精品解析：吉林省长春市净月实验中学2024-2025学年上学期九年级第四次中考模拟数学试卷

长春市净月实验中学九上第四次模拟试卷·数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中的事件，属于随机事件的是（ ） A. 在一个只有白球的袋中，摸出红球 B. 任选一个频道，正在播放动画片 C. 有一匹马奔跑的速度是米/秒 D. 太阳每天从东边升起 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将抛物线向下平移个单位所得函数解析式为______． 10. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 11. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”） 12. 如图，与位似，点O为位似中心，若，则_______． 13. 一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为________．（结果保留） 14. 如图，正方形中，点E是对角线上一点，且，连结并延长交于点P，点F是边上一点，且，连结交于点G，连结现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 16. 解方程：． 17. 2023年第19届亚运会在杭州举办、小蔡作为亚运会的志愿者“小清荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A、B、C．小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的概率． 18. 如图，公园原有一块长，宽的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为，求所铺设的石子路的宽度． 19. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出中边上的中线． （2）在图②中，在边上找到一点，连接，使． （3）在图③中，在边上找到一点，连接，使． 21. 成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为45°，塔底部处的俯角为22°．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：，，） 22. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材页的部分内容． 例 如图，在中，分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明 连接． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：连接，   【结论应用】 （）如图②，在中，，，分别是边的中点，相交于点．若，则______． （）如图③，在中，分别是边的中点，相交于点．过点作交于点，如果的面积是，那么的面积是_____． 23. 如图①，在中，，，．动点从点出发，在上以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，以为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒． （1）的长为_____． （2）当平行四边形为矩形时，求的值． （3）当的边将平行四边形的面积分为两部分时，求的值． （4）如图②，点为的中点，连接，作点关于直线的对称点，当时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线上，动点、在该抛物线上，其横坐标分别为、．过点作轴，交该抛物线于点，连结，以为邻边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当与点重合时，求的面积． （3）当直线将分成面积比为1：3两部分时，求的面积． （4）当与的面积和为的面积的一半时．直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市净月实验中学九上第四次模拟试卷·数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可列一元一次不等式，解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得， ， 故选：A． 2. 下列选项中的事件，属于随机事件的是（ ） A. 在一个只有白球的袋中，摸出红球 B. 任选一个频道，正在播放动画片 C. 有一匹马奔跑的速度是米/秒 D. 太阳每天从东边升起 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握概念是解题的关键，“在一定条件下，一定发生的事件叫做必然事件；一定不发生的事件叫做不可能事件；可能发生也可能不发生的事件为不可能事件。”根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、在一个只有白球的袋中，摸出红球，是不可能事件； B、任选一个频道，正在播放动画片，是随机事件； C、有一匹马奔跑的速度是米/秒，是不可能事件； D、太阳每天从东边升起，是必然事件； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式运算法则，逐项判断即可． 【详解】解：A. 被开方数不同，不能合并，不符合题意； B. 被开方数不同，不能合并，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，符合题意； 故选：D． 4. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是通过设出参数，代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，代入得， ， 故选：C． 5. 如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理解答即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 8. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义，三角函数，过点作轴于，过点作轴于，易得，即得，又根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，最后由正切函数的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将抛物线向下平移个单位所得函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位所得函数解析式为， 故答案为：． 10. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k＜1． 【解析】 【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=， 解得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键. 11. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求方差，根据题意计算两组数据的方差，即可求解． 【详解】解：甲组：、、、、，平均数为 乙组：、、、、．平均数为 ∴． 故答案为：． 12. 如图，与位似，点O为位似中心，若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶点的连线平行或共线．与位似，则，先证明，进一步可求，据此可得答案． 【详解】解：∵与位似， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为： 13. 一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 14. 如图，正方形中，点E是对角线上一点，且，连结并延长交于点P，点F是边上一点，且，连结交于点G，连结现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 熟练运用相关定理进行推理证明，然后逐个判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴，， 即，故②正确； 作于点H，连接，则， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 因为正方形关于成轴对称， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故④不正确， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法解一元二次方程． 【详解】解：， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， ， ，． 17. 2023年第19届亚运会在杭州举办、小蔡作为亚运会的志愿者“小清荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A、B、C．小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题关键是根据题意画出表格，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A、B、C．小蔡从中随机抽取两盒所有等可能结果列表如下： A B C A ___ AB AC B BA ___ BC C CA CB ___ 共有6种等可能结果，小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C有两种， 小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的概率为． 18. 如图，公园原有一块长，宽的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为，求所铺设的石子路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设铺设的石子路的宽度为，则余下部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植花卉的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设铺设的石子路的宽度为，则余下部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：铺设的石子路的宽度为． 19. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出中边上的中线． （2）在图②中，在边上找到一点，连接，使． （3）在图③中，在边上找到一点，连接，使． 【答案】（1） 如图①，即为所求． （2） 如图②，点即为所求． （3） 如图③，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即可． （2）取格点，，使，，，连接交于点，则点即为所求． （3）取格点，使，，取与网格线的交点，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取格点，，使，，，连接交于点，连接， 则， ， ． 【小问3详解】 解：取格点，使，，取与网格线的交点， 则， 即， 连接交于点， ． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 21. 成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为45°，塔底部处的俯角为22°．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：，，） 【答案】观景台的高约为214米． 【解析】 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形，由矩形的性质可得BM=CD=61米；在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，由此可得tan22°=，即可求得DM=152.5米；再证明△ADM为等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5米，由此即可求得观景台的高的长． 【详解】过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形， ∴BM=CD=61米， 在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米， tan∠BDM=， ∴tan22°=， 解得，DM=152.5米； ∵∠ADM=45°，DM⊥AB， ∴△ADM为等腰直角三角形， ∴DM=AM=152.5米， ∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）． 答：观景台的高约为214米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键． 22. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材页的部分内容． 例 如图，在中，分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明 连接． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：连接，   【结论应用】 （）如图②，在中，，，分别是边的中点，相交于点．若，则______． （）如图③，在中，分别是边的中点，相交于点．过点作交于点，如果的面积是，那么的面积是_____． 【答案】教材呈现： 证明：连接， ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 结论应用（）；（） 【解析】 【分析】教材呈现：连接，根据三角形中位线的性质可得，进而根据相似三角形的性质即可求解； 结论应用（）如图②，连接，证明，根据相似三角形的性质得出，进而根据直角三角形斜边上的中线以及勾股定理即可求解； （）如图③，连接，证明，得到，进而得，，即可得，又可得，得到，即得到，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】教材呈现：略； 结论应用： （）如图②，连接，     ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图③，连接，    ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点，的面积是， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 如图①，在中，，，．动点从点出发，在上以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，以为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒． （1）的长为_____． （2）当平行四边形为矩形时，求的值． （3）当的边将平行四边形的面积分为两部分时，求的值． （4）如图②，点为的中点，连接，作点关于直线的对称点，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（）利用勾股定理解答即可； （）分点在上，平行四边形是矩形和点在上，平行四边形是矩形两种情况，利用矩形的性质，相似三角形的判定和性质解答即可求解； （）分点在上和点在上两种情况，分别画出图形解答即可求解； （）分点在边上和点在边上两种情况，利用相似三角形的判定和性质及勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点在上，平行四边形是矩形时，如图， 由题意得，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点在上，平行四边形是矩形时，如图， 则，， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：当点在上时，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 当的边将平行四边形的面积分为两部分时， 只需要满足即可， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点在上时，如图， 则，， 当的边将平行四边形的面积分为两部分时， 只需要满足即可， 同理可得，，， ∴， 解得； 综上，的值为或； 【小问4详解】 解：当点在边上时，连接，设与相交于点，如图， ∵点为的中点， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得， 当时，，不合题意，舍去， ∴； 当点在边上时，连接，设与相交于点，如图， ∵点为的中点， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线上，动点、在该抛物线上，其横坐标分别为、．过点作轴，交该抛物线于点，连结，以为邻边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当与点重合时，求的面积． （3）当直线将分成面积比为1：3两部分时，求的面积． （4）当与的面积和为的面积的一半时．直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）2或6 （4）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法，得，再求出即可； （2）求出各点的坐标，当与点重合时，，求出的值，再根据三角形的面积公式即可； （3）设对称轴与交于点，设的边上的高为，则，，则点或点在直线上，再分别计算即可； （4）依题意，得与的高之和等于的高，再列不等式即可． 【小问1详解】 解：抛物线，为常数）的对称轴为直线，且经过点， ， 解得， 抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，抛物线的对称轴为直线， ， 当与点重合时， ， 解得：，即 ， 【小问3详解】 解：设对称轴与交于点，设的边上的高为，则，，则点或点在直线上， 当点在直线时，如图，， 解得，即， ， ； 当点在直线时，如图， ，由平行四边对边相等并由平移知识，得， ，解得，， , 故的面积为2或6 【小问4详解】 当与的面积和为的面积的一半时 则与的高之和等于的高，点关于直线的对称点为，如图两种情况 依题意，得，或， 解得或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与三角形面积问题、抛物线与平行四边形面积问题、抛物线与不等式问题，解题的关键是利用数形结合思想对问题进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $