一元线性回归模型的综合问题 学案-2025届高考数学二轮复习

　一元线性回归模型的综合问题 学案 素养导引 1.理解决定系数的概念,会进行线性回归分析.(数学运算) 2.能利用一元线性回归模型解决实际问题.(数学建模) 　决定系数 1.公式:R2=1-; 2.结论: (1)R2越大,模型的拟合效果越好; (2)R2越小,模型的拟合效果越差. 思考　 决定系数R2的取值范围是什么? 提示:0≤R2≤1. [诊断] 1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)残差平方和越大,决定系数R2越大. () (2)对于拟合效果最好的回归模型,R2=1. () 2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时,分别选择了4种不同模型,计算可得它们的决定系数R2分别如表: 同学 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 故建立的回归模型拟合效果最好的是 (　　) 3.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线性相关性进行分析,并用回归分析的方法求残差平方和Q如表: 同学 甲 乙 丙 丁 Q 106 115 124 103 则能体现A,B两个变量有更强的线性相关特征的为________.  学习任务一　计算决定系数R2(数学运算) 【典例1】某企业2023年至2023年年销售量收益y(单位:百万元)与广告投入x(单位:万元)的数据如表: 年份 2023 2023 2023 2023 2023 x 1 2 3 4 5 y 2 3 3 6 7 表中的数据显示,可用一元线性回归模型建立x与y之间的经验回归方程. (1)求年销售收益y关于广告投入x的经验回归方程; (2)求决定系数R2的值. 【思维提升】 求决定系数的步骤 (1)求,利用经验回归方程求预测值i; (2)求残差平方和及; (3)代入决定系数R2公式计算. 【即学即练】 　假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元),有如表的统计资料: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知,y与x呈现出线性相关关系,经验回归方程为=1.23x+0.08. 试求:(1)残差平方和; (2)决定系数R2(精确到0.000 1). 学习任务二　利用决定系数回归分析 (数学建模、数学运算) 【典例2】现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本x和企业利润y(单位:万元)如表所示: 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 x 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 y 114 116 106 122 132 114 m 132 残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6 -1 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为=3.2x-151.8. (1)求m的值,并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值8; (2)请先求出线性回归模型=3.2x-151.8的决定系数R2(精确到0.000 1).若根据非线性模型y=267.76ln x-1 069.2求得解释变量(物流成本)对于响应变量(企业利润)决定系数=0.905 7,请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好? (3)通过残差分析,怀疑残差绝对值最大的那组数据有误,经再次核实后发现其真正利润应该为116万元.请重新根据最小二乘法的思想与公式,求出新的经验回归方程. 参考数据:xiyi=78 880,=56 528, =84,=904. 【思维提升】 通过计算刻画回归效果 (1)残差平方和法:残差平方和(yi-i)2越小,模型的拟合效果越好. (2)R2法:R2=1-越接近1,表明模型的拟合效果越好. 【即学即练】 　关于x与y有以下数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 　一元线性回归模型的综合问题 学案 素养导引 1.理解决定系数的概念,会进行线性回归分析.(数学运算) 2.能利用一元线性回归模型解决实际问题.(数学建模) 　决定系数 1.公式:R2=1-; 2.结论: (1)R2越大,模型的拟合效果越好; (2)R2越小,模型的拟合效果越差. 思考　 决定系数R2的取值范围是什么? 提示:0≤R2≤1. [诊断] 1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)残差平方和越大,决定系数R2越大. (×) 提示:残差平方和越大,决定系数R2越小. (2)对于拟合效果最好的回归模型,R2=1. (√) 提示:由决定系数R2的意义可知. 2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时,分别选择了4种不同模型,计算可得它们的决定系数R2分别如表: 同学 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 故建立的回归模型拟合效果最好的是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】选A.由0.98>0.85>0.78>0.50,可知甲同学建立的回归模型拟合效果最好. 3.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线性相关性进行分析,并用回归分析的方法求残差平方和Q如表: 同学 甲 乙 丙 丁 Q 106 115 124 103 则能体现A,B两个变量有更强的线性相关特征的为________.  【解析】根据表格中的数据知:丁同学所求得的残差平方和Q最小,此时A,B两变量线性相关特征更强. 答案:丁 学习任务一　计算决定系数R2(数学运算) 【典例1】某企业2023年至2023年年销售量收益y(单位:百万元)与广告投入x(单位:万元)的数据如表: 年份 2023 2023 2023 2023 2023 x 1 2 3 4 5 y 2 3 3 6 7 表中的数据显示,可用一元线性回归模型建立x与y之间的经验回归方程. (1)求年销售收益y关于广告投入x的经验回归方程; (2)求决定系数R2的值. 【解析】(1)由题意可得:==3, ==4.2, 所以由公式求得=1.3,=-=0.3, 所以经验回归方程为=1.3x+0.3; (2)因为1=1.3×1+0.3=1.6,2=1.3×2+0.3=2.9,3=1.3×3+0.3=4.2,4=1.3×4+0.3=5.5, 5=1.3×5+0.3=6.8, 所以++++ =(2-1.6)2+(3-2.9)2+(3-4.2)2+(6-5.5)2+(7-6.8)2=1.9, 又因为++++ =(2-4.2)2+(3-4.2)2+(3-4.2)2+(6-4.2)2+(7-4.2)2=18.8, 所以R2=1-=1-=. 【思维提升】 求决定系数的步骤 (1)求,利用经验回归方程求预测值i; (2)求残差平方和及; (3)代入决定系数R2公式计算. 【即学即练】 　假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元),有如表的统计资料: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知,y与x呈现出线性相关关系,经验回归方程为=1.23x+0.08. 试求:(1)残差平方和; (2)决定系数R2(精确到0.000 1). 【解析】(1)由1=1.23×2+0.08=2.54, 2=1.23×3+0.08=3.77, 3=1.23×4+0.08=5, 4=1.23×5+0.08=6.23, 5=1.23×6+0.08=7.46. 所以1=2.2-2.54=-0.34, 2=3.8-3.77=0.03, 3=5.5-5=0.5, 4=6.5-6.23=0.27, 5=7.0-7.46=-0.46. 所以残差的平方和为(-0.34)2+0.032+0.52+0.272+(-0.46)2=0.651. (2)==5, R2=1-=1- =1-≈0.958 7. 学习任务二　利用决定系数回归分析 (数学建模、数学运算) 【典例2】现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本x和企业利润y(单位:万元)如表所示: 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 x 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 y 114 116 106 122 132 114 m 132 残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6 -1 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为=3.2x-151.8. (1)求m的值,并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值8; (2)请先求出线性回归模型=3.2x-151.8的决定系数R2(精确到0.000 1).若根据非线性模型y=267.76ln x-1 069.2求得解释变量(物流成本)对于响应变量(企业利润)决定系数=0.905 7,请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好? (3)通过残差分析,怀疑残差绝对值最大的那组数据有误,经再次核实后发现其真正利润应该为116万元.请重新根据最小二乘法的思想与公式,求出新的经验回归方程. 参考数据:xiyi=78 880,=56 528, =84,=904. 【解析】(1)因为=3.2x-151.8,=84,所以=3.2×84-151.8=117. 114+116+106+122+132+114+m+132=117×8,解得m=100, 所以8月份对应的残差值8=132-(3.2×86.5-151.8)=7; (2)由已知公式得=0.22+0.62+1.82+(-3)2+(-1)2+(-4.6)2+(-1)2+72=84.8, R2=1-=1-≈0.906 2>, 所以线性回归模型=3.2x-151.8拟合程度更好; (3)由题可知,第8组数据的利润应为116万元, 此时xiyi=78 880-86.5×16=77 496, 又=56 528,=84,=117-=115, 所以===2.7, 所以=115-2.7×84=-111.8, 所以重新采集数据后,经验回归方程为=2.7x-111.8. 【思维提升】 通过计算刻画回归效果 (1)残差平方和法:残差平方和(yi-i)2越小,模型的拟合效果越好. (2)R2法:R2=1-越接近1,表明模型的拟合效果越好. 【即学即练】 　关于x与y有以下数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 有两个线性模型:(1)=6.5x+17.5; (2)=7x+17,试比较哪一个拟合效果比较好. 【解析】由表格得 =(30+40+60+50+70)=50, 由(1)得yi-i与yi-的关系如表所示. yi-i -0.5 -3.5 10 -6.5 0.5 yi- -20 -10 10 0 20 所以=(-0.5)2+(-3.5)2+102+(-6.5)2+0.52=155. =(-20)2+(-10)2+102+02+202=1 000. 所以=1-=1-=0.845. 由(2)得yi-i与yi-的关系如表所示. yi-i -1 -5 8 -9 -3 yi- -20 -10 10 0 20 所以=(-1)2+(-5)2+82+(-9)2+(-3)2=180. =(-20)2+(-10)2+102+02+202=1 000. 所以=1-=1-=0.82. 由=0.845,=0.82知>, 所以方程(1)的拟合效果比较好. 学科网（北京）股份有限公司 $$