7.1.2 复数的几何意义导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.2 复数的几何意义 学习目标 1.理解复数表示的几何意义. 2.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 3.理解共轭复数的概念. 新知学习 探究 新课导学 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型. 思考 怎样建立一个几何模型，使复数与这个几何模型有一一对应关系？ 一 复平面及复数的几何意义 1．复平面：复数可以用直角坐标平面内的一个点______________来表示，如图： 2.复数的几何意义 例1 （1） 已知复数，为虚数单位对应的点在直线上，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （2） 已知在复平面内，是原点，向量,对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是（ ） A. B. C. D. 复数与复平面内的点、平面向量的对应关系 （1）复数对应复平面内的点、复平面内的向量; （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为依据,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. ［跟踪训练1］． （1） 在复平面内，复数,对应的点分别为,.若为线段的中点，则点对应的复数是（ ） A. B. C. D. （2） 在正方形中，若对应的复数为，则对应的复数为____________. 二 复数的模与共轭复数 1．复数的模 （1） 定义：向量的①__叫做复数的模或绝对值. （2） 记法：复数的模记作②__________或③______________. （3） 公式：④__________________，其中,.如果,那么是一个实数，它的模就等于的绝对值. 2．共轭复数 （1） 定义：一般地，当两个复数的实部⑤____,虚部⑥____________时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做⑦__________. （2） 表示：复数的共轭复数用表示,即如果,那么⑧__________. 例2 （1） 在复平面内，复数对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数（ ） A. B. C. D. （2） 若复数,,且与互为共轭复数，则的模为______. 复数的模、共轭复数计算技巧 （1）计算复数的模、共轭复数，要去确定复数的实部和虚部. （2）互为共轭复数的模相等；利用定义可将复数模的问题转化为实数问题求解. ［跟踪训练2］． （1） [2024·广东汕头期中]已知复数,则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 （2） 已知,复数的实部为,虚部为1，则的取值范围是____________. 三 复数几何意义的应用 例3 （对接教材例3）已知复数,. （1） 求与的值，并比较它们的大小； （2） 设复平面内，复数满足,复数对应的点的集合是什么图形？ 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是表示点到原点的距离，可依据满足的条件判断点的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决. ［跟踪训练3］．设复数,，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 课堂巩固 自测 1．[2024·重庆市渝中区月考]设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3．（教材P73T6改编）已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4．若复数为虚数单位，，满足，则的值为________. 5．（教材 改编）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，点关于虚轴的对称点为，则向量对应的复数是__________． 1.已学习：复数的几何意义、复数的模、共轭复数. 2.须贯通：复数与点、向量一一对应，研究三者的关系应用了数形结合的思想方法；复数的模及共轭复数都是把复数问题实数化，体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：平面坐标系中的，轴与复平面内的实轴、虚轴的区别. 课后达标 检测 A 基础达标 1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．在复平面内，点对应的复数为为虚数单位，且向量，则点对应的复数为（ ） A. B. C. D. 3．已知为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 4．已知复数的共轭复数是，，在复平面内对应的点分别是，，为坐标原点，则的面积是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5．（多选）在复平面内，为坐标原点，复数对应的点满足.点与关于实轴对称,则点对应的复数（ ） A. B. C. D. 6．（多选）设复数满足,为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. B. 复数在复平面内对应的点在第四象限 C. 的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在直线上 7．在复平面内，已知为坐标原点，点，分别对应复数,,若，则________. 8．[2024·云南昆明模拟]写出一个满足①模为，②在复平面内对应的点位于第二象限的复数：____________________________. 9．设复数，，，且，则满足的复数共有______个. 10．[2024·黑龙江绥化月考]已知复数,,是虚数单位. （1） 若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值； （2） 若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. B 能力提升 11．已知复数在复平面内对应的点与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 12．（多选）已知复数,为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，复平面内表示复数的点位于第二象限 B. 当时，为纯虚数 C. 的最大值为 D. 的共轭复数为 13．设复数,在复平面内对应的点分别为,，,，则，两点之间距离的最大值为______. 14．在,的实部与虚部互为相反数，为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：已知复数. （1） 若  ，求实数的值； （2） 若为整数，且，求在复平面内对应点的坐标. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. C 素养拓展 15．在复平面内，由,,对应的三个点确定圆，则以下复数所对应的点在圆上的是（ ） A. B. C. D. 16．[2024·广东江门期中]在复平面内，，，三点对应的复数分别为1，,. （1） 求，，对应的复数； （2） 判断的形状，并求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1.2 复数的几何意义 学习目标 1.理解复数表示的几何意义. 2.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 3.理解共轭复数的概念. 新知学习 探究 新课导学 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型. 思考 怎样建立一个几何模型，使复数与这个几何模型有一一对应关系？ 提示：可以利用坐标平面内的点和复数的对应关系，复数 和点 一一对应. 一 复平面及复数的几何意义 1．复平面：复数可以用直角坐标平面内的一个点______________来表示，如图： 【答案】 2.复数的几何意义 例1 （1） 已知复数，为虚数单位对应的点在直线上，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （2） 已知在复平面内，是原点，向量,对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） B 【解析】 （1） 复数 对应的点的坐标为,该点在直线 上，故,解得,所以复数,它对应的点的坐标为,在第二象限. （2） 向量,对应的复数分别记作,,根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量,.由向量减法的坐标运算可得向量,根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量 对应的复数是. 复数与复平面内的点、平面向量的对应关系 （1）复数对应复平面内的点、复平面内的向量; （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为依据,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. ［跟踪训练1］． （1） 在复平面内，复数,对应的点分别为,.若为线段的中点，则点对应的复数是（ ） A. B. C. D. （2） 在正方形中，若对应的复数为，则对应的复数为____________. 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选C.由题意知,,则 的中点 对应的复数为. （2） 因为 对应的复数为，所以，在正方形 中，，则 对应的复数为. 二 复数的模与共轭复数 1．复数的模 （1） 定义：向量的①__叫做复数的模或绝对值. （2） 记法：复数的模记作②__________或③______________. （3） 公式：④__________________，其中,.如果,那么是一个实数，它的模就等于的绝对值. 【答案】（1） 模 （2） ； （3） 2．共轭复数 （1） 定义：一般地，当两个复数的实部⑤____,虚部⑥____________时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做⑦__________. （2） 表示：复数的共轭复数用表示,即如果,那么⑧__________. 【答案】（1） 相等；互为相反数；共轭虚数 （2） 例2 （1） 在复平面内，复数对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数（ ） A. B. C. D. （2） 若复数,,且与互为共轭复数，则的模为______. 【答案】（1） D （2） 5 【解析】 （1） 设,则，解得（正值已舍去），所以. （2） 因为,互为共轭复数，所以 所以,所以. 复数的模、共轭复数计算技巧 （1）计算复数的模、共轭复数，要去确定复数的实部和虚部. （2）互为共轭复数的模相等；利用定义可将复数模的问题转化为实数问题求解. ［跟踪训练2］． （1） [2024·广东汕头期中]已知复数,则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 （2） 已知,复数的实部为,虚部为1，则的取值范围是____________. 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选D.由，得，所以. （2） 依题意，可知,则.因为,所以,即. 三 复数几何意义的应用 例3 （对接教材例3）已知复数,. （1） 求与的值，并比较它们的大小； （2） 设复平面内，复数满足,复数对应的点的集合是什么图形？ 【答案】 （1） 【解】. . 所以，， . （2） 由（1）知，此不等式可化为 因为不等式 的解集是圆 上和该圆的外部所有的点组成的集合，不等式 的解集是圆 上和该圆的内部所有的点组成的集合，所以满足条件 的点 的集合是以原点 圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界. 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是表示点到原点的距离，可依据满足的条件判断点的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决. ［跟踪训练3］．设复数,，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】选C.因为,， 所以 （当且仅当 时取等号）,所以 的最小值为. 课堂巩固 自测 1．[2024·重庆市渝中区月考]设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】选C.依题意得,故 在复平面内对应的点 位于第三象限. 2．已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】选C.. 3．（教材P73T6改编）已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为 在复平面内对应的点在第二象限，所以,，解得,故实数 的取值范围是. 4．若复数为虚数单位，，满足，则的值为________. 【答案】 【解析】由 得，解得. 5．（教材 改编）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，点关于虚轴的对称点为，则向量对应的复数是__________． 【答案】 【解析】向量 对应的复数是，即，则点 关于虚轴的对称点为， 则向量 对应的复数是． 1.已学习：复数的几何意义、复数的模、共轭复数. 2.须贯通：复数与点、向量一一对应，研究三者的关系应用了数形结合的思想方法；复数的模及共轭复数都是把复数问题实数化，体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：平面坐标系中的，轴与复平面内的实轴、虚轴的区别. 课后达标 检测 A 基础达标 1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】选B.依题意，在复平面内，复数 对应的点为，位于第二象限. 2．在复平面内，点对应的复数为为虚数单位，且向量，则点对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.设，由题意知，则由，可得，则,，即，则点 对应的复数为.故选A. 3．已知为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】选B..故选B. 4．已知复数的共轭复数是，，在复平面内对应的点分别是，，为坐标原点，则的面积是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】选B.复数，则，又，在复平面内对应的点分别是A，B，所以，,又，则，,,可得 是直角边长为 的等腰直角三角形，其面积.故选B. 5．（多选）在复平面内，为坐标原点，复数对应的点满足.点与关于实轴对称,则点对应的复数（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】选.由于复数 对应的点 满足，所以，所以,或，又点 与 关于实轴对称，所以点 或，所以复数 为 或.故选. 6．（多选）设复数满足,为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. B. 复数在复平面内对应的点在第四象限 C. 的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在直线上 【答案】AC 【解析】选.，A正确；复数 在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限，B不正确；的共轭复数为，C正确；复数 在复平面内对应的点 不在直线 上，D不正确.故选. 7．在复平面内，已知为坐标原点，点，分别对应复数,,若，则________. 【答案】 【解析】因为,，所以，，因为，所以,故. 8．[2024·云南昆明模拟]写出一个满足①模为，②在复平面内对应的点位于第二象限的复数：____________________________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】设,则.由于 在复平面内对应的点位于第二象限，所以,.令,,则（答案不唯一）. 9．设复数，，，且，则满足的复数共有______个. 【答案】4 【解析】方法一（代数运算）：由，得.又，联立，解得，故满足题意的复数 共有4个. 方法二（几何意义）：由，知复数 在复平面内对应的点构成一个单位圆.又，故复数 在复平面内对应的点落在直线 上，显然直线 与单位圆有四个交点，故满足题意的复数 共有4个. 10．[2024·黑龙江绥化月考]已知复数,,是虚数单位. （1） 若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值； （2） 若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） 解：复数 在复平面内对应的点为，所以,整理得，解得. （2） 由题意得 解得,即实数 的取值范围是. B 能力提升 11．已知复数在复平面内对应的点与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.复数 在复平面内对应的点为，其关于虚轴对称的点为，所以复数 在复平面内对应的点为，即,所以. 12．（多选）已知复数,为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，复平面内表示复数的点位于第二象限 B. 当时，为纯虚数 C. 的最大值为 D. 的共轭复数为 【答案】BC 【解析】选.对于A，当 时，,复平面内复数 对应的点位于第四象限，故A错误；对于B，当 时,,为纯虚数，故B正确；对于C，,最大值为，故C正确；对于D，的共轭复数为,故D错误.故选. 13．设复数,在复平面内对应的点分别为,，,，则，两点之间距离的最大值为______. 【答案】5 【解析】设， 因为，所以， 因为复数,在复平面内对应的点分别为,，，所以,， 所以，故当 时，取得最大值，为. 14．在,的实部与虚部互为相反数，为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：已知复数. （1） 若  ，求实数的值； （2） 若为整数，且，求在复平面内对应点的坐标. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】 （1） 解：选择条件①. 因为,所以 解得. 选择条件②. 因为 的实部与虚部互为相反数， 所以,解得 或. 选择条件③. 因为 为纯虚数，所以 解得. （2） 因为， 所以, 即. 因为 为整数， 所以 为平方数，为奇数. 因为 或,所以验证可得,即. 因为,所以,其在复平面内对应点的坐标为. C 素养拓展 15．在复平面内，由,,对应的三个点确定圆，则以下复数所对应的点在圆上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.因为，，， 即，所以,,对应的点在以原点为圆心，以 为半径的圆上. 结合选项，只有，所以C选项复数所对应的点在圆 上. 16．[2024·广东江门期中]在复平面内，，，三点对应的复数分别为1，,. （1） 求，，对应的复数； （2） 判断的形状，并求的面积. 【答案】 （1） 解：由题意得，，，所以，，， 所以,,对应的复数分别为,,. （2） 因为，，，所以， 所以 为直角三角形，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$