精品解析：山东省济宁市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年山东省济宁一中高一（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：“，则的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A B. C. 2 D. 5. 在平面直角坐标系中，若角终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（ ） A. B. C. D. . 7. 设函数，的零点分别为，则 A. B. C. D. 8. 已知函数（且）是值域为的单调递减函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10. 设x>0，y>0，则下列结论正确的是（ ） A. 函数f（x）=3x+3﹣x的最小值为2 B. 不等式恒成立 C. 函数的最小值 D. 若，则x+2y的最小值是 11. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，则（ ） A. B. 函数的周期为2 C. D. 若函数与图象恰有2025个交点，则所有交点的横纵坐标之和为4050 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是第二象限内的角，，则__________. 13. 伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦敦乃至英国的标志性建筑.钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如图所示，分针尖端到中心的距离为3.5米，尖端最低位置距地面约60米，若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离（单位：米）与时间（单位：分）的函数关系式为，则函数__________. 14. 若函数满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足. （1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值． 17. 已知函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）试判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）求函数的值域. 18. 已知函数（且）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若，且对于，不等式恒成立，求整数的取值集合. 19. 将函数的图象进行如下变换：向下平移个单位长度将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （2）若函数在区间内恰有2022个零点，求所有可能取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山东省济宁一中高一（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，再根据集合交集的概念及运算即可求解. 【详解】，. 故选：C. 2. 已知命题：“，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】的否定是“”. 故选：. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法来求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以的定义域的为. 故选：C 4. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义得到，求出或1，舍去不合要求的，代入求值. 【详解】令，解得或1， 若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求， 若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求， 故. 故选：A 5. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值得到，从而利用诱导公式和三角函数定义求出答案. 【详解】因为，故角的终边经过点， 所以. 故选：D. 6. 如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积. 【详解】如图， 设小圆的圆心为，则， 设，每个扇环形小拼盘对应圆心角为， 则的长为，解得， 所以每个扇环形小拼盘的面积为 . 故选：C 7. 设函数，的零点分别为，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出、、的图像，即可得，于是有，由对数的运算及对数函数的性质即可求得答案. 【详解】解：由题意可得是函数的图像和的图像的交点的横坐标，是的图像和函数的图像的交点的横坐标，且都是正实数，如图所示： 故有，故， ∴， ∴，∴. 故选：B． 8. 已知函数（且）是值域为的单调递减函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数是值域为的单调递减函数，知， 解得，，函数图像如图， 由，即， 令，解得，即， 令，解得，即， 综上，，的解集为， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】首先求出函数解析式，由周期知A正确；整体代入法求函数的增区间、对称轴、对称中心知其他选项是否正确. 【详解】因为，向右平移个单位得， 对于选项A：则最小正周期为，故A选项正确； 对于选项B：令，解得， 所以单调递增区间为，故B选项错误； 对于选项C：令，解得，故C选项错误； 对于选项D：令，解得所以函数的对称中心为，故D选项正确. 故选：AD. 10. 设x>0，y>0，则下列结论正确的是（ ） A. 函数f（x）=3x+3﹣x的最小值为2 B. 不等式恒成立 C. 函数的最小值 D. 若，则x+2y的最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式求解最小值，判断命题的真假即可. 【详解】解：函数f（x）=3x+3﹣x≥2，当且仅当x=0时，取等号，所以表达式没有最小值，所以A不正确； 不等式≥4=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以命题是真命题，所以B正确. 函数=≤，所以当x=1时，函数取得最大值，所以C不正确； 若，则x+2y=（x+1+2y+2）（+）﹣3= ≥2，当且仅当y=3﹣2，x=4时，表达式的最小值是，所以D正确. 故选：BD. 11. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，则（ ） A. B. 函数的周期为2 C. D. 若函数与的图象恰有2025个交点，则所有交点的横纵坐标之和为4050 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可得从而判断A；根据和为奇函数可推出从而判断B；由可得到的性质从而判断C；由和图象的对称性可判断D. 【详解】A选项，令，得，所以，故A正确； B选项，因为是奇函数，所以， 即，又， 所以，所以， 所以，所以函数的周期为2，故B正确； C选项，， 而不一定成立， 所以不成立，故C错误； D选项，由和， 可知和的图象均关于点对称， 若函数与的图象恰有2025个交点， 由对称性可知所有交点的横坐标之和和纵坐标之和均为2025， 故横纵坐标之和4050，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性和周期性的综合分析，以及函数对称性和零点问题的结合，综合性较强，需要学生具有一定的分析问题和解决问题的能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是第二象限内的角，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、，再由两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为是第二象限内的角，， 所以，则， 则. 故答案： 13. 伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦敦乃至英国的标志性建筑.钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如图所示，分针尖端到中心的距离为3.5米，尖端最低位置距地面约60米，若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离（单位：米）与时间（单位：分）的函数关系式为，则函数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数中各字母的意义确定解析式即可. 【详解】， 由题意可得63.，可得，当时，，可得，即，又，所以， 所以函数的解析式为. 故答案为： 14. 若函数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得是偶函数，然后结合偶函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数满足，则是偶函数， 所以，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足. （1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出命题为真命题的范围，再求出公共部分即得. （2）求出命题为真命题的范围，再充分不必要条件的意义列式求解即得. 【小问1详解】 当时，不等式为，解得，即， 由，得，即， 由和都是真命题，得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由，，得，即命题，由（1）知命题， 因为是的充分不必要条件，因此或，解得或，即， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值． 【答案】（1）；单调递增区间 （2）的最大值为1；最小值为 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期公式求的最小正周期，以为整体，结合正弦函数单调性分析求解； （2）以为整体，结合正弦函数有界性分析求解. 小问1详解】 因， 所以的最小正周期； 令，解得， 所以的单调递增区间. 【小问2详解】 因为，则，可得， 当，即时，取得最大值1； 当或，即或时，取得最小值. 17. 已知函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）试判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）求函数的值域. 【答案】（1） （2）在区间上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用换元法先求出，再代入已知求出的解析式即可. （2）用函数单调性的定义证明即可，设，作差通分计算即可. （3）分和时用基本不等式求出结果即可，注意取等号的条件. 【小问1详解】 令，则， ， ，即， . 【小问2详解】 函数在区间上单调递增. 证明：任取， 则， 又， ，即， 函数在区间上是增函数. 【小问3详解】 当时，， 当且仅当时，等号成立. 当时，， 当且仅当时，等号成立. 的值域为. 18. 已知函数（且）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若，且对于，不等式恒成立，求整数的取值集合. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义计算即可； （2）先判定函数的奇偶性和单调性，去函数符号结合三角函数与二次函数的性质解不等式即可 【小问1详解】 函数且是偶函数， ， 即 ； 【小问2详解】 由（1）知，，定义域为，. 易知函数在上单调递增，且为奇函数， 对于恒成立， 即， 对于恒成立. ， 当且仅当时取等号， ， 即，解得， 又为整数，或或， 的取值集合为. 19. 将函数的图象进行如下变换：向下平移个单位长度将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （2）若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值. 【答案】（1） （2）2022或2023或1348 【解析】 【分析】（1）先根据函数的图象变换求的解析式，再利用数形结合的思想求参数的取值范围； （2）采用换元法，先把问题转化成为二次函数的零点分布问题，再结合三角函数的周期性求的可能值. 【小问1详解】 由题意的图象向下平移个单位，得：；再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得：；再把所得函数图象向左平移个单位，可得， 因为 所以， 如图： 方程有两个不等实根时，的图象与直线有两个不同的交点， 作图可得. 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意可得， 设，，则函数等价为， 由，得. 因为，所以有两个不等的实数根， 当时，，此时在上恰有3个零点， 因为，所以， 所以； 当时，因为，. 所以，. 此时在上恰有2个零点， 因为，所以或， 或2023. 综上所述，的可能取值为2022或2023或1348. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$