第六章平面向量及其应用第七章复数章末综合检测-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章《平面向量及其应用》第七章《复数》章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D C A D D A ACD BCD ABD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【解析】A . 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【解析】B 由向量，因为，可得，解得. 3. 中，，，，则的面积等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【解析】D ∵，，， ∴由正弦定理可得， ∵，可得或120°， ∴或30°， ∴或． 4. 已知，在上的投影为，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为，在上的投影为，可得，所以. 5. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（ ） （提示：） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【解析】A 因为，可得是等边三角形，千米. 记直线与直线的交点为， 所以为的中点，所以为等腰三角形， ， 又， 所以千米， 6. 已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A 由向量，是两个单位向量，且与的夹角为锐角，可设. 则， 因为，所以，所以， 故“与的夹角为锐角”是“”的充分条件； 若，则 ，但此时，不锐角， 所以“与的夹角为锐角”是“”的不必要条件. 总之，“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件. 7. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 【解析】D 因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 8. 已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【解析】A，由正弦定理得： ∵，∴， ∵， ∴，为直角三角形且外接圆半径为， ∴， ∴， 设内切圆半径为，则． 其中， 因为，所以， 故，当且仅当时，等号成立， ∴， 当且仅当时等号成立. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，则正确的是（ ） A. 与同向的单位向量是 B. 与共线 C. D. 与夹角 【解析】ACD 因为，，所以， 则与同向的单位向量是，故A正确； 又因为，， 所以，又， 所以，即与夹角，故B错误，C、D正确. 10. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【解析】BCD 对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 11. 如图，在中，，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 【解析】ABD 选项A：由题意可得，说法正确； 选项B：因为，， 所以由可知，即， 又因为三点共线，所以，解得，说法正确； 选项C：， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为，说法错误； 选项D：因为，， 所以， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以，说法正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，点为边上的点，且，若，则的值是__________. 【解析】因为点为边上的点，且， 所以， 又因为，所以， 所以. 13. 已知向量，，，的夹角的余弦值为，设在方向上的投影向量为，记，则______. 【解析】因为，所以， 又，，的夹角的余弦值为， 所以， 所以在方向上的投影向量为，又， 所以. 14. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形的斜边，直角边，，点在以为直径的半圆上，延长，交于点.若，，，则的面积是______. 【解析】由题意得：， 所以，故，所以， 因为，所以 故 ， 因为，，，所以， 又因，，所以， 所以的面积是. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）. （1）求复数和； （2）复数在复平面对应的点在直线上，求实数的值. 【解析】（1）设复数，，由是实数，则， 即，所以， 因为为纯虚数，所以且，解得， 所以， . （2）由（1）知， 在复平面上对应的点为， 又已知在复平面上对应的点在直线上，则有：， 解得：. 16. 已知向量满足. （1）求； （2）若，求的最小值. 【解析】（1）由，得， 同相减得，， 代入中，得. 所以， 所以. （2）因，所以， 所以 当时，取最小值. 17. 已知中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且， （1）求角； （2）若边上的高为，用或表示，并求出它的取值范围. 【解析】（1）因为，，且， 所以， 由正弦定理得，因为，所以， 所以，所以， 因为，所以. （2）依题意，即， 所以， 所以 ， 因为，所以，所以， 即. 18. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）若，求的值； （2）过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理，∴，， 代入，整理得∴； （2）①在中，由正弦定理，得， ∴，∴或（舍），∴， ∵，且，所以三点共线， ∴，故， ∴，∴． ②设，，，则，， 在中，，则， 在中，， 则 ， 因为，故，， 则，即的取值范围为． 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. （1）在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 【解析】（1）①因为， ， 所以； ②由，即， 得， ， ， 因为与的夹角为， 则，得； （2）依题意设， ， 因为为中点，则， 为中点，所以， 所以 ， 因为， 则， 在中依据余弦定理得，所以，代入上式得， ， 在中，由正弦定理， 设，则， ，其中，是取等号， 则. ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《平面向量及其应用》第七章《复数》章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 中，，，，则的面积等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知，在上的投影为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（ ） （提示：） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 6. 已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 8. 已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，则正确的是（ ） A. 与同向的单位向量是 B. 与共线 C. D. 与夹角 10. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在中，，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，点为边上的点，且，若，则的值是__________. 13. 已知向量，，，的夹角的余弦值为，设在方向上的投影向量为，记，则______. 14. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形的斜边，直角边，，点在以为直径的半圆上，延长，交于点.若，，，则的面积是______. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）. （1）求复数和； （2）复数在复平面对应的点在直线上，求实数的值. 16. 已知向量满足. （1）求； （2）若，求的最小值. 17. 已知中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且， （1）求角； （2）若边上的高为，用或表示，并求出它的取值范围. 18. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）若，求的值； （2）过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. （1）在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$