精品解析：广东省广州市天河区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024学年第一学期学业水平调研 八年级数学 本试卷共6页，分两卷，1卷共20题80分，1卷共3题40分，满分120分．调研时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． Ⅰ卷 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 3. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（） A. B. C D. 6. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ） A 5 B. 7 C. 7．5 D. 10 7. 如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（　　） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A. B. C. D. 9. 如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（ ） A. 小正方形的边长为 B. 大正方形边长为 C. 图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为 D. 若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为 二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 点关于轴对称的点的坐标是_____． 12. 我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为______． 13. 如果一个正多边形的内角和是它外角和的两倍，则的值为______． 14. 已知，，则的值为__________． 15. 如图，，，．点P在线段上，点Q在线段上．若与全等，则的长为_________． 三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 17. 已知：如图，点E，C在线段上，且，，．求证． 18. 已知． （1）化简A； （2）从的范围内选取一个合适的整数作为x的值，求A的值． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求的度数． 20. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． Ⅱ卷 四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 21. 阅读两则材料，然后根据材料解决问题： 【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 解决以下4个问题： （1）如图1，在中，，，，写出图中的一对“等角三角形”； （2）如图2，中，，，是的角平分线．求证：为的“等角分割线”； （3）在中，，是的等角分割线，则的度数可以是（ ） A． B． C． D． 22. 本学期研究完三角形全等条件后，小天同学和小河同学对全等产生了浓厚的兴趣，两人开始思考：如何判定两个四边形全等呢？ 小天认为：既然可以利用“边边边（）”证明两个三角形全等，那么只要满足四组边对应相等，即可证明两个四边形全等． 小河同学立刻提出了反对意见，并举出了一个反例． 请根据以上信息解答下列问题： （1）结合给定的四边形（图），用直尺和圆规把小河举出的反例画出来，即画一个满足条件的四边形，与四边形不全等；（保留作图痕迹，可在图中画，也可以另画一个） （2）沿着小河的思路，你认为至少添加几个角可以判定两个四边形全等？请在横线上添加条件并给予证明；（注：能够完全重合的两个图形称为全等图形，即各边相等，各角相等的两个四边形全等、） 已知：如图，，，，，_____________． 求证：四边形四边形． （3）根据以上探究，我们知道当图形的某些边和角确定后，图形也就唯一确定下来．在图，分别延长四边形的边和，交点为，若，，分别是的边，，的长，且满足，，，求分式的值． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点与点B关于x轴对称，． （1）求的度数； （2）如图2，在的延长线上取一点D，使得，求证； （3）如图3，点D为线段上一动点，连接，在左侧以为边作等边，当点D在线段上运动时，点M随之运动，当取得最小值时，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期学业水平调研 八年级数学 本试卷共6页，分两卷，1卷共20题80分，1卷共3题40分，满分120分．调研时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． Ⅰ卷 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：根据题意可得，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：B． 3. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查的是负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的计算方法计算即可． 【详解】， 故选C． 4. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论． 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点Q，则，由两点之间线段最短可知，此时管道长度最短． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂相除法则、积的乘方法则、单项式乘以单项式法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 7．5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，由角平分线性质，得，然后求出的面积即可． 【详解】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图： ∵为的角平分线，于点， ∴， ∴的面积为：； 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行计算． 7. 如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先求解 可得 从而可得答案. 【详解】解： 是等边三角形， ， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键. 8. 如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可． 【详解】A、补充，不能判定，故A错误； B、补充，可根据判定，故B正确； C、补充，可根据判定，故C正确； D、补充，可根据判定，故D正确． 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 9. 如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：D． 10. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（ ） A. 小正方形的边长为 B. 大正方形的边长为 C. 图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为 D. 若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，观察两个图发现，①图中大正方形的边长等于a减去两个小正方形的变形，②图中大正方形的边长等于b加上两个小正方形的变形，据此可求出大、小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去4个小正方形的面积，即可求出图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积；根据长方体的体积公式即可求出图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体的体积． 【详解】解：根据题意，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为，若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为， 故选项A、C、D正确，选项B错误， 故选：B． 二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数．根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如果一个正多边形的内角和是它外角和的两倍，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和公式和外角和的度数．根据任意正多边形的外角和都为，利用多边形的内角和公式，列出关于n的方程，解方程求出n即可． 【详解】解：∵正多边形的外角和都为， ∴， ， ， 故答案为：6． 14. 已知，，则的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，运用相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：12 15. 如图，，，．点P在线段上，点Q在线段上．若与全等，则的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质，能求出符合题意的所有情况是解题的关键；由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， 则， ∴； ②当时， 则， ∴ 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法与因式分解，解题的关键是： （1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）先提取公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 已知：如图，点E，C在线段上，且，，．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据等式的性质得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 已知． （1）化简A； （2）从的范围内选取一个合适的整数作为x的值，求A的值． 【答案】（1） （2）当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则，以及分式有意义的条件：分母不为0． （1）先将括号内通分，各个分子分母进行因式分解，再根据分式混合运算的顺序和运算法则进行化简即可； （2）根据分式有意义的条件，得出x的值，再将x的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：根据题意支：，，， 解得，，， 又， ∴整数x为0或， 当时，原式； 当时，原式． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确的作出垂直平分线． （1）依据线段垂直平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理求出，由线段垂直平分线的性质可知，由等边对等角得到，然后求出的度数即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 20. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 【答案】原计划每天收割5公顷的水稻 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程解， 答：原计划每天收割5公顷的水稻． Ⅱ卷 四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 21. 阅读两则材料，然后根据材料解决问题： 【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 解决以下4个问题： （1）如图1，在中，，，，写出图中一对“等角三角形”； （2）如图2，中，，，是的角平分线．求证：为的“等角分割线”； （3）在中，，是的等角分割线，则的度数可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）与（答案不唯一） （2）见解析 （3）ACD 【解析】 【分析】（1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与，与，与是等角三角形； 【小问2详解】 证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； 【小问3详解】 解：∵是的等角分割线， ∴， 当是等腰三角形，和是等角三角形时， ①如图，时，， ∴， ∴； ②如图，时，， ， ∴， ∴； ③时，， ∴，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当是等腰三角形，和是等角三角形时， ④如图，时， ， ⑤如图，时， ， 设， 则， 由题意得，， 方程无解，不符合题意，舍去， ⑥如图，时， 设，则， ∴， 解得， 综上的度数为或或或， 故选：ACD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，一元一次方程的应用等知识，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 22. 本学期研究完三角形全等的条件后，小天同学和小河同学对全等产生了浓厚的兴趣，两人开始思考：如何判定两个四边形全等呢？ 小天认为：既然可以利用“边边边（）”证明两个三角形全等，那么只要满足四组边对应相等，即可证明两个四边形全等． 小河同学立刻提出了反对意见，并举出了一个反例． 请根据以上信息解答下列问题： （1）结合给定的四边形（图），用直尺和圆规把小河举出的反例画出来，即画一个满足条件的四边形，与四边形不全等；（保留作图痕迹，可在图中画，也可以另画一个） （2）沿着小河的思路，你认为至少添加几个角可以判定两个四边形全等？请在横线上添加条件并给予证明；（注：能够完全重合的两个图形称为全等图形，即各边相等，各角相等的两个四边形全等、） 已知：如图，，，，，_____________． 求证：四边形四边形． （3）根据以上探究，我们知道当图形的某些边和角确定后，图形也就唯一确定下来．在图，分别延长四边形的边和，交点为，若，，分别是的边，，的长，且满足，，，求分式的值． 【答案】（1）见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）根据题意画图即可； （）添 （答案不唯一） ，连接、 1， 证明得， ，， 证明得 ，，则 ，由全等四边形的判定即可得出结论； （）根据对，，进行倒数，则可求出，然后按照分式的加减运算求出，最后进行倒数即可求解； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、尺规作图、分式的化简求值等内容，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示， 由于四边形是正方形，四边形是菱形，二者的边长相等，但二者不全等； 【小问2详解】 解：添加（答案不唯一），连接、， 在和 中， ， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴四边形四边形； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， 同理可得：，， ∴ ， 即， ∴， ∴． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点与点B关于x轴对称，． （1）求的度数； （2）如图2，在的延长线上取一点D，使得，求证； （3）如图3，点D为线段上一动点，连接，在左侧以为边作等边，当点D在线段上运动时，点M随之运动，当取得最小值时，求此时的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据A，B关于x轴对称，则，结合已知可证是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解即可； （2）根据等边对等角求出，根据三角形内角和定理可求出，进而求出，然后根据等角对等边即可得证； （3）连接，过点O作于点J．证明，得出，则点M在射线上运动（），根据含的直角三角形的性质求出，当点M与J重合时，的值最小，此时． 【小问1详解】 解：∵A，B关于x轴对称， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点O作于点J． ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴点M在射线上运动（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点M与J重合时，的值最小，此时． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，轴对称的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$