7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 学习目标 1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数的加、减运算法则. 2.结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义. 新知学习 探究 新课导学 任意两个实数可以相加，实数中的加法运算满足交换律和结合律.复数集是从实数扩充而来的，复数和复平面内的向量一一对应，向量也有加减法. 思考1．怎么定义复数的加减法？ 思考2．复数加法满足交换律和结合律吗？ 【答案】 思考1 提示：若,. 则,. 思考2 提示：满足. 一 复数加、减法的运算 1．复数的加、减运算法则 设,是任意两个复数,则①____________________,②____________________. 【答案】； 2．复数加法的运算律 对任意,,,有 （1） 交换律：③______________； （2） 结合律：④______________________. 【答案】（1） （2） 例1 （1） （对接教材例1）计算： ________. （2） 已知,,,为实数，若,则______. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 原式. （2） 因为,所以 解得 所以,,则,所以. （1）复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项. ①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. ②把看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项. （2）对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复数相加（或相减）的混合运算，运算的结果仍然是一个复数. ［跟踪训练1］． （1） 计算________. （2） 已知复数满足，则________. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 原式. （2） 方法一：设，因为，所以,即 解得 所以.方法二：因为，所以. 二 复数加、减法的几何意义 设,分别与复数,对应，则,.由平面向量的坐标运算法则，得.这说明两个向量与的和就是与复数对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，同理，复数的减法可以按照向量的减法来进行. 例2 如图所示，在平行四边形中，顶点，，分别表示0，，.求： （1） 所表示的复数，所表示的复数； （2） 对角线所表示的复数； （3） 对角线所表示的复数及的长度. 【答案】（1） 【解】因为,所以 所表示的复数为.因为，所以 所表示的复数为. （2） 因为，所以 所表示的复数为. （3） 因为对角线， 所以 所表示的复数为,所以. 【变式探究】 1．（设问变式）若本例条件不变,试求点所对应的复数. 解：因为,所以 表示的复数为.所以点 所对应的复数为. 2．（设问变式）若本例条件不变,求对角线,的交点对应的复数. 解：由题意知,点 为 的中点,则.由上题知点 的坐标为,得点 的坐标为,所以点 对应的复数为. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 （1）形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. （2）数转化为形：复数的加减运算可以借助图形，利用平行四边形法则、三角形法则进行运算；利用复数对应向量的关系得到复数间的关系. ［跟踪训练2］． （1） 已知复数,为虚数单位，在复平面内，对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （2） 已知四边形是复平面内的平行四边形，点，，对应的复数分别为,1,，则 （ ） A. 5 B. C. D. 【答案】（1） B （2） B 【解析】 （1） 选B.因为,,所以,故 在复平面内对应的点 在第二象限. （2） 选B.由题意得,,,则，，所以，所以. 三 两个复数差的模 例3 已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为. （1） 确定点的集合构成图形的形状； （2） 求的最大值和最小值. 【答案】 （1） 【解】设复数 在复平面内的对应点为， 则，故点 的集合是以点 为圆心，2为半径的圆，如图所示. （2） 设复数 在复平面内的对应点为，则,如图所示，, 则 的最大值，即 的最大值是； 的最小值，即 的最小值是. 【变式探究】 （设问变式）若本例条件不变，则__________，__________. 【答案】； 【解析】因为， 所以， 即 解得. 所以，. 表示复数,的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式. 表示以对应的点为圆心,为半径的圆. （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. （4）利用三角不等式，求复数模的最值. ［跟踪训练3］． （1） 已知复数满足,则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. （2） 已知，且，则为虚数单位的最小值为__________. 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选B.设复数 在复平面内对应的点为，因为复数 满足,所以由复数的几何意义可知，点 到点 和 的距离相等，所以在复平面内点 的轨迹为 轴，又 表示点 到点 的距离，所以问题转化为 轴上的动点 到定点 距离的最小值，所以 的最小值为2.故选B. （2） 因为 且，所以 的几何意义为以原点为圆心的单位圆上的点与点 之间的距离，易知 的最小值为. 课堂巩固 自测 1．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C..故选C. 2．设复数,,则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】选B.因为,所以 在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 3．（多选）已知,，复数,，且为纯虚数，复数的共轭复数为，则（ ） A. B. C. D. 复数的虚部为 【答案】AC 【解析】选.由题可知，对于A，因为 为纯虚数，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，复数 的虚部为，故D错误.故选. 4．（教材P77T2改编）如图，在复平面内，复数,对应的向量分别是，，则复数____________. 【答案】 【解析】方法一：对应的向量为，由题图知，所以. 方法二：由题意，知,,所以. 5．（教材P77T4改编）复数与在复平面内对应的点之间的距离为________. 【答案】 【解析】由题意可知，，在复平面内对应的点之间的距离为. 1.已学习：复数的加、减运算法则及其几何意义. 2.须贯通：设复数，利用复数相等或模的概念，把条件转化为，满足的关系式，这是“复数问题实数化”思想的应用;表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值. 3.应注意：（1）复数的差对应向量的方向; （2）两个复数差的模的几何意义. 课后达标 检测 A 基础达标 1．计算：（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】选C.原式.故选C. 2．[2024·天津市和平区期中]为虚数单位，若,则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为,所以,故复数 的虚部为3.故选B. 3．已知复数,,为实数.若，则的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 0 【答案】B 【解析】选B.,则 解得.故选B. 4．在复平面内，为原点，四边形是复平面内的平行四边形，且，，三点对应的复数分别为,,，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由题意及复数加法的几何意义可得.故选C. 5．在平行四边形中，若点，对应的复数分别为和,则该平行四边形的对角线的长度为（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】B 【解析】选B.依题意得 对应的复数为,因此 的长度为.故选B. 6．（多选）若，，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.设，则，由题意可得 解得 或 所以 或.故选. 7． __________. 【答案】 【解析】原式. 8．在平行四边形中，对角线与相交于点，若向量，对应的复数分别是，，则对应的复数为__________. 【答案】 【解析】依题意有，而，故 对应的复数为. 9．若复数,，为虚数单位满足,写出一个满足条件的复数：________________________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】,故.由 知，，化简得,故只要,即 可为任意实数 均满足题意，可取. 10．已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点，分别对应复数,,是，的交点，如图所示，求点，对应的复数，及点，间的距离. 解：因为，分别对应复数,, 所以 对应复数为,即点 对应的复数为. 又，所以 对应的复数为, 即点 对应的复数为. 所以. B 能力提升 11．设为复数，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】选A.设,,， 由，得 ， 所以， 由，解得， 则， 所以当 时，. 12．（多选）已知复数，满足，且在复平面内所对应的点为，所对应的点为，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 点在第二象限 C. 点的轨迹是圆 D. 点与点距离的最大值为 【答案】BC 【解析】选.的虚部为2，故A错误；点A的坐标为，所以点A在第二象限，故B正确；由，可知点B的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，故C正确；,故D错误.故选. 13．[2024·浙江宁波月考]已知复数，，若是纯虚数，则实数的值为________. 【答案】 【解析】由题意可得，因为 是纯虚数， 则 解得. 14．已知复数满足,求: （1） 的最大值和最小值； （2） 的最大值和最小值. 【答案】 （1） 解：设在复平面内复数 对应的点为，则满足 的点 的集合是圆心为,半径为1的圆内区域（包括边界），表示点 到原点 的距离. 如图所示，对应的复数的模为 的最大值，对应的复数的模为 的最小值. 因为，所以，. 即 的最大值为3，最小值为1. （2） 设,则, . 由（1）知, 所以 的最大值为,最小值为. C 素养拓展 15．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于 时，使得 的点即费马点.根据以上材料，若,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.设，则 表示点 到 三个顶点，，的距离之和.依题意结合对称性可知 的费马点 位于虚轴的负半轴上，且 ，则 ,此时.故选B. 16．已知复数，存在实数，使成立. （1） 求证：为定值； （2） 若，求实数的取值范围. 【答案】 （1） 证明：因为，则, 由复数相等得 消去 得，故 为定值. （2） 解：因为,且, 所以 又因为，即， 则， 整理得， 所以原不等式组即为 解得， 故实数 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 学习目标 1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数的加、减运算法则. 2.结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义. 新知学习 探究 新课导学 任意两个实数可以相加，实数中的加法运算满足交换律和结合律.复数集是从实数扩充而来的，复数和复平面内的向量一一对应，向量也有加减法. 思考1．怎么定义复数的加减法？ 思考2．复数加法满足交换律和结合律吗？ 一 复数加、减法的运算 1．复数的加、减运算法则 设,是任意两个复数,则①____________________,②____________________. 2．复数加法的运算律 对任意,,,有 （1） 交换律：③______________； （2） 结合律：④______________________. 例1 （1） （对接教材例1）计算： ________. （2） 已知,,,为实数，若,则______. （1）复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项. ①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. ②把看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项. （2）对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复数相加（或相减）的混合运算，运算的结果仍然是一个复数. ［跟踪训练1］． （1） 计算________. （2） 已知复数满足，则________. 二 复数加、减法的几何意义 设,分别与复数,对应，则,.由平面向量的坐标运算法则，得.这说明两个向量与的和就是与复数对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，同理，复数的减法可以按照向量的减法来进行. 例2 如图所示，在平行四边形中，顶点，，分别表示0，，.求： （1） 所表示的复数，所表示的复数； （2） 对角线所表示的复数； （3） 对角线所表示的复数及的长度. 【变式探究】 1．（设问变式）若本例条件不变,试求点所对应的复数. 2．（设问变式）若本例条件不变,求对角线,的交点对应的复数. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 （1）形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. （2）数转化为形：复数的加减运算可以借助图形，利用平行四边形法则、三角形法则进行运算；利用复数对应向量的关系得到复数间的关系. ［跟踪训练2］． （1） 已知复数,为虚数单位，在复平面内，对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （2） 已知四边形是复平面内的平行四边形，点，，对应的复数分别为,1,，则 （ ） A. 5 B. C. D. 三 两个复数差的模 例3 已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为. （1） 确定点的集合构成图形的形状； （2） 求的最大值和最小值. 【变式探究】 （设问变式）若本例条件不变，则__________，__________. 表示复数,的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式. 表示以对应的点为圆心,为半径的圆. （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. （4）利用三角不等式，求复数模的最值. ［跟踪训练3］． （1） 已知复数满足,则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. （2） 已知，且，则为虚数单位的最小值为__________. 课堂巩固 自测 1．若，则（ ） A. B. C. D. 2．设复数,,则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．（多选）已知,，复数,，且为纯虚数，复数的共轭复数为，则（ ） A. B. C. D. 复数的虚部为 4．（教材P77T2改编）如图，在复平面内，复数,对应的向量分别是，，则复数____________. 5．（教材P77T4改编）复数与在复平面内对应的点之间的距离为________. 1.已学习：复数的加、减运算法则及其几何意义. 2.须贯通：设复数，利用复数相等或模的概念，把条件转化为，满足的关系式，这是“复数问题实数化”思想的应用;表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值. 3.应注意：（1）复数的差对应向量的方向; （2）两个复数差的模的几何意义. 课后达标 检测 A 基础达标 1．计算：（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2．[2024·天津市和平区期中]为虚数单位，若,则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 3．已知复数,,为实数.若，则的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 0 4．在复平面内，为原点，四边形是复平面内的平行四边形，且，，三点对应的复数分别为,,，若，，则（ ） A. B. C. D. 5．在平行四边形中，若点，对应的复数分别为和,则该平行四边形的对角线的长度为（ ） A. B. 5 C. D. 10 6．（多选）若，，则可能为（ ） A. B. C. D. 7． __________. 8．在平行四边形中，对角线与相交于点，若向量，对应的复数分别是，，则对应的复数为__________. 9．若复数,，为虚数单位满足,写出一个满足条件的复数：________________________. 10．已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点，分别对应复数,,是，的交点，如图所示，求点，对应的复数，及点，间的距离. B 能力提升 11．设为复数，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．（多选）已知复数，满足，且在复平面内所对应的点为，所对应的点为，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 点在第二象限 C. 点的轨迹是圆 D. 点与点距离的最大值为 13．[2024·浙江宁波月考]已知复数，，若是纯虚数，则实数的值为________. 14．已知复数满足,求: （1） 的最大值和最小值； （2） 的最大值和最小值. C 素养拓展 15．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于 时，使得 的点即费马点.根据以上材料，若,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 16．已知复数，存在实数，使成立. （1） 求证：为定值； （2） 若，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$