精品解析：陕西省榆林市2024-2025学年高三下学期第三次模拟检测数学试题

榆林市2025届高三第三次模拟检测 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的概念，结合复数虚部的概念，可得答案. 【详解】，虚部为4. 故选：B. 2. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】由可得：. 故选：C. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，解得参数，根据模长公式，可得答案. 【详解】由得，解得，由，则. 故选：A. 4. 双曲线的右焦点为，若以点为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得双曲线方程为，则圆心到渐近线的距离，化简后可求出离心率. 【详解】根据题意得：圆心，半径为，双曲线渐近线方程为，即， 以点为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，且， 圆心到渐近线的距离，即， ， 则双曲线的离心率， 故选：B 5. 交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（ ） A 安 B. 5安 C. 安 D. 安 【答案】D 【解析】 【分析】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以. 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分. 6. 设椭圆的左、右焦点分别为是上的动点，则（ ） A. 的周长为16 B. 的最小值为 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质逐项判断即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，则，故A正确； 对于B，当点在椭圆的左顶点时，得，故B错误； 对于C，设的顶点，则的面积， 所以面积的最大值，故C正确； 对于D，由已知，，设存在点，使得， 则，即， 又，则，代入， 得，此方程无实数解，故D错误. 故选：AC. 7. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角C为钝角 B. C. D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可得A正确；由余弦定理结合A的结果可得B正确；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得C正确；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可得D正确； 【详解】对于A，∵， ∴，即， ∴，又，∴一定为钝角，故选项A正确； 对于B，由余弦定理知，，化简得，故选项B正确； 对于C，∵， ∴，故选项C正确； 对于D，∵， ∴， ∵为钝角，则，， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 8. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件将问题转化为，构造函数，化为，求，根据导数判断函数的单调性，结合函数正负情况可得在上恒成立，构造函数，求，根据导数判断函数的单调性求出函数的最值即可解题. 【详解】因为，所以， 所以可化为， 即；令， 则有对于定义域内任意，都有， 所以在上单调递减，所以在上，； 因为，所以，即， 因为，所以，即； 令，，当时，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 可化为，，因为所以； 由，可知当时，，当时，， 根据在上的单调性以及的正负情况， 有：若，则在上恒成立，所以， 即在上恒成立；令，则， ，解得，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递增减， 所以时，取得最大值，，所以； 因为，，均满足题意，不合题意，所以ACD正确，B错误. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：隐蔽性指对同构，需要补因式，如：，两边同乘以，化为，即. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9. 如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么______. 【答案】3：4 【解析】 【分析】 设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，计算体积得到答案. 【详解】设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是， ，. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力. 10. 某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 2 4 5 6 8 销售额y 30 40 60 60 70 （1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】（1）X的分布列见解析，期望 （2）；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元． 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望， （2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可. 【小问1详解】 从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市， 则随机变量的可能取值为1，2，3 ，，， 的分布列为： 1 2 3 数学期望． 【小问2详解】 ，， ， ． 关于的线性回归方程为； 在中，取，得． 预测广告费支出10万元时的销售额为87万元． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 11. 数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式求解； （2）利用裂项相消求和求解即可. 【小问1详解】 依题可得：， 即：， 解得， 所以. 【小问2详解】 证明：设， 则， 所以， 12. 如图1，已知为等边三角形，四边形为平行四边形，.把沿向上折起，使点到达点位置，使得平面平面，如图2所示. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）当点在线段（包括端点）上运动时，设直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，由题意可得平面，再根据勾股定理逆定理可得，从而得到平面，即可证出； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案； （3）由题意中线面的位置关系，根据线面角的定义，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【小问1详解】 证明：如图，设的中点为，连接. 因为为等边三角形，所以. 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面.因为平面，所以. 因为，所以，所以. 因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. 【小问2详解】 由（1）知平面，因为平面，所以平面平面. 设的中点为，连接，则.又因为平面平面， 平面平面平面，所以平面. 设的中点为，连接.因为，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 可得. 设平面的法向量，则，即， 取，则平面的一个法向量. 设平面的法向量，则，即， 取，则平面的一个法向量， 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面，平面，所以， ，而，故的取值范围为. 13. 已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得动点轨迹为抛物线，由焦点和准线，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由设出的点的坐标，表示出直线的斜率，研究其关系，可得答案；（ii）由点的坐标，表示出三角形的面积，整理函数解析式，利用导数求得最值，可得答案. 【小问1详解】 设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线. 设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是. 【小问2详解】 （i）因为直线的斜率不为0，故设的方程为， 联立可得：，， 则， . 故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴. （ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以， ， 则， 令，则， 令，则，解得； 令，解得. 则在上单调递增，在上单调递减， ，所以的取值范围为. 14. 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为. （1）求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1），0.182 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意分别对两个函数求导，建立方程组，可得答案； （2）整理不等式，构造函数并求导，根据二次函数的性质，可得答案； （3）利用两边取对数整理不等式，构造函数，利用导数求得其最值，利用（2）的结论，可得答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以，解得， . 【小问2详解】 解法1：设， 则在上恒成立.若，则显然成立； 若， 设， ，当时，， 因此，即在上单调递增， 时，，满足题意； 当时，在上单调递减，因为， 所以存在唯一的，使得， 当时，，即在单调递减， 时，，与已知矛盾，舍去. 综上，实数的取值范围为. 解法2：设， 则在上恒成立.因为，， 所以，解得， 当时，， 在上单调递增，时，恒成立. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 证明：要证时，，即证， 设，则，令得， 当时，，上单调递减； 当时，，在上单调递增， 因此， 因此只需证，即证. 设， 则在上单调递增， ，即， 令，则，因此原不等式成立. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 榆林市2025届高三第三次模拟检测 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则虚部为（ ） A. B. 4 C. D. 2. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A B. 5 C. D. 13 4. 双曲线的右焦点为，若以点为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 2 D. 5. 交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（ ） A. 安 B. 5安 C. 安 D. 安 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分. 6. 设椭圆左、右焦点分别为是上的动点，则（ ） A. 的周长为16 B. 的最小值为 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 7. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角C为钝角 B. C. D. 的最小值为 8. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9. 如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么______. 10. 某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 2 4 5 6 8 销售额y 30 40 60 60 70 （1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 11. 数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 12. 如图1，已知为等边三角形，四边形为平行四边形，.把沿向上折起，使点到达点位置，使得平面平面，如图2所示. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）当点在线段（包括端点）上运动时，设直线与平面所成的角为，求的取值范围. 13. 已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 14. 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为. （1）求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$