7.2.2 复数的乘、除运算导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2 复数的乘、除运算 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘、除运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 新知学习 探究 新课导学 我们知道，两个一次式相乘，有,复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？ 思考1．怎样定义复数的乘法？ 思考2．猜想复数的乘法满足哪些运算律？ 【答案】 思考1 提示：设,是任意两个复数， 那么它们的积. 思考2 提示：猜想，对于任意，，,有： （1）交换律：； （2）结合律：； （3）分配律：. 一 复数的乘法 1．运算法则：设,是任意两个复数,则①__________________________. 【答案】 2．运算律：对于任意,,,有 交换律 ②____________ 结合律 ③____________________ 乘法对加法的分配律 ④______________________ 【答案】； ； 例1 （对接教材例3）计算： （1） ; （2） ; （3） ,其中,. 【答案】（1） 【解】. （2） . （3） . （1）两个复数代数形式乘法运算的一般方法 首先按多项式的乘法展开,再将换成,然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式. （2）常用公式 ①. ②. ③. ［跟踪训练1］． （1） 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （2） ____________. 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选A.，所以复数 在复平面内对应的点位于第一象限. （2） 原式. 二 复数的除法 设,,,,，且, 则. 例2 （对接教材例5） （1） 已知，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. （2） （多选）若复数满足，为的共轭复数，则（ ） A. 在复平面内对应的点位于第二象限 B. C. D. 是纯虚数 【答案】（1） C （2） BCD 【解析】 （1） ,.故选C. （2） ,则，则 在复平面内对应的点为，，位于第一象限，A错误；，B正确；，，C正确；，D正确. （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. （2）常用公式 ,， . ［跟踪训练2］． （1） 在复平面内，复数,对应的点分别是,，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. （2） [2024· 新课标Ⅰ卷]若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） A （2） C 【解析】 （1） 选A.由题可知，,则，所以复数 的虚部为2.故选A. （2） 选C.方法一（解方程法）：因为，所以，即，即，所以，故选C．方法二（取倒数法）：因为，所以，即，即，所以，故选C. 三 复数范围内解方程 例3 （对接教材例6） （1） 设,是方程在复数范围内的两个解，则（ ） A. B. C. D. （2） [2024·河北保定期中]已知是方程的一个根，则______. 【答案】（1） D （2） 4 【解析】 （1） 由方程 得,由求根公式得,不妨设,.,A错误； ，B错误；，C错误；，D正确. （2） 方法一：把 代入方程，得,所以 解得 所以.方法二：由一个根是,可知另一个根是,则 所以. （1）复数范围内解方程的方法 ①配方法求根：将方程左边配成完全平方的形式，再开方求根； ②公式法求根：当时，;当时，（此时，两根互为共轭复数）. ③利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程，化简后利用复数相等的定义求解. （2）注意在复数范围内，一元二次方程中根与系数的关系仍然成立. ［跟踪训练3］． （1） 已知是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. （2） 若关于的方程有虚根，则实数的取值范围是________________. 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选B.根据题意，方程的另一个根为.故选B. （2） 因为一元二次方程 有虚根，则，解得. 课堂巩固 自测 1．（教材P80练习T1改编） （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.. 2．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.,..故选C. 3．（多选）（教材P81T7改编）已知是关于的方程的一个根，则（ ） A. 方程的另一个根为 B. C. D. 方程的根为 【答案】AC 【解析】选.易知两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数，所以另一个根为，A正确；又，即，又，解得,所以,,B错误，C正确；,即,故 的根为，D错误. 4．若为纯虚数，则复数的虚部为______. 【答案】1 【解析】 ， 因为复数 为纯虚数， 所以， 且，解得， 得，所以虚部为1. 5．已知是方程的一个虚根，则实数__. 【答案】26 【解析】 是方程 的一个虚根，则另一个虚根是，由根与系数的关系, 得 解得 1.已学习：复数代数形式的乘、除运算及复数范围内解方程. 2.须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立. 3.应注意：（1）在复数的运算中忽视造成运算失误； （2）实系数一元二次方程的虚根成对出现，且互为共轭复数. 课后达标 检测 A 基础达标 1．化简：（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】选D.. 2．[2023· 新课标Ⅱ卷]在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】选A.因为，所以该复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 3．[2023·全国乙卷]设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.，所以. 4．已知是纯虚数，是实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.设,且,则.因为,所以,解得,所以. 5．在复数范围内，方程的根是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】选C.因为，所以. 6．（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为2 C. D. 【答案】BD 【解析】选.由于，可得,故D正确；由 得 的实部为，虚部为2，故A错误，B正确；由共轭复数的定义可知，故C错误.故选. 7．已知,则______. 【答案】 【解析】方法一:由题意得， 所以. 方法二:由，得，即，所以. 8．若，则____________. 【答案】 【解析】令,则, 所以. 9．已知复数为虚数单位在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是______________________. 【答案】, 【解析】, 所以复数 在复平面内对应的点,位于第二象限， 所以 解得. 综上所述，实数 的取值范围是,. 10．已知复数. （1） 求复数； （2） 若,求实数,的值. 【答案】 （1） 解： . （2） 把 代入, 得, 整理得, 所以 解得 B 能力提升 11．已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】选A.因为,所以， 所以复数 对应的点 在第一象限. 故选A. 12．（多选）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则（ ） A. 可能为实数 B. 在复平面内对应的点可能位于第一象限 C. 可能为纯虚数 D. 在复平面内对应的点可能位于第二象限 【答案】BCD 【解析】选.由题设，所以, 因为，,所以，所以A不正确； 当 时，在复平面内对应的点位于第一象限，所以B正确； 当 时，为纯虚数，所以C正确； 当 时，在复平面内对应的点位于第二象限，所以D正确.故选. 13．若关于的方程有实数根，则纯虚数________. 【答案】 【解析】设 且，则,化简得,即 解得 所以. 14．已知复数是虚数单位是关于的实系数方程的一个根. （1） 求的值； （2） 若复数 满足 是实数，且，求复数 . 【答案】 （1） 解：由题意，可知关于 的实系数方程 的另一个根是. 由根与系数的关系，可得，. 所以. （2） 设. 由，得. 又，所以， 所以 或 因此 或. C 素养拓展 15．（多选）已知复数,，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】选.对于A，令,，则，但不满足，A错误；对于B，设,，则，,,所以，B正确； 对于C，设，则，则,所以，C正确； 对于D，令,，则，但不满足,D错误.故选. 16．在;②复平面上表示的点在一次函数的图象上；.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知复数，,为虚数单位，满足  . （1） 若,求复数以及; （2） 若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】 16．解：选条件①，因为, 所以, 解得,又,所以. 选条件②，因为,, 所以,其在复平面内对应的点的坐标为,, 根据题中条件，有，解得. 选条件③，因为,所以, 所以 解得. （1） , . （2） 若 是实系数一元二次方程 的根，则 也是该方程的根，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.2 复数的乘、除运算 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘、除运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 新知学习 探究 新课导学 我们知道，两个一次式相乘，有,复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？ 思考1．怎样定义复数的乘法？ 思考2．猜想复数的乘法满足哪些运算律？ 一 复数的乘法 1．运算法则：设,是任意两个复数,则①__________________________. 2．运算律：对于任意,,,有 交换律 ②____________ 结合律 ③____________________ 乘法对加法的分配律 ④______________________ 例1 （对接教材例3）计算： （1） ; （2） ; （3） ,其中,. （1）两个复数代数形式乘法运算的一般方法 首先按多项式的乘法展开,再将换成,然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式. （2）常用公式 ①. ②. ③. ［跟踪训练1］． （1） 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （2） ____________. 二 复数的除法 设,,,,，且, 则. 例2 （对接教材例5） （1） 已知，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. （2） （多选）若复数满足，为的共轭复数，则（ ） A. 在复平面内对应的点位于第二象限 B. C. D. 是纯虚数 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. （2）常用公式 ,， . ［跟踪训练2］． （1） 在复平面内，复数,对应的点分别是,，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. （2） [2024· 新课标Ⅰ卷]若，则 （ ） A. B. C. D. 三 复数范围内解方程 例3 （对接教材例6） （1） 设,是方程在复数范围内的两个解，则（ ） A. B. C. D. （2） [2024·河北保定期中]已知是方程的一个根，则______. （1）复数范围内解方程的方法 ①配方法求根：将方程左边配成完全平方的形式，再开方求根； ②公式法求根：当时，;当时，（此时，两根互为共轭复数）. ③利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程，化简后利用复数相等的定义求解. （2）注意在复数范围内，一元二次方程中根与系数的关系仍然成立. ［跟踪训练3］． （1） 已知是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. （2） 若关于的方程有虚根，则实数的取值范围是________________. 课堂巩固 自测 1．（教材P80练习T1改编） （ ） A. B. C. D. 2．若，则（ ） A. B. C. D. 3．（多选）（教材P81T7改编）已知是关于的方程的一个根，则（ ） A. 方程的另一个根为 B. C. D. 方程的根为 4．若为纯虚数，则复数的虚部为______. 5．已知是方程的一个虚根，则实数__. 1.已学习：复数代数形式的乘、除运算及复数范围内解方程. 2.须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立. 3.应注意：（1）在复数的运算中忽视造成运算失误； （2）实系数一元二次方程的虚根成对出现，且互为共轭复数. 课后达标 检测 A 基础达标 1．化简：（ ） A. B. C. D. 2 2．[2023· 新课标Ⅱ卷]在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．[2023·全国乙卷]设，则（ ） A. B. C. D. 4．已知是纯虚数，是实数，则（ ） A. B. C. D. 5．在复数范围内，方程的根是（ ） A. B. C. D. 无解 6．（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为2 C. D. 7．已知,则______. 8．若，则____________. 9．已知复数为虚数单位在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是______________________. 10．已知复数. （1） 求复数； （2） 若,求实数,的值. B 能力提升 11．已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12．（多选）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则（ ） A. 可能为实数 B. 在复平面内对应的点可能位于第一象限 C. 可能为纯虚数 D. 在复平面内对应的点可能位于第二象限 13．若关于的方程有实数根，则纯虚数________. 14．已知复数是虚数单位是关于的实系数方程的一个根. （1） 求的值； （2） 若复数 满足 是实数，且，求复数 . C 素养拓展 15．（多选）已知复数,，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 16．在;②复平面上表示的点在一次函数的图象上；.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知复数，,为虚数单位，满足  . （1） 若,求复数以及; （2） 若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 学科网（北京）股份有限公司 $$