第七章 复数章末综合检测-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数章末综合检测 （时间：120分钟,满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．的虚部为（ ） A. B. C. D. 2．已知复数,,,则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3．复数为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4．已知为正实数,为虚数单位，,则（ ） A. 2 B. C. D. 1 5．已知点,,，复数，在复平面内对应的向量分别是，，为坐标原点，则复数（ ） A. B. C. D. 6．在复平面内，为坐标原点，复数,对应的点分别为,，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7．已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 8．已知复平面内复数对应向量，复数满足，是的共轭复数，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数,，若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 的实部是 D. 的实部与虚部互为相反数 10．已知复数,是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11．设,为复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若,,在复平面内，,对应的点分别为,,则,间的距离为________. 13．已知为虚数单位，若复数，则实数的值为________. 14．已知复数 满足为虚数单位，.写出一个以为根的实系数一元二次方程为____________________________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知复数,为虚数单位. （1） 求复数; （2） 若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16．（本小题满分15分）已知复数的实部为正数，，的虚部为2. （1） 求复数; （2） 若在复平面内对应的向量为，求向量的模. 17．（本小题满分15分）已知复数,,. （1） 当时，求的值； （2） 若是纯虚数，求的值； （3） 若在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 18．（本小题满分17分）关于的方程的两个根为，. （1） 若，求实数的值； （2） 若，求实数的值. 19．（本小题满分17分）设是虚数，，是实数，且. （1） 求的值及的实部的取值范围； （2） 求证: 为纯虚数； （3） 求的最小值. 第 66 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复数章末综合检测 （时间：120分钟,满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选,故其虚部为. 2．已知复数,,,则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】选C.因为,所以,所以 所以. 3．复数为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】选A.，它在复平面内对应的点为，该点在第一象限.故选A. 4．已知为正实数,为虚数单位，,则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】选B.因为,则,所以.又 为正实数，所以. 5．已知点,,，复数，在复平面内对应的向量分别是，，为坐标原点，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由题意可知，,,所以. 6．在复平面内，为坐标原点，复数,对应的点分别为,，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.因为,,所以,,所以,所以.又,所以. 7．已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】选D.因为 是方程 的一个根，所以 是方程的另一个根，所以,解得.故选D. 8．已知复平面内复数对应向量，复数满足，是的共轭复数，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.依题意知，，则，故A正确； 又，，，，即，故B正确； 设，由 得，， 则 , ，故C错误； , , 故D正确.故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数,，若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 的实部是 D. 的实部与虚部互为相反数 【答案】BCD 【解析】选.,因为 是纯虚数， 所以 解得，故A错误； ，，,故B正确； ，故 的实部是，故C正确； ，故 的实部与虚部互为相反数，故D正确.故选. 10．已知复数,是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】选.由题易知,所以方程的根为,不妨设,,易知,A正确； ,C正确； 因为,所以,当 时，,B错误； 当 时，,,计算得,所以,同理得,D正确.故选. 11．设,为复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则或 【答案】AD 【解析】选.对于A，设,,,,,,则, 所以 即 所以,A正确； 对于B，令,,则,此时,B错误； 对于C,令,,则,此时,C错误； 对于D,设,,,,,,则, 所以 即 则, 若,则 成立，此时; 若,,由 知,由 知,此时; 同理可知，当,时，; 若,,由 得,所以,此时. 综上，若,则 或,D正确.故选. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若,,在复平面内，,对应的点分别为,,则,间的距离为________. 【答案】 【解析】由,知,,由两点间的距离公式得. 13．已知为虚数单位，若复数，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 , 由，所以复数 为实数，则，，此时，满足. 14．已知复数 满足为虚数单位，.写出一个以为根的实系数一元二次方程为____________________________________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题知,即,故.若实系数一元二次方程有虚根,则必有共轭虚根,因为,,所以所求的一个一元二次方程可以是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知复数,为虚数单位. （1） 求复数; （2） 若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】 （1） 解：因为, 所以. （2） , 因为 在复平面内所对应的点在第四象限， 所以 解得, 故实数 的取值范围是. 16．（本小题满分15分）已知复数的实部为正数，，的虚部为2. （1） 求复数; （2） 若在复平面内对应的向量为，求向量的模. 【答案】 （1） 解：设,,则由,可得.① 因为,所以.② 联立①②，解得 或. 又复数 的实部为正数，所以,所以,于是. （2） 由（1）可知,则,则,所以向量 的模为. 17．（本小题满分15分）已知复数,,. （1） 当时，求的值； （2） 若是纯虚数，求的值； （3） 若在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） 解：当 时，. （2） 由题意 为纯虚数，则,所以. （3） , 该复数在复平面上对应的点 在第二象限,则 解得. 故实数 的取值范围是. 18．（本小题满分17分）关于的方程的两个根为，. （1） 若，求实数的值； （2） 若，求实数的值. 【答案】 （1） 解：由题意知，方程有一对共轭复数根，所以， 所以，所以. （2） ①当，即 时，方程有两个实数根， 所以，， 则 ， 解得； ②当， 即 时，方程有两个虚数根， 即， 不妨设， ， 则 ，解得. 综上，实数 的值为 或. 19．（本小题满分17分）设是虚数，，是实数，且. （1） 求的值及的实部的取值范围； （2） 求证: 为纯虚数； （3） 求的最小值. 【答案】 19．解：因为 是虚数， 所以可设,,,且, （1） , 可得,此时，，又，所以,即 的实部的取值范围为,. （2） 证明：, 因为,所以 为纯虚数. （3） ,又，，化简得 . 当且仅当,即 时，取得最小值，最小值为1. 第 66 页 学科网（北京）股份有限公司 $$