精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州恩施市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

恩施市2024年秋季学期义务教育阶段期末考试九年级 数学试题卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：． 【详解】解：A、是一元二次方程，此选项符合题意； B、不是整式方程，此选项不符合题意； C、是一元一次方程，此选项不符合题意； D、中，有2个未知数，此选项不符合题意； 故选：A． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，先求出旋转角，再根据可得答案． 【详解】根据旋转性质可知， ∵， ∴． 故选：B． 4. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 故选：C． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点坐标．根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案．抛物线顶点式顶点坐标为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 6. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 拔苗助长 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 旭日东升 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、“拔苗助长“是不可能事件，不符合题意； B、“守株待兔“是随机事件，不符合题意； C、“水中捞月”是不可能事件，不符合题意； D、“旭日东升“是必然事件，符合题意； 故选：D． 7. 下面是“过圆外一点作的切线”的尺规作图的方法： ①连接； ②分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点； ③以为圆心，为半径画圆，交于两点； ④作直线．直线即为所求． 上述方法通过判定得到直线是的切线，其中判定的依据是（ ） A. 圆的切线垂直于过切点的半径 B. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 的圆周角所对的弦是直径 D. 直径所对的圆周角是直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．． 根据的直径是，可知，故判定的依据是直径所对的圆周角是直角，进而可得答案． 【详解】解：∵的直径是， ∴， ∴判定的依据是直径所对的圆周角是直角， 故选：D． 8. 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关键． 根据弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）得到，由此即可求解． 【详解】解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）， ∴， 故选：D ． 9. 在同一坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由二次函数图象得到系数字母的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由抛物线可知，，即；由直线可知，，二者矛盾，故本选项错误； B．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得，两者矛盾；由直线可知，，的范围不一致，故本选项错误； C．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得，两者矛盾；由直线可知，，的范围不一致，故本选项错误； D．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得；由直线可知，，的范围一致，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质是解题的关键． 10. 如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；⑤；⑥不等式的解集为；其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式；先利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即，则可对①③⑤进行判断；当时，有最小值可对②进行判断；利用利用抛物线的对称性得到当或时，，利用函数图象得到抛物线不在直线的下方所对应的自变量的范围可对④进行判断；通过解方程抛物线与直线的交点的横坐标分别为、，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围可对⑥进行判断，熟练利用二次函数性质是解题的关键． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得，所以⑤正确， ， 即， ，，， ，所以①正确； ，， ，所以③正确； 当时，有最小值， 对于任意的，均有，所以②错误； 抛物线的对称轴为直线， 当或时，， 当时，或，所以④错误； 解方程得，， 抛物线与直线的交点的横坐标分别为、， 当或时，， 不等式的解集为或，所以⑥错误． 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 13. 如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=____． 【答案】76． 【解析】 【分析】由切线的性质得出PA=PB，PA⊥OA，得出∠PAB=∠PBA，∠OAP=90°，由已知得出∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB=52°，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为76． 【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题． 14. 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）． 【答案】7.5 【解析】 【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可. 【详解】如下图所示，设球的半径为rcm， 则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm， ∵EG过圆心，且垂直于AD， ∴G为AD的中点， 则AG=0.5AD=0.5×12=6cm， 在中，由勾股定理可得， ， 即， 解方程得r=7.5， 则球的半径为7.5cm． 【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键． 15. 如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为3，求k的值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）k的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ； 【小问2详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， ． 的取值范围为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为个单位长度） （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示． 点的坐标为． （2） 如图所示． 点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）可以由三个顶点的位置确定，只需分别画出这三个顶点关于原点的对应点，依次连接对应点，即可得到；点关于原点的对称点为，据此可求得三个顶点关于原点的对应点． （2）可以由三个顶点的位置确定，只需分别画出这三个顶点绕点逆时针旋转后的对应点，依次连接对应点，即可得到；根据对应点到旋转中心的距离相等，且一个点和对应点分别与旋转中心的连线组成的角为（逆时针旋转），即可求得三个顶点旋转后的对应点． 【小问1详解】 三个顶点关于原点的对应点分别为，，，依次连接，，，所得图形即为， 点的坐标为． 【小问2详解】 三个顶点旋转后的对应点分别为，，，依次连接，，，所得图形即为， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、图形的旋转、图形的中心对称，牢记图形旋转的性质和图形的中心对称的性质是解题的关键． 18. 随着信息技术的迅猛发展，人们在购物时可选择的支付方式变得多样，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． （1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ； （2）在一次购物中，小明和小亮从这四种支付方式中随机选一种进行支付，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰巧是“现金”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰巧是“现金”的结果有1种， 恰巧是“现金”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：将“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式分别记为，，，， 列表如下： 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有4种， 两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 19. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． （1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【小问1详解】 解：设每次上涨的百分率为，列方程为： ， 解得：，（舍去）， 答：每次上涨的百分率为； 【小问2详解】 解：设销售单价降低元，销售利润为元， ， ∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元． 20. 如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图， 连接， 是的直径， ，即， ， 垂直平分． ． ． ， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，首先证明，推出，即可解决问题； （2）连接，根据，所以只要求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 连接， ， ． ． 是的直径， ． ． 21. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由与相切于点，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证； （2）设的半径为，则，由勾股定理得，，即，可求，则，，由（1）知，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为6． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 22. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵， ∴ ∴为 三角形． ∴的度数为 ． （2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长； （3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点 ，求的度数． 【答案】（1）等边，直角，150度 （2）6 （3）45度 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进一步求解即可； （2）把绕点B顺时针旋转90°得到，旋转的性质，推出是等腰直角三角形，求出，再利用勾股定理进行求解即可； （3）将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，得到，利用勾股定理及其逆定理，得到是直角三角形，且，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是等边三角形． ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∴的度数为． 故答案为：等边，直角，150度； 【小问2详解】 如图1，把绕点B顺时针旋转90°得到， 则， ∵旋转角是， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，； 【小问3详解】 将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接， ∴， ∴， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过旋转，构造特殊图形． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集发现飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）随飞行时间t（单位：）的变化满足一次函数关系；飞行高度y（单位：）随飞行时间t（单位：）的变化满足二次函数关系．数据如下表所示． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行的水平距离 0 8 16 24 32 … 飞行高度 0 18 32 42 48 … 素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知．． 问题解决： 任务1：确定函数表达式． ①直接写出x关于t的函数表达式：_______． ②求出y关于t的函数表达式． 任务2：探究飞行距离．当飞机落地（高度为）时，求飞行的水平距离． 任务3：确定弹射口高度h．当飞机落到回收区域内（不包括端点A，B）时，请写出发射台弹射口高度h的变化范围：________． 【答案】任务1：①；②y关于t的函数表达式为；任务2：飞机落地时，飞行的水平距离为；任务3：． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 任务1：根据表格数据，利用待定系数法求两函数的表达式即可； 任务2：令，解方程即可求解； 任务3：设发射台弹射口高度为h，则此时抛物线的表达式为，分别求得落地A点和点B时的h值，进而可得h的取值范围． 【详解】解：任务1：①设，将，代入得： ， 解得：， ∴x关于t的函数表达式为， 故答案为：； ②设y关于t的函数表达式为，将、、代入得： ， 解得：， 故y关于t的函数表达式为； 任务2：当飞机落地时，即， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∵， ∴时，， 故飞机落地时，飞行的水平距离为； 任务3：由和得：， 设发射台弹射口高度为h，则此时抛物线的表达式为， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 即， 故答案为：． 24. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3），，，． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）分点在左侧和点在由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图像及性质，进而求解． 【小问1详解】 解：把代入中，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点， 把代入中，得：， ∴点坐标是， 设直线， 把，，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴ 由得：， ∴ 整理得： 解得： ∵， ∴的值为或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在． 由，，，得， ∴， ①当点在左侧时． 在轴上取点，，延长交抛物线于点． 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴设直线的解析式为， 由得：或， ∴； ②当点在右侧时， 作关于的对称，交二次函数于点，则，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 令中，，则， 解得或， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴ ∴在点抛物线上，即点满足条件． 故存在满足条件的点有两个，分别是，，，． 【点睛】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这些知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩施市2024年秋季学期义务教育阶段期末考试九年级 数学试题卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 拔苗助长 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 旭日东升 7. 下面是“过圆外一点作的切线”的尺规作图的方法： ①连接； ②分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点； ③以为圆心，为半径画圆，交于两点； ④作直线．直线即为所求． 上述方法通过判定得到直线是的切线，其中判定的依据是（ ） A. 圆的切线垂直于过切点的半径 B. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 的圆周角所对的弦是直径 D. 直径所对的圆周角是直角 8. 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；⑤；⑥不等式的解集为；其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 13. 如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=____． 14. 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）． 15. 如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的取值范围是_____． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为3，求k的值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为个单位长度） （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标． 18. 随着信息技术的迅猛发展，人们在购物时可选择的支付方式变得多样，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． （1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ； （2）在一次购物中，小明和小亮从这四种支付方式中随机选一种进行支付，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 19. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 20. 如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 21. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 22. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵， ∴ ∴为 三角形． ∴的度数为 ． （2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长； （3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点 ，求的度数． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集发现飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）随飞行时间t（单位：）的变化满足一次函数关系；飞行高度y（单位：）随飞行时间t（单位：）的变化满足二次函数关系．数据如下表所示． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行的水平距离 0 8 16 24 32 … 飞行高度 0 18 32 42 48 … 素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知．． 问题解决： 任务1：确定函数表达式． ①直接写出x关于t的函数表达式：_______． ②求出y关于t的函数表达式． 任务2：探究飞行距离．当飞机落地（高度为）时，求飞行的水平距离． 任务3：确定弹射口高度h．当飞机落到回收区域内（不包括端点A，B）时，请写出发射台弹射口高度h的变化范围：________． 24. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $