17.4一元二次方程根与系数的关系 同步练习-2024-2025学年沪科版数学八年级下册

17.4一元二次方程根与系数的关系同步练习 1.已知一元二次方程x2－6x－7＝0的两根分别为m，n，则m＋n的值是( ) A．6 B．－6 C．1 D．－1 2.已知x1，x2是一元二次方程x2－3x＝1的两个根，则x1x2＝　　　　　．  3.若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为( ) A．4 B．8 C．12 D．16 4.设a，b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为 　　　　　． 5.设a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．1 6.已知x1、x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．3 C． D．﹣3 7.已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 　 　． 8.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝2，则x1＋x2的值为( ) A．4 B．－4 C．4或－2 D．－4或2 9.在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程： 　． 10.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个实数根； （2）若﹣2是方程的一个根，求这个方程的另一个根及m的值． 11.已知数轴上A，B两点表示的数是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 12.在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A．2 B．2 C．3 D．4 13.关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m＝　 　． 14.如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．若关于x的一元二次方程（a是常数，且a≠0）是“差1方程”，则a的值为 　 　． 15.已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 16.已知关于x的方程x2+2（m+2）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+16时，求m的值． 17.已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 18.m为何值时，方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？ 19.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）求衍生点M的轨迹的解析式； （3）直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若衍生点M在△ABC的内部，求m的取值范围； （4）若无论k（k≠0）为何值，关于x的方程ax2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，求b，c满足的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.4一元二次方程根与系数的关系同步练习（解析版） 1.已知一元二次方程x2－6x－7＝0的两根分别为m，n，则m＋n的值是( ) A．6 B．－6 C．1 D．－1 【解答】解：∵方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根是m，n， ∴m+n＝﹣（﹣6）＝6． 选：A 2.已知x1，x2是一元二次方程x2－3x＝1的两个根，则x1x2＝　　　　　．  【解答】解：∵原方程化为一般形式为x2﹣3x﹣1＝0，方程的两个根是x1，x2， ∴x1x2＝﹣1． 3.若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为( ) A．4 B．8 C．12 D．16 【解答】解：∵方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2且x1＝3x2， ∴x1+x2＝8，x1x2＝m ∴3x2+x2＝4x2＝8 ∴x2＝2 ∵x1+x2＝8 ∴x1＝6 ∴x1x2＝m=12 4.设a，b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为 　　　　　． 【解答】解：因为a，b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根， 所以a+b＝﹣2，ab＝﹣2023． 则（a+1）（b+1） ＝ab+a+b+1 ＝﹣2023+（﹣2）+1 ＝﹣2024． 5.设a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．1 【解答】解：a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）， ∵a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根， ∴a2+a﹣2025＝0，a+b＝﹣1， ∴a2+a＝2025， ∴原式＝2025﹣1 ＝2024， 选：A． 6.已知x1、x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣3， ∴ ． 选：A． 7.已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 　 　． 【解答】解：设另一个根为x＝m，则﹣2m＝﹣6， 解得：m＝3， 所以，另一个根为3． 8.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝2，则x1＋x2的值为( ) A．4 B．－4 C．4或－2 D．－4或2 【解答】解：∵x2＋2mx＋m2－m＝0的两根为x1，x2且x1x2＝2， ∴x1+x2＝-2m，x1x2＝m2－m=2 解得m1=2,m2＝-1 ∵m=-1时，方程为x2－2x＋2＝0无解 ∴m=2 ∴x1+x2＝-2m=-4 选：B． 9.在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程： 　． 【解答】解：∵小明看错了一次项系数b， ∴x1x2＝c=6 ∵小刚看错了常数项c， ∴x1+x2＝-b=6 ∴b=-6 ∴正确的一元二次方程为：x2﹣6x＋6＝0 10.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个实数根； （2）若﹣2是方程的一个根，求这个方程的另一个根及m的值． 【解答】解：（1）证明：由题意，∵Δ＝m2﹣4（m﹣1） ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2． 又∵对于任意实数m都有（m﹣2）2≥0， ∴Δ≥0． ∴不论m为什么实数，这个方程总有两个实数根． （2）解：∵﹣2是方程的一个根， ∴4﹣2m+m﹣1＝0． ∴m＝3． ∴一元二次方程为x2+3x+2＝0． ∴方程的两根之积为2． ∴这个方程的另一个根为：2÷（﹣2）＝﹣1． 11.已知数轴上A，B两点表示的数是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：设A表示的数为x1，B表示的数为x2，则AB＝|x1﹣x2|， ∵数轴上A，B两点表示的数是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣8， ∴AB＝|x1﹣x2|6， 选：C． 12.在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A．2 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为： 39+（）2×4＝39+25＝64， ∴该方程的正数解为2＝3． 选：C． 13.关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m＝　 　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2， ∵Δ＝b2﹣4ac ＝（4m）2﹣4×2m， ＝16m2﹣8m， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2， ∴4m2﹣2， （8m﹣3）（8m+1）＝0， 解得：m1，m2， 当m1时，Δ＝1683＜0，不符合题意，舍去； 当m2时，Δ＝168×（）0，符合题意； 综上，m． 14.如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．若关于x的一元二次方程（a是常数，且a≠0）是“差1方程”，则a的值为 　 　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程是“差1方程”， ∴x1﹣x2＝1， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，即a（a+2）＝5﹣2a， 解得a＝﹣5或a＝1， 15.已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵4， ∴， ∴， ∴k1＝5，k2＝﹣3， 又k≤3， ∴k＝﹣3， 经检验k＝﹣3是分式方程的解． 所以k＝﹣3． 16.已知关于x的方程x2+2（m+2）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+16时，求m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣5＝0有实数根， ∴Δ＝[2（m+2）]2﹣4×1×（m2﹣5）＝16m+36≥0， 解得：m． 故m的取值范围是m． （2）∵关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣5＝0的两个根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2（m+2），x1•x2＝m2﹣5， ∵x1x2+16， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，即[﹣2（m+2）]2﹣3（m2﹣5）＝16， 整理得：m2+16m+15＝0， ∴（m+15）（m+1）＝0， 解得：m1＝﹣15，m2＝﹣1， ∵m． ∴m的值为﹣1． 17.已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＞0， 解得k＞1． （2）∵1＜k＜5， ∴整数k的值为2，3，4， 当k＝2时，方程为 x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3， 当k＝3或4时，此时方程解不为整数． 综上所述，k的值为2． 18.m为何值时，方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？ 【解答】解：方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根的条件为： x1•x20且Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣1）×3＞0， 解得m＜1， 根据两根之和公式可得x1+x2， 又∵m＜1， ∴0， 即此时负根的绝对值大． 19.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）求衍生点M的轨迹的解析式； （3）直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若衍生点M在△ABC的内部，求m的取值范围； （4）若无论k（k≠0）为何值，关于x的方程ax2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，求b，c满足的关系． 【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0， ∴Δ＝4（m﹣1）2﹣4（m2﹣2m） ＝4m2﹣8m+4﹣4m2+8m ＝4＞0． ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由题意，x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0， ∴（x﹣m）（x﹣m+2）＝0． ∴x1＝m﹣2，x2＝m． ∴该一元二次方程的衍生点M为（m﹣2，m）． 令x＝m﹣2，y＝m， ∴衍生点M的轨迹的解析式为y＝x+2． （3）解：如图，直线l1：y＝x+5与x轴交于点A， ∴A（﹣5，0）， 又M在直线y＝x+2上， ∴M（m﹣2，m）在直线y＝x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点（0，2）． 令y＝0，则x+2＝0， ∴x＝﹣2， ∴﹣2＜m﹣2＜0． ∴0＜m＜2． （4）解：由题意，∵直线y＝kx﹣2（k﹣2）＝k（x﹣2）+4，过定点M（2，4）， ∴ax2+bx+c＝0两个根为x1＝2，x2＝4， ∴2+4＝6，2×4＝8， ∴． ∴3c＝﹣4b，即4b+3c＝0． 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