3.1 同底数幂的乘法-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

3.1 同底数幂的乘法 一、同底数幂的乘法运算性质： 1.同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 2.运用同底数幂的乘法的运算性质的条件 在同底数幂的运算中，经常用到两个变形 二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2） 逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 注：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 巩固课内例1:用幂的形式表示各式——同底数幂的乘法 1．下列各题的结果都用的幂的形式来表示，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先转化为底数为10幂的形式，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算后即可选取答案． 【详解】A、应为100×10 3 ＝10 2 ×10 3 ＝10 5 ，故本选项错误； B、应为100×10 100 ＝10 2 ×100 100 ＝10 102 ，故本选项错误； C、1000×10 2n ＝10 3 ×10 2n ＝10 2n＋3 ，正确； D、应为10×10 6 ＝10 6＋1 ＝10 7 ，故本选项错误． 故选C. 【点睛】主要考查同底数幂的乘法的性质,本题关键是转化为底数为10的同底数幂的乘法． 2．计算： （结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键． 本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算下列各式，结果用幂的形式表示． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可； （2）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可； （3）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可。 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正． 巩固课内例2:用科学记数法表示各式——同底数幂的乘法 1．光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多远？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用有理数的乘法结合科学记数法表示方法得出答案． 【详解】解：由题意可得，地球与太阳的距离大约是：． 故选：B 【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 2．一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 3．在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 【答案】 【分析】根据路程速度时间即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 我们行驶的路程为， 答：我们行驶的路程为． 【点睛】本题考查了科学记数法以及同底数幂乘法，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解本题的关键． 巩固课内例3:用幂的形式表示各式——幂的乘方 1．下列不属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）． 【详解】解：A，B，D是幂的乘方，C是积的乘方． 故选C． 2．计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则．本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算：（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方与幂的乘方公式； 根据积的乘方与幂的乘方公式即可求解； 【详解】解： 巩固课内例4:计算下列各式——积的乘方 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，根据积的乘方法则和幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方运算法则，准确进行计算．根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方进行计算即可求解； （2）根据积的乘方进行计算即可求解； （3）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解，再加减求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 巩固课内例5:用科学记数法解决应用——积的乘方 1．新华广场为正方形广场，其边长为，其面积用科学记数法表示为：（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长列出代数式，根据积的乘方化简，结果写成科学记数法的形式即可． 【详解】解：面积为，即， 故选：D 【点睛】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握幂的运算法则是解题的关键． 2．已知一个正方形的边长是，则它的面积是 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，以及积的乘方计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： 故答案为： 3．计算： (1)； (2)（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的有关运算和科学记数法，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则． （1）先根据同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则进行乘法和乘方，最后合并同类项即可； （2）先根据积的乘方法则和幂的乘方法则计算乘方，再用科学记数法表示结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型一、同底数幂的简单运算 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．根据同底数幂乘法的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，先进行同底数幂的乘法运算，再化简结果，即可求解；掌握是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 3．． 【答案】 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，熟记运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ； 类型二、幂的乘方的简单运算 1．计算，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算．直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算,正确理解幂的乘方运算法则是解题的关键．幂的乘方,底数不变，指数相乘．根据幂的乘方运算法则计算,即得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据乘方的定义求出每个幂，再相乘即可求解； （）利用积的乘方、幂的乘方运算法则进行计算即可求解； 本题考查了有理数的乘方运算，积的乘方运算，掌握乘方的定义及积的乘方、幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型三、积的乘方的简单运算 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的法则分别计算即可； （2）根据积的乘方、整式的加减的法则分别计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 类型一、同底数幂的乘法逆用 1．已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法的逆用法则，将变形为 然后把代入计算即可解． 【详解】解：， 把代入得 ． 故选：D． 2．已知，，求的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，根据代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：40． 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用，将变形为，即可求解． 【详解】解：原式． 类型二、幂的乘方的乘法逆用 1．已知，，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，正确掌握相应的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方求出，，再根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选B． 2．已知． （1）计算的结果为 （2）计算的结果为 ． 【答案】 6 108 【分析】本题考查积的乘方及幂的乘方的性质，熟练掌握相关运算性质并灵活运用是解题的关键． （1）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可． （2）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，再用幂的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， （2）． 故答案为：（1）6；（2）108． 3．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则及其逆运算是解题的关键，先利用同底数幂的乘法把变为，再利用幂的乘方把变为，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 类型三、积的乘方的乘法逆用 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，同底数乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法逆用，积的乘方的逆用，根据积的乘方运算的逆运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了逆用积的乘方，逆用同底数幂的乘法，有理数的乘方运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将原式化为，再逆用积的乘方计算即可； （2）将原式化为，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 类型四、整式的乘除与有理数乘方结合 1．若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是正确解答此题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故答案为：A． 2．已知是正整数，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，解一元一次方程，先由合并同类项和幂的乘方法则得，然后转化为一元一次方程，再解方程即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可得； （2）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得； （3）先计算积的乘方与幂的乘方，再计算整式的加减法即可得； （4）先将带分数化成假分数，再利用同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 类型五、整式的乘除与合并同类项结合 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂乘法运算、合并同类项、幂的乘方和积的乘方运算．根据相关运算法则逐个计算，再进行判断即可． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意． 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，将原式变形为，再利用同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得； （2）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，再计算整式的加减法即可得； （3）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂乘法即可得； （4）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后计算整式的减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 类型六、整式的乘除与一元一次方程结合 1．如果，那么a等于（   ） A．2 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的运算法则求解． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 2．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的运算，运用幂的运算公式化为同底数，即可得到关于m的方程，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：4． 3．若（且是正整数），则．请你利用上面的结论，回答下列问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算， （1）根据同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算即可求解； （2）根据幂的乘方及其逆运算即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 解得． （2）因为， 所以， 所以， 解得． 类型一、整式的乘除比较大小 1．比较与大小，结果是（　　） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法，有理数大小比较，先把与变为，再比较底数，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，据此可得答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系； 解：，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 (2)已知，，试比较a，b的大小． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用求解即可得； （2）求出，，则，由此即可得． 【详解】（1）解：和利用的是幂的乘方的逆用， 故选：C． （2）解：∵，， ∴，，且， ∴， ∴． 类型二、字母之间的数量关系 1．已知，，且，则，，三者之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，灵活运用同底数幂的乘法、幂的乘方是解题的关键．根据题意得出，，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵，，且， ∴， ， ∴， 故选：D． 2．如果那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定，若记，，．则、、的数量关系为__________． 【答案】 【分析】根据新定义可知，，，根据同底数幂的乘法法则，可知，即可知道、、的数量关系． 【详解】解：如果，那么， 因为，，， 所以，，， 则 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义运算和同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，试求a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了定义新运算，乘方，同底数幂相乘， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先根据新定义得，再根据，结合同底数幂相乘法则整理即可. 【详解】（1）解：∵，我们规定，， ∴，. 故答案为：5，−8； （2）∵，我们规定， ∴. ∵， ∴， 即， ∴． 类型三、新定义运算 1．对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，新定义，根据新定义结合幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法法则得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，同底数幂的乘法，根据新定义运算的含义可得，再进一步计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ； 故答案为：． 3．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若是“共生有理数对”，且，求的值； (3)若是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是，理由见详解 (2)64 (3)16 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对是否为“共生有理数对”； （2）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； （3）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； 本题考查新定义，已知式子的值求代数式的值，幂的乘方，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】（1）解：不是“共生有理数对”， 理由：，， 不是“共生有理数对”； （2）是“共生有理数对”，且， ， 解得， ； （3）解：∵是“共生有理数对”，且， ∴， ∴， 则． 类型四、规律问题 1．观察下列单项式：按此规律，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各单项式的系数和字母因数的规律，即可求解． 本题主要考查了单项式规律题，解题的关键是：找到各单项式的系数和字母因数的规律． 【详解】解：各单项式的系数为，，，，，， 第个单项式系数为， 各单项式字母因数为，，，，，， 第个单项式字母因数为， 第个单项式为， 故选：A． 2．按一定规律排列的一组数：，…．若表示这组数中连续的三个数，猜想满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数据的排列规律的探究，同底数幂的乘法公式，根据数据的排列特点找到变化的规律是解题的关键． 分析这组数的排列规律：底数都是2，前两个数的指数相加是下一个数的指数，由此根据同底数幂的乘法列式计算即可． 【详解】解：观察数列可发现：， ∴前两个数的积等于第三个数， ∵x、y、z表示这列数中的连续三个数， ∴x、y、z满足的关系式是． 故答案为：． 3．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 1．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，先化为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：， 故选：B． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方以及幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 故选D． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 5．若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则结合整体代入法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 6．观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，幂的乘方的逆运算，由题意可知，将变形为，进而可得，由此可解． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟知积的乘方运算法则是正确解决本题的关键． 先算积的乘方，再看能不能合并同类项即可． 【详解】解: 8．已知，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，先得出，再得出即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 9．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法及其逆运算，有理数的运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则和其逆用是解题的关键．先利用同底数幂的乘法法则得出，求出的值，再利用同底数幂的乘法的逆运算得出，再利用乘法分配律的逆运算得出，即可得． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ． ∴ ． 10．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 同底数幂的乘法 一、同底数幂的乘法运算性质： 1.同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 2.运用同底数幂的乘法的运算性质的条件 在同底数幂的运算中，经常用到两个变形 二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2） 逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 注：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 巩固课内例1:用幂的形式表示各式——同底数幂的乘法 1．下列各题的结果都用的幂的形式来表示，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．计算： （结果用幂的形式表示）． 3．计算下列各式，结果用幂的形式表示． (1)； (2)； (3)． 巩固课内例2:用科学记数法表示各式——同底数幂的乘法 1．光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多远？（    ） A． B． C． D． 2．一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 3．在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 巩固课内例3:用幂的形式表示各式——幂的乘方 1．下列不属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ．（结果用幂的形式表示） 3．计算：（结果用幂的形式表示）． 巩固课内例4:计算下列各式——积的乘方 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例5:用科学记数法解决应用——积的乘方 1．新华广场为正方形广场，其边长为，其面积用科学记数法表示为：（　　） A． B． C． D． 2．已知一个正方形的边长是，则它的面积是 （用科学记数法表示）． 3．计算： (1)； (2)（结果用科学记数法表示） 类型一、同底数幂的简单运算 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算： ； 3．． 类型二、幂的乘方的简单运算 1．计算，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2) 类型三、积的乘方的简单运算 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算：的结果为 ． 3．计算： (1)； (2)． 类型一、同底数幂的乘法逆用 1．已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 2．已知，，求的值为 ． 3．已知，求的值． 类型二、幂的乘方的乘法逆用 1．已知，，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 2．已知． （1）计算的结果为 （2）计算的结果为 ． 3．已知，，求的值． 类型三、积的乘方的乘法逆用 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 类型四、整式的乘除与有理数乘方结合 1．若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是正整数，若，则的值为 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型五、整式的乘除与合并同类项结合 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型六、整式的乘除与一元一次方程结合 1．如果，那么a等于（   ） A．2 B． C． D．以上都不对 2．若，则 ． 3．若（且是正整数），则．请你利用上面的结论，回答下列问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 类型一、整式的乘除比较大小 1．比较与大小，结果是（　　） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 2．已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 3．请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系； 解：，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 (2)已知，，试比较a，b的大小． 类型二、字母之间的数量关系 1．已知，，且，则，，三者之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．如果那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定，若记，，．则、、的数量关系为__________． 3．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，试求a，b，c满足的数量关系． 类型三、新定义运算 1．对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．16 2．新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 3．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若是“共生有理数对”，且，求的值； (3)若是“共生有理数对”，且，求的值． 类型四、规律问题 1．观察下列单项式：按此规律，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的一组数：，…．若表示这组数中连续的三个数，猜想满足的关系式是 ． 3．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 1．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．若，则 ． 6．观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 7．计算：． 8．已知，求的值． 9．已知，求的值． 10．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$