精品解析：江西省吉安市泰和县2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

泰和县2024～2025学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. x+2y＝1 B. x2﹣2＝0 C. x＝2x3+3 D. 3x+＝1 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 5. 两个相似多边形的周长比是，其中小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，函数与的图像相交于点，直线与和分别交点B，C，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_____． 8. 随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是____． 9. 设，是一元二次方程的两个根，则__________. 10. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为________． 11. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________． 12. 已知正方形的边长为1，P为射线上的动点（不与点A重合），点A关于直线的对称点为E，连接、、、．当是等腰三角形时，的长为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 14. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根为，求的值及另一个根． 15. 如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF//AB交AC于F （1）求证：AE=DF， （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 16. 如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的中点． （2）在图2中作点，使得 17. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的RtDEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）． 18. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有______名学生参与了本次问卷调查； （2）“园艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度； （3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到不同课程的概率． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 20. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于C、D两点且点C的坐标为，点D的坐标为． （1）直接写出一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出当自变量x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）求的面积． 22. 如图，在矩形中，将沿折叠，点D刚好落在对角线上的点F． （1）若，，求的长． （2）若，求证：． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰和县2024～2025学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. x+2y＝1 B. x2﹣2＝0 C. x＝2x3+3 D. 3x+＝1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次幂为2次的整式方程即可求解． 【详解】解：选项A：x+2y＝1为二元一次方程，故选项A错误； 选项B：x2﹣2＝0为一元二次方程，符合题意； 选项C：未知数的最高次幂为3次，故选项不是一元二次方程，选项C错误； 选项D：3x+＝1不是整式方程，故选项D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看得到的图形即可得出，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，几何体的左视图为， 故选：D． 3. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 【答案】C 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． D、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； 故选C． 【点睛】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，根据概率公式计算即可．求出黄球的个数，即可求解． 【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右 ∴黄球的个数为 ∴布袋中白球可能有 故选：D 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5. 两个相似多边形的周长比是，其中小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的周长比得到面积的比，进而得解． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是， ∴两个相似多边形的相似比是， ∴两个相似多边形的面积比是， ∵小多边形的面积为， ∴较大多边形的面积为， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质：相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，熟记性质是解题的关键． 6. 如图，函数与的图像相交于点，直线与和分别交点B，C，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】把代入解得，再代入可解得k的值，把代入两个解析式，分别解得点B,C的坐标，即可求出BC的长，最后根据图像的性质，可判断函数值的大小，及函数的增减性． 【详解】解：由题意，把点代入得， 把代入得， ，故A正确； 由图像可知，当时，，故B错误； 当x=2时， ，故C正确； 由图像可知，在第一象限内， 当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小 故D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点、一元二次方程的根与系数的关系、一次函数的性质、掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了分式化简求值，先化简得到，再整体代入求值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解． 【详解】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下： 共有4种出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中至少有一次正面朝上的有3种，因此至少有一次正面朝上的概率为 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 9. 设，是一元二次方程的两个根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算求得，在中，利用勾股定理即可求解，菱形的面积等于对角线乘积的一半，判断出四边形是菱形，是解题的关键． 【详解】解：与相交与，如图： 根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，，， ，四边形的面积为， ， ， ， 在中，，， ， 故答案为：． 11. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心． 【详解】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心 ∴M点坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 12. 已知正方形的边长为1，P为射线上的动点（不与点A重合），点A关于直线的对称点为E，连接、、、．当是等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，求出的长，并证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第二种情况是当，且点P在线段的延长线上时，过点E作的垂线，交于N，交于M，推出为等边三角形，证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第三种情况是当，且点E在的垂直平分线上时，证为等边三角形，求出，即可求出的长． 【详解】解：①如图1，当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N， 由题意知，为等边三角形， ， ， 在四边形中， ， ， ， ∴在中， ， ； ②如图2，当，且点P在线段的延长线上时，过点E作的垂线，交于N，交于M， 由题意知，为等边三角形， ， ， 在四边形中， ， ， ∴在中，， ； ③如图3，当，且点E在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， ， 又， 为等边三角形， ， ， 在中，， 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：等腰中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． （1）先移项，然后提公因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）由等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论． 【详解】解：变形及移项，得， 或， 所以； （2）略． 14. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根为，求的值及另一个根． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解的定义、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，可得，且，求解即可获得答案； （2）首先将代入方程并求解，即可确定的值，然后利用因式分解法解该方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， 则有，且， 解得且； 【小问2详解】 若方程有一个根为， 则有，解得， 即该方程为， 整理可得， ∴， 解得， 该方程的另一个根为． 15. 如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF//AB交AC于F （1）求证：AE=DF， （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF， 同理∠DAE=∠FDA， ∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF， ∴AE=DF； （2）平行四边形AEDF为菱形；理由： ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴∠DAF=∠FDA． ∴AF=DF． ∴平行四边形AEDF为菱形． 【解析】 【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF； （2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形． 【详解】（1）略 （2）略 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.菱形的判定． 16. 如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的中点． （2）在图2中作点，使得 【答案】（1）点P即为所求． （2）点N即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求． （2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴， 故作直线，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即P为的中点， 则点P即为所求． 【小问2详解】 连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求． 17. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的RtDEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB． 【答案】AB=4.4m 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出EF长，再证明△DCB∽△DEF，由相似三角形的性质可得，求出BC长，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF， ∴△DCB∽△DEF， ∴， ∵EF＝0.6m，DE＝1m，CD＝6m， ∴， 解得：BC＝3.6米， ∵AC＝0.8m， ∴AB＝AC＋BC＝3.6+0.8＝4.4m． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握三角形相似对应边成比例． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）． 18. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有______名学生参与了本次问卷调查； （2）“园艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度； （3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到不同课程的概率． 【答案】（1）120 （2）72 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用选择“礼仪”课程的学生人数除以其占比，即可获得答案； （2）利用减去“礼仪”、“陶艺”、“编程”和“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角，即可获得答案； （3）设“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程分别用表示，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案． 【小问1详解】 解：（人）， 即共有120名学生参与了本次问卷调查． 故答案为：120； 【小问2详解】 ， 即“园艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是72度． 故答案为：72； 【小问3详解】 设“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程分别用表示， 根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小刚和小强恰好选到不同课程的结果有6种， 所以，两人恰好选到不同课程的概率为． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 20. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于C、D两点且点C的坐标为，点D的坐标为． （1）直接写出一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出当自变量x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，再将、代入，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象法，即可得到答案； （3）先求出点的坐标，得到，再根据，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：在反比例函数， ， ， 将、代入，得： ，解得：， 一次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：一次函数与反比例函数交点、 由图象可知，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值； 【小问3详解】 解：一次函数的图象分别与y轴交于点B， 令，则； ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 22. 如图，在矩形中，将沿折叠，点D刚好落在对角线上的点F． （1）若，，求的长． （2）若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：矩形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理，得出，再由折叠的性质，得到，，，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可求出的长； （2）由矩形的性质，得出，由折叠的性质，得到，由等边对等角的性质，得到，进而得出，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可证明结论． 【小问1详解】 解：矩形， ，，， 在中，， 由折叠的性质可知，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $