7.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件. 新知学习 探究 新课导学 数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 因为类似的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似的方程在整数范围内有解； 因为类似的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似的方程在有理数范围内有解； 因为类似的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似的方程在实数范围内有解. 思考 我们已经知道，类似的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 提示：能.引入虚数单位，使,则方程 的解为. 一 复数的有关概念 1．定义：形如的数叫做复数,其中叫做①__________,满足②________. 点拨 ,,,,,,,. 【答案】虚数单位； 2．表示方法：复数通常用字母表示,即.以后不作特殊说明时，复数都有,,其中的与分别叫做复数的③____与④____. 【答案】实部； 虚部 3.复数集：全体复数构成的集合,}叫做复数集. 【即时练】 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 复数的实部是1，虚部是.（ ） （2） 方程的解为.（ ） 【答案】（1） × （2） √ 2．复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.虚部不带,的虚部是. 3．若复数的实部与虚部相等，则______. 【答案】4 【解析】由题意知，解得. 在复数中，实数和分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，连同它的符号叫做复数的虚部. 二 复数的分类 1．复数可以分类如下： 【答案】实数； 虚数； ； 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 例1 （对接教材例1）当实数取何值时，复数是下列数？ （1） 虚数； （2） 纯虚数. 【答案】（1） 【解】当 即 且 时，复数 是虚数. （2） 当 即 或 时，复数 是纯虚数. 【变式探究】 （设问变式）本例条件不变，则当时，的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3 【答案】B 【解析】选B.因为,所以 为实数，需满足 解得. 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 （1）利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式,得到实部与虚部，再求解. （2）要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解. ［跟踪训练1］． （1） 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 （2） [2024·北京市东城区期中]复数，若,则实数的值是 （ ） A. B. C. D. 1 【答案】（1） A （2） B 【解析】 （1） 选A.由 是纯虚数，得 解得.故选A. （2） 选B.能比较大小的两个数一定都是实数，故,解得,又，即,所以,故. 三 复数相等 在复数集,}中任取两个数,,规定：与相等当且仅当①________且②________. 【答案】； 例2 （1） 若,,,则复数（ ） A. B. C. D. （2） 若,，是虚数单位，且,则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】（1） B （2） D 【解析】 （1） 由,得,则,根据复数相等的充要条件得 解得 故. （2） 因为,所以 所以,.所以. 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. ［跟踪训练2］． （1） [2024·广东深圳模拟]（多选）下列说法正确的是（ ） A. 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等 B. 是纯虚数 C. 如果复数是实数，那么, D. 复数可能是实数 （2） 已知，,,则________,______. 【答案】（1） AD （2） ；1 【解析】 （1） 选.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，即这两个复数相等，故A正确；当 时，是实数，故B错误；要使复数 是实数，只需，所以C错误；当 时，复数 是实数，故D正确. （2） 因为，所以 所以 课堂巩固 自测 1．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】选A.因为复数 的实部与虚部互为相反数，所以,解得. 2．（教材P73习题7.1 T3改编）若实数,满足,则的值是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】选C.依题意得 得,则. 3．若，则实数________. 【答案】 【解析】由题意得 解得. 4．（教材P73习题7.1T2改编）当实数取什么值时，复数是下列数？ （1） 实数； （2） 虚数； （3） 纯虚数. 【答案】 （1） 解：若 是实数，则, 解得 或. （2） 若 是虚数，则,解得 且. （3） 若 是纯虚数，则 解得. 1.已学习：数系的扩充、复数的概念及分类、复数相等的充要条件. 2.须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想. 3.应注意：（1）复数代数形式是否规范; （2）复数是纯虚数的充要条件是且. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知为虚数单位，那么下列的取值中，能使成立的是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】选B.由,得. 2．下列各数,,,0,中，虚数共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】选C.复数,当 时为虚数，故有3个虚数. 3．[2024·山东临沂期中]以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.因为 的虚部是1，，其实部为，所以所求复数是. 4．已知,，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】选C.由于，所以 解得 故选C. 5．（多选）下列命题正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 若，则 【答案】AB 【解析】选.对于A,因为,所以 是纯虚数，故正确；对于B,,所以，故正确；对于C,虚数不能比较大小，故错误；对于D，当 时，,故错误.故选. 6．（多选）下列命题为真命题的是（ ） A. 复数集是实数集与纯虚数集的并集 B. 是方程的解 C. 已知复数,，若，则 D. 是的一个平方根 【答案】BCD 【解析】选.复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题;当 时，,B为真命题；两个复数,满足，说明,都是实数，显然有,C为真命题；根据虚数单位 的定义，D为真命题.故选. 7．若复数为实数零，则实数的值为______. 【答案】4 【解析】由题意得 解得. 8．若复数满足，则________. 【答案】 【解析】由复数，得 解得. 9．若复数是纯虚数，则______________. 【答案】 【解析】由题意知,, 所以, 所以. 10．已知复数（其中为虚数单位，）. （1） 若复数为纯虚数，求的值； （2） 若复数，求的值. 【答案】 （1） 解：由于 为纯虚数， 所以 解得. （2） 由于 与0可以比较大小，所以 为实数，且，所以 解得. B 能力提升 11．[2024·湖南长沙期中]若复数不是纯虚数，则（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】选C.根据题意，则有 或,解得. 12．已知复数的实部大于虚部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由已知可得,即, 解得 或,因此，实数 的取值范围是. 13．已知，，且，则实数________. 【答案】 【解析】由题意知，均为实数，则，即 或.又，则，则，故. 14．已知集合，，集合，}满足 ，求整数，. 解：依题意得，① 或，② 或 由①得，， 由②得，. ③中，，无整数解不符合题意. 综上所述得，或，或，. C 素养拓展 15．已知复数,,若，则 的取值范围为______________. 【答案】 【解析】因为， 所以 消去,得 ,即.又,所以当 时， 取得最小值，当 时， 取得最大值2，即. 16． （1） 设,,，，，若对所有，，都有，求实数的取值范围; （2） 若关于的方程有实根，求实数的值. 【答案】 （1） 解：若存在，，使得，则 即 故 解得， 故若对所有，，都有，则实数 的取值范围为． （2） 设方程的实根为,则原方程可变为, 所以 解得 或 所以 或. 学科网（北京）股份有限公司 $$7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位的必要性,了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数的表示方法,理解复数相等的充要条件. 新知学习 探究 新课导学 数系的扩充过程,也可以从方程是否有解的角度来理解: 因为类似的方程在自然数范围内无解,所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数,使得类似的方程在整数范围内有解; 因为类似的方程在整数范围内无解,所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数,使得类似的方程在有理数范围内有解; 因为类似的方程在有理数范围内无解,所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数,使得类似的方程在实数范围内有解. 思考 我们已经知道,类似的方程在实数范围内无解.那么,能否像前面一样,引入一种新的数,使得这个方程有解并将实数进行扩充呢? 一 复数的有关概念 1.定义:形如的数叫做复数,其中叫做①_,满足②_. 点拨 ,,,,,,,. 2.表示方法:复数通常用字母表示,即.以后不作特殊说明时,复数都有,,其中的与分别叫做复数的③_与④_. 3.复数集:全体复数构成的集合,}叫做复数集. 【即时练】 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1) 复数的实部是1,虚部是.( ) (2) 方程的解为.( ) 2.复数的虚部是( ) A. 2 B. C. D. 3.若复数的实部与虚部相等,则_. 在复数中,实数和分别叫做复数的实部和虚部,特别注意,连同它的符号叫做复数的虚部. 二 复数的分类 1.复数可以分类如下: 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 例1 (对接教材例1)当实数取何值时,复数是下列数? (1) 虚数; (2) 纯虚数. 【变式探究】 (设问变式)本例条件不变,则当时,的值为( ) A. 1 B. 5 C. D. 3 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为标准的代数形式,得到实部与虚部,再求解. (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解. [跟踪训练1]. (1) 已知是虚数单位,复数是纯虚数,则实数的值为( ) A. 2 B. C. D. 4 (2) [2024 北京市东城区期中]复数,若,则实数的值是 ( ) A. B. C. D. 1 三 复数相等 在复数集,}中任取两个数,,规定:与相等当且仅当①_且②_. 例2 (1) 若,,,则复数( ) A. B. C. D. (2) 若,,是虚数单位,且,则的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解; (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现. [跟踪训练2]. (1) [2024 广东深圳模拟](多选)下列说法正确的是( ) A. 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等 B. 是纯虚数 C. 如果复数是实数,那么, D. 复数可能是实数 (2) 已知,,,则_,_. 课堂巩固 自测 1.设是虚数单位,若复数的实部与虚部互为相反数,则实数( ) A. 5 B. C. 3 D. 2.(教材P73习题7.1 T3改编)若实数,满足,则的值是( ) A. B. 2 C. 1 D. 3.若,则实数_. 4.(教材P73习题7.1T2改编)当实数取什么值时,复数是下列数? (1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数. 1.已学习:数系的扩充、复数的概念及分类、复数相等的充要条件. 2.须贯通:两个复数一般不能比较大小,如有大小关系,则它们一定是实数;两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等;复数问题实数化是求解复数的基本方法,体现了转化与化归的数学思想. 3.应注意:(1)复数代数形式是否规范; (2)复数是纯虚数的充要条件是且. 课后达标 检测 A 基础达标 1.已知为虚数单位,那么下列的取值中,能使成立的是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.下列各数,,,0,中,虚数共有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3.[2024 山东临沂期中]以的虚部为实部,以的实部为虚部的复数是( ) A. B. C. D. 4.已知,,且,则( ) A. 1 B. C. 2 D. 4 5.(多选)下列命题正确的是( ) A. 是纯虚数 B. C. D. 若,则 6.(多选)下列命题为真命题的是( ) A. 复数集是实数集与纯虚数集的并集 B. 是方程的解 C. 已知复数,,若,则 D. 是的一个平方根 7.若复数为实数零,则实数的值为_. 8.若复数满足,则_. 9.若复数是纯虚数,则_. 10.已知复数(其中为虚数单位,). (1) 若复数为纯虚数,求的值; (2) 若复数,求的值. B 能力提升 11.[2024 湖南长沙期中]若复数不是纯虚数,则( ) A. B. 且 C. D. 12.已知复数的实部大于虚部,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 13.已知,,且,则实数_. 14.已知集合,,集合,}满足 ,求整数,. C 素养拓展 15.已知复数,,若,则 的取值范围为_. 16.(1) 设,,,,,若对所有,,都有,求实数的取值范围; (2) 若关于的方程有实根,求实数的值. 学科网(北京)股份有限公司 $$