山东省菏泽第一中学2025届高三数学强基竞赛训练7

高三数学强基竞赛训练（7） 一、填空题：本题共10小题，每小题6分，共60分。 1.若对所有大于的正整数，成立，则           ． 2.若集合中只有一个元素，则          ． 3.设实数，且或，则的最小值为          ． 4.在平面直角坐标系上，椭圆的方程为，为的左焦点；圆的方程为，为的圆心，直线与椭圆和圆相切于同一点，则当最大时，实数           ． 5.已知体积为的四面体满足，，，则异面直线与所成的角的大小为          ． 6.已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是          ． 7.定义，已知集合，，则           8.已知，集合则集合中所有元素的和为           9.设点在内部，且有，则的面积与的面积的比为           ． 10.函数的所有正零点从小到大依次记为，，，则           ． 二、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 记为等比数列的前项和，． 若，求的值； 若，求证：． 12.本小题分 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且经过点． 求椭圆的方程； 若经过的直线与椭圆交于，，经过的直线与椭圆交于，，与交于点点在椭圆内，求证：． 13.本小题分 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱上一点，为棱的中点，四棱锥的体积为． 若为棱的中点，是的中点，求证：平面平面 是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为若存在，确定点的位置若不存在，请说明理由． 14.本小题分 已知函数，其中，均为实数． 若函数的图象经过点，，求函数的值域； 如果函数的定义域和值域都是，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学强基竞赛训练（7）参考答案 1.  2.  3.  4.  5. 或 6.  7.   8.  9.  10.   11. 解：设等比数列  的公比为， 因为  ，所以   ，  ， 故  ，  ，  成等比数列，且公比为  ， 所以  ， 整理得  ， 因为  ，故  ，解得  ， 所以  ． 因为  ，所以  ，由知，  ， 因为数列  是以  为首项，  为公比的等比数列， 所以  ， 又  ， 则 ， 所以 ．   12. 解：因为椭圆的离心率为， 所以， 又因为椭圆经过点， 所以，解得，， 故椭圆的方程为． 设点的坐标为，可知， 当直线和斜率均存在时， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 代入椭圆的方程， 消去得到， 即， 整理可得， 因为点在椭圆内，所以判别式大于， 因为、为方程的两根， 所以、为方程的两根， 可得，， 所以 ， 所以 因为经过，所以， 所以， 同理可得， 此时； 当直线或斜率不存在时， 考虑直线斜率不存在的情况，此时直线斜率存在，， 结合仍有， 将代入方程，解得， 则， 此时； 同理可得，当直线斜率不存在时，也有． 综上可得，．   13. 证明：因为为棱的中点，是的中点， 所以， 在矩形中，， 所以， 又因为、分别为、的中点， 所以， 又因为， 平面 ，平面， 所以平面平面； 解：假设棱上存在点满足题意， 在等边三角形中，为的中点， 于是， 又平面平面，平面平面，， 所以， 所以是四棱锥的高， 设，则， ， 所以 ， 所以， 以为坐标原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设， ，， 设平面的一个法向量为， 有 令，则， 易知平面的一个法向量， 所以， 因为， 所以， 所以存在点，位于靠近点的三等分点．  14. 解：函数，其中，均为实数， 函数的图象经过点，， 函数，函数， 故函数的值域为； 如果函数的定义域和值域都是， 若，函数为增函数， ，解得，则； 若，函数为减函数， ，解得，则； ．  根据函数的定义域和值域都是，求得、的值，可得的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$