2025年九年级中考数学几何综合压轴题难题训练

中考数学几何综合压轴题初三难题训练 1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD和正三角形 AEF都内接于eO , EF与BC , CD分别相交 于点G ， H，则-EF的值是（） GH 第1页（共29页） 第1页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 A.—— B. 2 C. . 3 D. 2 2 2.（2015遵义中考）将正方形 ABCD绕点A按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB1GD1，B^!交CD 于点E， AB 3，则四边形A^ED的内切圆半径为（ ） A. D. 3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为 90°的扇形OAB中，半径 OA 6 Di 2cm，C为弧AB的中点, D，E分别是OA，OB的中点，则图中影阴部分的面积为 cm2 . 到E，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE是eO的切线； (2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD及切线BE的长. 4. (2016常德中考)如图，已知 eO是VABC的外接圆， AD是eO的直径，且 BD BC，延长 AD 4. (2016常德中考)如图，已知 eO是VABC的外接圆， AD是eO的直径，且 BD BC，延长 AD 第#页(共29页) 第#页(共29页) 学科网（北京）股份有限公司 5. (2016岳阳中考)数学活动 旋转变换 (1) 如图①，在 VABC中， ABC 130°，将VABC绕点C逆时针旋转500得到VABC，连接 BB，求 ABB的大小； (2) 如图②，在 VABC中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC绕点C逆时针旋转 60° 得到VABC，连接BB，以A为圆心，AB长为半径作圆. (I)猜想：直线 BB与e A的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB，求线段AB的长度； (3) 如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n，将 VABC 绕点 C 逆 180°得到VABC，连接AB和BB，以A为圆心，AB长为半时针旋转2角度0° 2 径作圆，问：角 与角 满足什么条件时，直线 BB与e A相切，请说明理由，并求此条件 下线段AB的长度(结果用角 或角 的三角函数及字母 m, n所组成的式子表示) BE父于点F . 6. (2016成都中考)如图，在 RtVABC中， ABC 90°，以CB为半径作eC，交AC于点D，交AC 的延长线于点 E，连接BD , BE . (1)求证：VABDsVAEB ; AB 4 (2)当一—时，求 tanE ； BC 3 (3 )在(2 )的条件下，作 BAC的平分线，与 第#页(共29页) 第#页(共29页) 学科网（北京）股份有限公司 7. （2016苏州中考）如图，在矩形 ABCD中，AB 6cm , AD 8cm •点P从点B出发，沿对角线 BD向点D匀速运动，速度为 4cm/s，过点P作PQ BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形 PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为 3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O,点P与点O同时出发，设它们的运动时间为 t （单 位：s）（ 0 t 8）• 3 （1） 如图，连接 DQ，当DQ平分 BDC时，t的值为. （2） 如图，连接CM，若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形，求 t的值； （3） 请你继续连行探究，并解答下列问题： 1 证明：在运动过程中，点 O始终在QM所在直线的左侧； 2 如图3,在运动过程中，当 QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时 PM与圆O是否也 相切？说明理由. 第#页（共29页） 第#页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 C作eO的切线交BA的 C停止（点Q与点C不 9. （ 2015大庆中考）如图， 四边形ABCD内接于eO , ADPBC P为BD上一点， APB BAD . (1) 证明：AB CD ; (2) 证明：DP BD AD BC ； (3) 证明：BD2 AB2 AD BC . 8. （2015扬州中考）如图，已知 eO的直径AB 12cm, AC是eO的弦，过点 延长线于点P，连接BC • （1） 求证： PCA B ； （2） 已知 P 400 ,点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点 重合），当VABQ与VABC的面积相等时，求动点 Q所经过的弧长. 10. （2015武汉中考）如图， AB是eO的直径， ABT 4^ , AT AB • （1） 求证：AT是eO的切线； （2） 连接OT交e O于点C，连接AC，求tan TAC的值. 11. （2016随州中考）如图， AB是eO的弦，点C为半径OA的中点，过点 C作CD OA交弦AB 于点E，连接BD，且DE DB • （1）判断BD与eO的位置关系，并说明理由； 5 (2)若 CD 15 , BE 10 , ta nA -，求 eO 的直径. 12 12. (2015德州中考)如图， eO的半径为1 , A, P , B , C是eO上的四个点, APC CPB 60° • (1) 判断VABC的形状：； (2) 试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； (3) 当点P位于的什么位置时，四边形 APBC的面积最大？求出最大面积. 第#页(共29页) 第#页(共29页) 学科网（北京）股份有限公司 ADB 90° , Ad BD，探究线段 AC,BC,CD之间的数 量关系•小吴同学探究此问题的思路是：将 VBCD绕点D，逆时针旋转 90° 到 VAED 处，点 B,C 分别落在点 A,E处(如图 2)，易证点 C,A,E在同一条直线上，并且 VCDE是等腰直角三角 13. (2016淮安中考)问题背景： 如图1，在四边形 ADBC中， ACB 形，所以CE . 2CD，从而得出结论： AC BC . 2CD • (1) 简单应用：在图1中，若AC 2 , BC 2 2，则CD • (2) 如图3, AB是eO的直径，点 C、D在e上，AD BD，若AB 13, BC 12，求CD的 长. (3) 拓展规律：如图 4 , ACB ADB 90° , AD BD，若 AC m , BC n m n，求 CD的长(用含m , n的代数式表示) 1 (4 )如图5 , ACB 90° , AC BC ,点P为AB的中点，若点E满足AE 1 AC , 3 CE CA，点Q为AE的中点，则线段 PQ与AC的数量关系是. li 14. (2015宜昌中考)如图，四边形 ABCD为菱形，对角线 AC , BD相交于点E , F是边BA延长线 上一点，连接 EF，以EF为直径作eO，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I , H两 占 八、、♦ (1) 求 FDE的度数； (2) 试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论； (3) 当G为线段DC的中点时， (i) 求证：FD FI ; (ii) 设AC 2m, BD 2n，求eO的面积与菱形 ABCD的面积之比. 15. （2015株洲中考）已知 AB是圆O的切线，切点为 B，直线AO交圆O于C , D两点，CD 2 , DAB 30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q . （1）当点P运动到使Q , C两点重合时（如图1），求AP的长; （2） 点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使 VCQD的面积为丄?（直接写出答案） 2 1 （3） 当使VCQD的面积为 丄，且Q位于以CD为直径的的上半圆上， CQ QD时（如图2）, 2 求AP的长. 第#页（共29页） 第#页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 第#页(共29页) 第#页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 1.C 【解析】如图，连接 AC、BD、OF ,其中AC与EF交于点I . 设eO的半径为r , 则 OF r， QAO是EAF的角平分线, OAF 60o 2 30o . QOA OF, OFA OAF 30° , COF 60° , EF 3 o r 2 2 3r . QAO 2OI , OI -r , CI 2 1 r r 2 FI r sin60° GH CI 1 1 r , 2 BD CO 2 1 1 GH BD 2r r , 2 2 竺3 3 . GH r 2.B 【解析】 作 DAB1与 AB1C1的角平分线交于点 O，过O作OF AB1 , 则 OAF 30° , AB1O 4^ , 故BiF OF 〔OA , 2 设BiF x, 则AF ：丄3 x, 故 3 2 x 2 2 x2 2x , 解得x 3 -，负值舍去. 2 四边形ABiED的内切圆半径为宁- 第二部分 3. n 1 二 2 2 2 【解析】连接0C，过C点作CF OA于F • Q半径OA 2cm , C为Ab的中点，D、E分别是OA、OB的中点, OD OE 1cm , OC 2cm, AOC 4^ • CF . 2 • 鸟白图形ACD S扇形OAC SVOCD 2 45 n 22 1 2 1 2 360 1 n 2 2 cm . 2 2 Q Svode〔OD 2 1 OE cm 2 2 S阴影 S扇形OAB S空白图形ACD SVODE 90 n 22 1 2 1 —n — 360 2 2 2 1 —n _! 1 2 cm . 2 2 2 第三部分 4. (1)如图，连接OB. QBD BC , CAB BAD. Q EBD CAB , BAD EBD. QAD是eO的直径， ABD 90o , OA BO. BAD ABO. EBD ABO. OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90°. Q点B在e O上， BE是eO的切线. (2)如图，设圆的半径为 R，连接CD . QAD为eO的直径， ACCD 90° . QBC BD , OB CD. OB PAC . QOA OD, 1 5 OF AC . 2 2 Q四边形ACBD是圆内接四边形, BDE ACB. Q DBE ACB, VDBEsVCAB. DB DE AC BC . 3 DE 5 3 . DE Q OBE OFD 90 , DF PBE . OF OB OD OE QR 0 , R 3. QBE是eO的切线, BE JDE AE * 2 3 3 \5 5 3 11 5 5. (1)如图①中， QVA BC是由VABC旋转得到， ABC ABC 130°，CB CB CBB CBB， Q BCB 50o， CBB CB B 650， ABB ABC BB C 65° . (2 )(1)结论：直线 BB，是e A的切线. 理由：如图②中， 150°,CB CB , Q ABC ABC CBB CBB , Q BCB 60° , CBB CB B 60° , ABB ABC BBC 90° . AB BB , 直线BB，是e A的切线. (H) Q 在 RtVABB 中， Q AB B 90° , BB BC 5 , AB AB 3, AB AB 2 BB2 34 . (3 )如图③中，当 180°时，直线BB，是e A的切线 理由： Q ABC ABC ,CB CB , CBB CBB , Q BCB 2 , CBB ABB CB B 180° 2 ? 2 ABC BBC 90° 180° 90° 第#页(共29页) 第#页（共29页） 第#页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 90°. AB BB , 直线BB，是e A的切线. 在VCBB中 QCB CB n , BCB 2 , BB 2 nsin , 在 RtVA BB 中,AB . BB2 AB2 ,m2 4n 2si n2 6. (1) QDE为e C的直径， DBE 90° . 又 Q ABC 90° , DBE DBC 90° , CBE DBC 90° , ABD CBE . 又QCB CE , CBE E , ABD E . 又 Q BAD EAB , VABD^VAEB . (2 )由(1)知，VABDsVAEB BD BE AB AE AB Q - BC 设 AB 4x，贝U CE 在 RtVABC 中，AB CB 3x . 5x , AE AC CE 5x 3x 8x BD BE AB AE 4x 8x 在 RtVDBE 中, BD 1 tanE BE 2 (3)解法一：在 RtVABC中, -AC 2 BG -AB 2 1 1 BG 即 5x BG 4x 3x，解得 BG 2 2 12 x . 5 QAF是 BAC的平分线, BF AB 4x 1 FE AE 8x 2 AE 于 H , FH EF 2 BG BE 3 2 2 12 8 FH BG 一x x 3 3 5 5 1 又 Qta nE 2 EH 2FH 16 x , 5 AM AE EM 24 x・ 5 在 RtVAHF 中, 2 2 AH HF AF1 2 3即 2 24 x 5 e C的半径是3x 【解析】解法二：如图 2 过点A作EB延长线的垂线，垂足为点 QAF平分 BAC， 在 VBAE 中，有 1 2 3 E 180° 90° 90° , 4 2 E 45 , VGAF为等腰直角三角形 由( 2) 可知, AE 8x , tanE 8.5AG L， AF eC的半径是 解法三: AE于点G，FM BAC的平分线, QAF是 AE于点M ， NG BN a， CG 3 a， 4 NC BC 9 a， 4 BH 9 a， 5 AB 3a， AC AG 3a， tan NAC NG AG sin NAC 10 10 5 a， 4 15 a， 4 1 3 在 RtVAFM 中, FM AF sin NAC 2 卫互,AM 10 5 3 10 5 在 RtVEFM 中, EM FM tanE 2 10 第#页(共29页) 第#页(共29页) 学科网（北京）股份有限公司 AE 10 . 在 RtVDBE 中, QBH a , 5 EH 18 a , 5 DE 9 a , 2 DC 9 a , 4 AD 3 a , 2 又QAE DE 3 a 2 9 a 2 DH AE 10 , a 9 a , 10 10 6 DC 3.10 8 7. (1) 【解析】由题意可知 VBPQ sVBCD . 设 BP 4t，则 PQ 3t , BQ 5t . Q DQ 平分 BDC , QC CD , QP BD . CQ PQ 3t . QCQ 8 5t. 3t 8 5t，即 t 1. (2)如图，过点M作ME BC于点E . E 在 RtVABD 中，AB 6cm, AD 8cm, BD 10cm. 由 BPQ BCD , QBP DBC，得 VPBQ ^VCBD . PB PQ BQ BC CD BD . Q PB 4t , PQ 3t , BQ 5t . Q MQ MC , 1 1 QE CE —QC - 8 5t 2 2 Q VMEQsVDCB , EQ BC MQ BD 1 -8 5t 2 3t 40 t 49 (3)如图1，设QM所在直线交CD于点F . ① Q VQCF sVBCD , CF CD CQ CB CF 6 8 5t 8 15 -t , DF 4 又DO 3t , DO DF CF 6 ，即点O始终在QM所在直线的左侧. ②如图，设MQ与eO相切时，切点我 G，连接OG , OG BC OF BD， 0.8 8 吗 3t 10， 4 丄 4 t 3 当t - 时，正方形PQMN的边长为 3 解法一： 连接MO并延长交PQ于点 贝U VMOG sVMHQ , OG MG HQ MQ， 26 0.8 15 HQ 4， HQ 24 13 28 PH 13 ° HK 14 2 13 HK HQ . 点O不在 PMQ的平分线上， 当QM 1与eO相切时，PM与eO 【解析】 解法二：连接 OM , OP , Q SVMPQ SVMOQ SVPOQ SVPOM ， 则 VOGFsVBCD , 5 3 4 , QF -,FG 3 5 . H，过点 H作HK PM于点K 不相切. OQ，设点O到MP的距离为h , 第#页（共29页） 第#页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 1 4 0.8 1 34 4 1 42 h 8 . 2 2 15 2 h 7 2 0.8 . 15 当 QM与eO相切时， PM 与eO不相切 QAB是eO的直径， ACB 1 2 90o, 又PC是eO的切线， PCO PCA 1 90° , 2 PCA. 又 OC OB . 2 B, PCA B . (2) Q P 40° , AOC 50°. QAB 12， AO 6 . 180 3 180 当 BOQ 50°时，即 13n 3 AOQ 130°时，VABQ与VABC的面积相等, 优弧ABQ所对的圆心角为230°时，VABQ与VABC的面积相等, 点Q所经过的弧长 230 n 6 180 23 n 3 第22页(共29页) 第22页(共29页) 学科网（北京）股份有限公司 9. (1) Q AD PBC , ADB DBC , AB DC , AB CD . (2) Q APB BAD , BAD BCD 180° , APBAPD 180° , BCD APD , Q ADB CBD . VADPWDBC , AD DP BD BC， DP BD AD BC . (3)如图，过点D作DE BC交BC于E . QBD2 DE2 BE2, DE2 CD 2 CE2 , 2 BD2 CD2 BE2 CE2 AB2 BE CE BE CE AB2 AD BC. 10. (1) QAB AT , ATB B 45°. BAT 90° . AT是eO的切线. (2 )设eO半径为r，延长TO交eO于D，连接AD . A QCD是直径， CAD BAT 90° . TAC OAD D . 又 ATC DTA, VTACsVTDA. TA TC TD AT . TA2 TC TD , 即 4r2 TC TC 2r 解得TC 5 1 r. tan TAC tan D AC AD TC AT .5 1 r 2r 5 1 2 11. (1)连接 OB . QOB OA, DE DB , A OBA, DEB ABD. QCD OA, A AEC A DEB 90° , OBA ABD 90° , OB BD , BD是eO的切线； (2)如图，过点D作DG BE于G . 第#页（共29页） 第#页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 QDE DB, 1 EG -BE 5, 2 Q ACE DGE 90° , AEC GED , GDE A, VACEsVDGE, tan EDG tanA EG DG 5 —，即 DG 12 . 12 在 RtVEDG 中，DE .DG2 EG2 13. QCD 15, DE CE 2 . 13 , QVACEsVDGE AC DG CE GE， AC CE dg GE 24 5 e O的直径2OA 4AD 96 12. (1)等边三角形 (2) PA PB PC . 证明： 如图，在 PC上截取PD PA，连接AD . Q APC 60o , VPAD是等边三角形. PA AD , PAD 60o . Q BAC 60o , PAB DAC . QAB AC , VPAB也VDAC . PB DC . QPD DC PC, PA PB PC . (3)当点P为Ab的中点时，四边形 APBC面积最大. 理由如下：如图，过点 P作PE AB，垂足为E , 过点C作CF AB，垂足为F， Q SVPAB 2 AB PE，Svabc 1AB CF . 2 S四边形APBC 1 — AB PE 2 Q当点p为Ab的中点时, CF . PE CF PC , PC为eO直径, 四边形APBC面积最大. Qe O的半径为1 , 其内接正三角形的边长 AB 3 . 1 S四边形APBC 匚 2 3 2 3 . 13. (1) CD 3 (2)连接 AC、BD、AD , Q AB是eO的直径， ADB ACB 90° , Q Ad Bd , AD BD , 将VBCD绕点D，逆时针旋转90°到VAED处，如图3 , EAD DBC , Q DBC DAC 180° , EAD DAC 180° , E、A、C三点共线， Q AB 13,BC 12, 由勾股定理可求得： AC 5 , Q BC AE, CE AE AC 17, Q EDA CDB , EDA ADC CDB ADC , 即 EDC ADB 90° , Q CD ED , VEDC是等腰直角三角形， CE 2CD , 17近 CD 2 (3)以AB为直径作eO,连接OD并延长交eO于点D1 , 连接D1A，D1B， D1C，如图 由(2)的证明过程可知： AC BC ■ 2D1C， 第#页(共29页) 第#页(共29页) 学科网（北京）股份有限公司 D1C 又Q 0D是eO的直径, DCD1 90o , Q AC m， BC nAB m2 由勾股定理可求得: 2 2 DQ AB 2 Q D1C2 CD2 2 D1D2 CD m2 n2 2 nCD (4) 2 2PQ = -^」AC • 6 14.( 1)QEF为eO的直径, FDE 90° . (2)四边形FACD为平行四边形•理由如下: QABCD为菱形， AB PCD , AC BD , AEB 90° • 又 FDE 90o , AC PFD • 四边形FACD为平行四边形. (3)(i)如图，连接GE • Q在RtVDEC中，G为CD的中点, EG DG, 弧DG 弧EG , 1 2. 又EF为eO的直径, FGE 90° , FG EG. QG为DC中点，E为AC中点, GE为VDAC的中位线， EG PAD . FG AD Fl HD FHI 90o . 1 3 2 4 90o , 3 4 , FD FI . (ii) Q菱形 ABCD , AE CE m, BE DE n Q四边形FACD为平行四边形, FD AC 2m FI Q FD PAC , 3 8 . 又3 4 7, 7 8 , EI EA m . 在 RtVFDE 中，FE2 FD2 DE2 , 3m $ 2m $ n2，解得，n 5m . 2 3m 9 2 12 5m2 , Seo n 测，S菱形abcd — 2m 2n 2mn 2 4 2 Se o : S菱形abcd 9 nm2:2 5m2 葺5. 4 40 15. (1) QAB是圆O的切线， OBA 90o . QRtVOBA中，CD 2, DAB 30° , OB 1 , OB OC AC 1 . Q当点P , C运动到Q , C两点重合时, PC为圆O的切线， PCA 90° , Q DAB 30° , AC 1 , AP -a/3 • 3 (2)有4个位置使VCQD的面积为-• 2 1 【解析】由于CD的长度2，而SVCQD 1 , 故CD上的高的长度为 -，从而如下图，我们可得到答案. 2 (3)过点Q作QN AD于点N，过点P作PM AD于点M • QN QCD是圆O的直径, CQD 90° • 易证 VQCN sVDQN • QN CN DN QN QN2 CN DN . 1 x 2 x 4 解得 Xi 2 3 , x2 2 QCQ QD , CN CN QN 易证 VPMC sVQNC . 易得列空2 3 MP QN CM 2 3 MP . 在RtVAMP中易得AM 3MP , QAM CM AC 1, 2 ,3 MP . 3MP 1 , MP 3 1 4 ， 薦1 AP 2MP 2 第#页(共29页) 第#页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 1 2. 又QCB CE, 3 E . $$