1）， ∴将抛物线 绕原点O旋转180°后，开口向下，且开口大小不变，排除A，B， 顶点坐标为（0，-1），排除C， 故答案为：D. 【分析】根据函数的解析式找到开口方向和顶点坐标，由旋转的性质即可解题. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵y=-2x2-8x+m=-2（x+2）2+m+8， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x=-2，当x＜-2时，y随x的增大而增大， ∴（1，y3）关于直线x=-2的对称点是（-5，y3）， ∵-5＜-3＜-2， ∴y3＜y1＜y2， 故答案为：A. 【分析】由a<0判断出图象的开口向下，根据对称轴方程求出（1，y3）关于直线x=-2的对称点是（-5，y3），由二次函数的性质可知当x＜-2时，y随x的增大而增大，据此即可判断. 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】D 【解析】【解答】解：A、由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误； B、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B错误； C、当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故C错误； D、因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x＝ ＝3，故D正确. 故答案为：D. 【分析】由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，据此判断A；由二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，据此判断B；由图象可知当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断C；此题告知了抛物线与x轴两交点的坐标，根据抛物线的对称性，对称轴直线一定经过AB的中点，据此可得对称轴直线，从而即可判断D. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：A、根据图象，一次函数a＞0，抛物线a＜0，选项错误，不符合题意； B、根据图象，一次函数a＞0，b＞0，抛物线a＞0，对称轴x=-＞0，b＜0，选项错误，不符合题意； C、根据图象，一次函数a＜0，b＞0，抛物线a＜0，对称轴x=-＜0，b＜0，选项错误，不符合题意； D、根据图象，一次函数a＜0，b＜0，抛物线a＜0，对称轴x=-＜0，b＜0，选项错误，符合题意。 故答案为：D. 【分析】根据一次函数、二次函数的图象得到字母系数a和b的正负，比较核对是否一致即可。 9．【答案】2 【解析】【解答】由题意得： 解得n=2 【分析】根据 是关于自变量x的二次函数， 得解之得出结论. 10．【答案】 （答案不唯一） 【解析】【解答】解：根据题意，抛物线是 形式， 值为负即可， 故答案为： （答案不唯一）． 【分析】根据题意，顶点在y轴上，一次项系数为0，开口向下，二次项系数为负数，如：。 11．【答案】增大 12．【答案】， 13．【答案】36 14．【答案】或-3 【解析】【解答】解：二次函数解析式 =-（x-1） 2+4， ∴顶点坐标为（1，4）， 当y=0时，即=0， 解得：x1=-1，x2=3， ∴抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0）， ∴ 翻折后新函数的解析式为y=（x-1）2-4，顶点坐标（1，-4）， 如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与新图象恰好有三个公共点， ∴3+b=0，解得b=-3， 当直线y=x+b与抛物线y=（x-1）2-4相切时，直线y=x+b与新图象恰好有三个公共点， 即（x-1）2-4=x+b有相等的实数根， 整理x2-3x-b-3=0， ∴△=32-4（-b-3）=0， 解得b=， ∴b的值为-3或. 故答案为： 或-3 . 【分析】分两种情况：①当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与新图象恰好有三个公共点，②当直线y=x+b与抛物线y=（x-1）2-4相切时，直线y=x+b与新图象恰好有三个公共点，据此分别求解即可. 15．【答案】（1）-2 （2）ak＝﹣2 【解析】【解答】解：在抛物线y＝ax2+1 当x=0时，y=1 ∴对称轴为x=0，顶点A（0，1） ∴对称轴与x轴交于点C的坐标为（0，0） ∴AC=1 ∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线 ∴BD=AC=1 由题意可得： 点B，D关于对称轴对称 ∴B（），D()或D（），B() 将()代入抛物线y＝ax2+1可得： 解得：a=-2 故答案为：-2 （2）在抛物线y＝ax2+k 当x=0时，y=k ∴对称轴为x=0，顶点A（0，k） 对称轴与x轴交于点C的坐标为（0，0） ∴AC=k 正方形ABCD中，AC，BD是对角线 ∴BD=AC=k 由题意可得： 点B，D关于对称轴对称 ∴B（），D()或D（），B() 将()代入抛物线y＝ax2+k可得： 解得：（舍去） 则ak＝﹣2 故答案为：ak＝﹣2 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴与顶点坐标，得到BD=AC=k，再根据“美丽抛物线”的定义可得B，D点的坐标，再将点坐标代入抛物线解析式即可求出答案； （2）先求出抛物线的对称轴与顶点坐标，得到BD=AC=1，再根据“美丽抛物线”的定义可得B，D点的坐标，再将点坐标代入抛物线解析式即可求出答案. 16．【答案】（ ，2）或（- ，2）或（0，-2） 【解析】【解答】∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线 上运动， ∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A， ∴PA=2， ∴ 即 ，或 =-2 解得x= 或x=0， ∴P点的坐标为：（ ，2）或（- ，2）或（0，-2） 【分析】根据切线的性质：圆心到x轴的距离等于半径列出方程求解即可。 17．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴； （2）解：令得， 故与轴交点为； 令得， 解得，， ∴与轴交点为或． 18．【答案】（1）解：把代入得，顶点坐标为，点到轴距离为，故答案为：．将代入，得，解得，，．即抛物线与x轴的两个交点之间的距离为 （2）解：点坐标为， ， 解得， 当时，总满足， 当时，随增大而减小， ， 当点在点右侧或与点重合，抛物线开口向下时满足题意 ， 点纵坐标为， 将代入得， 时满足题意， 令，整理得， 抛物线与直线有个交点， ， 解得， ． 19．【答案】（1）根据题意，得12k-76k=32，解得 ；故答案为：．；∵ b是常数，b就是第26天的售价，∴b=25，故答案为：25． （2）∵ 以后每天比前一天多4kg，∴第x天的销售量就是，∴p=4x+16，故答案为：p=4x+16． （3）当1≤x＜20时， W= (4x+16)( )-(4x+16)×18 =， 故当x=18时，W=968， 即第18天的利润最大，最大利润为968元； 当20≤x≤30时， W= (4x+16)×25- (4x+16)×18 =28x+112， ，y随x的增大而增大， 故当x=30时，W=840+112=952， 即第30天的利润最大，最大利润为952元； ∵968＞952， ∴第18天的利润最大，最大利润为968元． 20．【答案】（1）解：根据题意设y关于x的函数表达式为： ， 把（0，2）代入解析式得， ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为：； （2）解：该生在此项考试中得不到满分，理由： 当y＝0，则，， 解得：x1＝12，x2＝﹣1（舍去）， ∵12＜12.4， ∴该生在此项考试中得不到满分． 21．【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2， ∴此抛物线焦点的横坐标是0，纵坐标是：0+＝1， ∴抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，1）， 将y＝1代入y＝x2，得x1＝﹣2，x2＝2， ∴此抛物线的直径是：2﹣（﹣2）＝4； （2）解：∵y＝（x﹣3）2+2， ∴此抛物线的焦点的横坐标是：3，纵坐标是：2+＝3， ∴焦点坐标为（3，3）， 将y＝3代入y＝（x﹣3）2+2，得， 3＝（x﹣3）2+2， 解得，x1＝5，x2＝1， ∴此抛物线的直径时5﹣1＝4； （3）解：∵焦点A（h，k+）， ∴k+＝a（x﹣h）2+k， 解得x1＝h+，x2＝h﹣， ∴直径为：h+﹣（h﹣）＝＝， 解得，a＝±， 即a的值是±； （4）解：①由（3）得，BC＝， 又CD＝A'A＝， 所以，S＝BC•CD＝×＝＝2， 解得，a＝±； ②当1﹣＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点， 理由：由（2）知抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点矩形顶点坐标分别为： B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1）， 当y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1过B（1，3）时，m＝1﹣或m＝1+（舍去）， 过C（5，3）时，m＝5﹣（舍去）或，m＝5+， ∴当m＝1﹣或m＝5+，时，1个公共点； 当1﹣＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点． 由图可知，公共点个数随m的变化关系为： 当m＜1﹣时，无公共点； 当m＝1﹣时，1个公共点； 当1﹣＜m≤1时，2个公共点； 当1＜m＜5时，3个公共点； 当5≤m＜5+时，2个公共点； 当m＝5+时，1个公共点； 当m＞5+时，无公共点； 由上可得，当1﹣＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点． 【解析】【分析】（1）根据题意可求得抛物线y＝x2， 的焦点坐标以及直径的长； （2）根据题意可求得抛物线 y＝（x﹣3）2+2， 的焦点坐标以及直径的长： （3）根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的直径为，且焦点A，可求得a的值： （4）①利用矩形的性质和抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，即可求得a的值； ②当1﹣＜m≤1或5≤m＜5+时， 根据（2）的结果和图形可得抛物线 y＝（x﹣3）2+2的焦点矩形 与抛物线 y＝x2﹣2mx+m2+1 有两个公共点时，即可求得m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$