精品解析：江苏省南通市海门区东洲国际学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

绝密★启用前 南通市海门区东洲国际学校2025学年度九年级三月份第一次月考测试卷 数学·试题卷 试卷类型：A卷 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项； 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025的相反数的倒数是（　　） A. 2025 B. C. -2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 【详解】解：2025的相反数是． 的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案． 【详解】∵x2＋2＞0， ∴点P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 3. 下图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 4. 关于x的不等式的解集如图所示，那么a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：， 故， 解得． 根据题意，不等式的解集为， 故， 解得， 故选：C． 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项正确． 故答案为D． 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 6. 如图，等腰直角三角形中，，以点C为圆心画弧与斜边 相切于点D，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接CD，并求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】连接CD，如图， ∵AB是圆C的切线， ∴CD⊥AB， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴CD=AB， ∵，AC=BC， ∴AB=2， ∴CD=1， 故选：A． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 7. 小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像过二、四象限可判断a的取值，根据x在负半轴的图像，可判断b的取值． 【详解】∵图像过二、四象限 ∴a＜0， ∵x=-b时，函数值不存在，结合图象可知： b＞0 故选C． 【点睛】此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系． 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可设第一天所走的路程为，用含的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可． 【详解】解：设第一天的路程为里 ∴ 解得 ∴第三天的路程为 故答案选B 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，通过每日路程之和等于总路程建立一元一次方程是解题的关键． 9. 已知二次函数（为常数）的图象与 轴有交点，且当时， 随 的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项． 【详解】解： ∵图象与x轴有交点， ∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0 解得a≥-2； ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴实数a的取值范围是-2≤a≤3． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知，则EF的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE≌△MBE，设AE的长度为x，在Rt△EMD中，由勾股定理求出DE的长度，同理在Rt△DNF中求出DF的长度，在Rt△DEF中利用勾股定理即可求出EF的长度． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4， ∴BD==5， 设AE的长度为x， 由折叠可得：△ABE≌△MBE， ∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2， 在Rt△EMD中，EM2+DM2=DE2， ∴x2+22=（4-x）2， 解得：x=，ED=4-=， 设CF的长度为y， 由折叠可得：△CBF≌△NBF， ∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1， 在Rt△DNF中，DN2+NF2=DF2， ∴y2+12=（3-y）2， 解得：x=，DF=3-=， 在Rt△DEF中，EF=， 故答案为：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出DE和DF的长度是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11. 近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约为991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为______． 【答案】9.91×105 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于991000有6位，所以可以确定n=6-1=5． 【详解】解：991000用科学记数法可表示为9.91×105， 故答案为：9.91×105． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的方法是解本题的关键 12. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 13. 在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ．两次摸球的所有可能的结果如表所示， 第二次 第一次 白 红Ⅰ 红Ⅱ 白 白，白 白，红Ⅰ 白，红Ⅱ 红Ⅰ 红Ⅰ，白 红Ⅰ，红Ⅰ 红Ⅰ，红Ⅱ 红Ⅱ 红Ⅱ，白 红Ⅱ，红Ⅰ 红Ⅱ，红Ⅱ 则两次摸出的球都是红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由图表求得所有等可能的结果及两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：根据图表给可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种， 则两次摸出的球都是红球的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 将直线向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据上加原则，确定一次函数的表达式． 本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得直线向上平移3个单位，所得一次函数的表达式为：． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(6，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段，则的长度等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据缩小后的线段与原线段的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵A(6，3)、B(6，0)， ∴， ∵以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了图形的扩大和缩小，熟练掌握缩小后的线段与原线段的比等于相似比是解题的关键． 16. 已知四边形 是矩形，点是矩形 的边上的点，且 ．若，，则 的长是___． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据 ，则在的中垂线上，作的中垂线交于 交于，所以：如图的都符合题意，先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解： ， 在的中垂线上， 作的中垂线交于 交于， 所以：如图的都符合题意， 矩形 四边形是菱形， ，， ， 设 则 的长为： 或 故答案为： 或 【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 17. 如图，在 中，，，，若 是边上的动点，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF＝DC，2AD＋DC＝2（AD＋DC）＝2（AD＋DF）当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD＋DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长． 【详解】解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示： 在Rt△DFC中，∠DCF=30°， ∴DF=DC， ∵2AD＋DC=2（AD＋DC）=2（AD＋DF）， ∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD＋DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长， 此时，∠B＝∠ADB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD＝AB＝2， 在Rt△ABC中， ∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝1， ∴BC＝2， ∴DC＝1， ∴DF＝DC＝， ∴AF＝AD＋DF＝1＋＝， ∴2（AD＋DF）＝2AF＝3， ∴2AD＋DC的最小值为3， 故答案是：3． 【点睛】本题考查垂线段最短、含30°角直角三角形的性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造“胡不归”模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 18. 如图①，在 中，，点E是边 的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，分别求出PA+PE的最小值为3，PC的长，即可得到结果. 【详解】解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D， 可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC， ∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称， ∴PA+PE=PD+PE， 当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长， 观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=， ∵点E是AB中点， ∴BE+BD=3BE=， ∴BE=，AB=BD=， ∵∠BAC=120°， ∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴DE⊥AB，∠BDE=30°， ∴DE=3，即PA+PE的最小值为3， 即点H的纵坐标为a=3， 当点P为DE和BC交点时， ∵AB∥CD， ∴△PBE∽△PCD， ∴， ∵菱形ABCD中，AD⊥BC， ∴BC=2×=6， ∴， 解得：PC=4， 即点H的横坐标为b=4， ∴a+b=3+4=7， 故答案为：7. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算 （1）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解． （2）先化简：，然后选择一个合适的x值代入求值． （3）解方程：． 【答案】（1），不等式组的最小整数解为； （2），当时，值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和分式的化简求值，分式方程的解法． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定，再代入计算可得． （3）先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【小问1详解】 解：， 解不等式①，， 得：， 解不等式②，， 得：， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为； 【小问2详解】 解： ； ∵且且， ∴当时， 原式． 【小问3详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验，把代入， ∴原方程的解为：； 20. 我国新冠疫情防控取得了阶段性胜利．学生们返校学习后，某数学兴趣小组对本校同学周末参加体育运动的情况进行抽样调查，在校园内随机抽取男女生各人，调查情况如下表： 是否参加体育运动 男生 女生 总数 是 否 对男女生是否参加体育运动的人数绘制了条形统计图如图（1）．在这次调查中，对于参加体育运动的同学，同时对其参加的主要运动项目也进行了调查，并绘制了扇形统计图如图（2）． 根据以上信息解答下列问题：（1）______，______，_______； （2）将图（1）所示的条形统计图补全； （3）这次调查中，参加体育运动，且主要运动项目是球类的共有______人； （4）在这次调查中，共有 名男生未参加体育运动，分别是甲、乙、丙、丁四位同学，现在从他们中选出两位同学参加“我运动，我健康”的知识讲座，求恰好选出甲和乙去参加讲座的概率．（用列表或树状图解答） 【答案】(1)40,10,40;(2)详见解析;(3)18;(4) 【解析】 【分析】(1)根据表格的信息算出总数,根据扇形的比例求出a即可． (2)根据表格的数量补全条形统计图即可． (3)用参加体育运动的人数与球类的百分比相乘即可． (4)画出树状图,列式求概率即可． 【详解】(1)m=21+19=40, n=4+6=10, a=100－45－7.5－7.5=40． 故答案为:40,10,40． (2)如图所示: (3)40×45%=18(人)． 故答案为:18． (4) P(恰好选出甲和乙参加讲座)=． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图,关键在于结合图形得出有用信息． 21. 如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC． （1）求证：EF是圆O的切线； （2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】 【分析】(1)连接OF和AF，证明∠GFE=∠AGD，进而可证明∠OFE=90°后即可求解； (2)先由AB=CD=4，BD=3，在Rt△BCD中结合勾股定理求出BC，再证明△ABF∽△CBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长． 【详解】解：(1)连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示： ∵OA=OF， ∴∠A=∠OFA， ∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=∠AFC=90°， ∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90° 又EC=EF，∴∠C=∠EFC， ∴∠CGF=∠GFE, 又∠CGF=∠AGD， ∴∠GFE=∠AGD ∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°， ∴OF⊥EF， ∴EF是圆O的切线． (2)如下图所示， ∵D是OA的中点，且AB=4， ∴DO=1，BD=BO+DO=3， 又AB=CD=4， ∴在Rt△BCD中，BC²=BD²+CD²=3²+4²=5²， ∴BC=5， 又∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B， ∴△ABF∽△CBD， ∴，代入数据后得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键． 22. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 【答案】（1）肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元；（2）第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元． 【解析】 【分析】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，根据题意列方程组解答； （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，列出函数关系式再根据函数的性质解答即可. 【详解】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，则根据题意可得： . 解此方程组得：. 答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元； （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，则 ， ∵k=2>0， ∴W随t的增大而增大， 由题意，解得， ∴当t=200时，第二批粽子由最大利润，最大利润, 答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数解决实际问题，一次函数的性质，正确理解题意列出方程组或函数、不等式解决问题是关键. 23. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上 点测得屋顶的仰角为，此时地面上 点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，， 交 于点（点 ， ， 在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离 ； （2）求房屋的高 （结果精确到）． 【答案】（1）4.2米；（2）14米 【解析】 【分析】（1）可得，在中由即可求AG； （2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形， 所在直线是对称轴，， ∴，，． 在中，，， ∵，，． ∴（米） 答：屋顶到横梁的距离 约是4.2米． （2）过点作于点，设， 在中，，， ∵，∴， 在中，，， ∵，∴． ∵， ∴， ∵，， 解得． ∴（米） 答：房屋的高 约是14米． 【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于， 两点，交 轴于点 ，且，点 是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点 的坐标； （3）连接，求面积的最大值及此时点 的坐标． 【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点 的坐标为（，）． 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可； （2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标； （3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（ ，），则点D为（ ，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1）在抛物线中， 令，则， ∴点C的坐标为（0，）， ∴OC=2， ∵， ∴，， ∴点A为（，0），点B为（，0）， 则把点A、B代入解析式，得 ，解得：， ∴； （2）由题意，∵，点C为（0，）， ∴点P的纵坐标为， 令，则， 解得：，， ∴点P的坐标为（，）； （3）设直线AC的解析式为 ，则 把点A、C代入，得 ，解得：， ∴直线AC的解析式为； 过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图： 设点P 为（ ，），则点D为（ ，）， ∴， ∵OA=4， ∴， ∴， ∴当时，取最大值8； ∴， ∴点P的坐标为（，）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题． 25. △ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE= ．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点． （1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长； （2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接BN．在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积． 【答案】（1）NG=；（2）∠DNM的为定值120°，证明见详解；（3）△AND的面积为 【解析】 【分析】（1）证明∠CGE=90°，求出DE=，EC=2，根据直角三角形性质即可求解； （2）证明BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF，得到因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF，通过角的代换即可求解； （3）取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大．求出BN=，设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，根据△ONQ∽△OBD，可求得NQ=，问题得解 ． 【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D， ∴∠DAC=30°,CD=， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵三角形AEF是等边三角形， ∴ ∴ ∵N为CE的中点 ∴． （2）∠DNM的为定值120°． 连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图， ∵D、N、M分别为BC、CE、EF中点， ∴DN、MN分别为△BCE、ECF中位线， ∴BE∥DN，MN∥CF， ∵△ABC、△AEF都是等边三角形， ∴AB=AC,AE=AF, ∴ ∴△ABE≌△ACF． ∴∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF 又∵∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°， ∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60° 又∵∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF，∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM， ∴∠DNE=180°-∠DNC=120°-∠ENM， ∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°． （3）△AND的面积为， 如图，取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大． ∴BN=BP+PN=BP+AE= 设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，如图， ∴BO=BP=，ON=，BD=4， 由题意得△ONQ∽△OBD， ∴NQ=， ∴△AND的面积为：×AD×NQ=． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，中位线定理，相似等知识，综合性较强，熟知图形变化规律，根据题意正确画出图形是解题关键． 26. 四边形 是边长为 的正方形，是 的中点，连结 ，点 是射线上一动点(不与点 重合)，连结 ，交 于点． （1）如图1，当点 是边的中点时，求证：； （2）如图2，当点 与点 重合时，求 的长； （3）在点 运动的过程中，当线段 为何值时，？请说明理由． 【答案】 （1）证明: 四边形 是正方形， ， 点分别是的中点， ， ， . （2）； （3） 【解析】 【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=AD，再由E、F分别是AB、BC的中点即可证明； (2)证明，然后再根据对应边成比例即可求出AG； (3)先证明DM=MG，然后在Rt△ADM中由勾股定理求出DM，进而求出CM，再证明，根据对应边成比例即可求出BF． 【详解】解：(1)略 (2)在正方形 中，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． (3)当时，.理由如下: 由(2)知，当点 与 重合(即)时， ， 点 应在的延长线上(即)， 如图所示，设 交 于点， 若使， 则有， ， 又， ， ， 在中，， 即， ， ， ， ， ， 即， ∴， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】此题是四边形和相似三角形的综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，中点的性质，解本题的关键是三角形相似的判定的应用，难点是准确找出相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 南通市海门区东洲国际学校2025学年度九年级三月份第一次月考测试卷 数学·试题卷 试卷类型：A卷 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项； 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025的相反数的倒数是（　　） A. 2025 B. C. -2025 D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的不等式的解集如图所示，那么a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等腰直角三角形中，，以点C为圆心画弧与斜边 相切于点D，交 于点E，交 于点F，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 9. 已知二次函数（ 为常数）的图象与 轴有交点，且当时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知，则EF的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11. 近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约为991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为______． 12. 分解因式：x2－9＝______． 13. 在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ．两次摸球的所有可能的结果如表所示， 第二次 第一次 白 红Ⅰ 红Ⅱ 白 白，白 白，红Ⅰ 白，红Ⅱ 红Ⅰ 红Ⅰ，白 红Ⅰ，红Ⅰ 红Ⅰ，红Ⅱ 红Ⅱ 红Ⅱ，白 红Ⅱ，红Ⅰ 红Ⅱ，红Ⅱ 则两次摸出的球都是红球的概率是_____． 14. 将直线向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为______． 15. 在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(6，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段，则的长度等于____________． 16. 已知四边形 是矩形，点 是矩形 的边上的点，且 ．若，，则 的长是___． 17. 如图，在 中，，，，若 是 边上的动点，则的最小值为______． 18. 如图①，在 中，，点E是边 的中点，点P是边 上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算 （1）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解． （2）先化简：，然后选择一个合适的x值代入求值． （3）解方程：． 20. 我国新冠疫情防控取得了阶段性胜利．学生们返校学习后，某数学兴趣小组对本校同学周末参加体育运动的情况进行抽样调查，在校园内随机抽取男女生各人，调查情况如下表： 是否参加体育运动 男生 女生 总数 是 否 对男女生是否参加体育运动的人数绘制了条形统计图如图（1）．在这次调查中，对于参加体育运动的同学，同时对其参加的主要运动项目也进行了调查，并绘制了扇形统计图如图（2）． 根据以上信息解答下列问题：（1）______，______，_______； （2）将图（1）所示的条形统计图补全； （3）这次调查中，参加体育运动，且主要运动项目是球类的共有______人； （4）在这次调查中，共有 名男生未参加体育运动，分别是甲、乙、丙、丁四位同学，现在从他们中选出两位同学参加“我运动，我健康”的知识讲座，求恰好选出甲和乙去参加讲座的概率．（用列表或树状图解答） 21. 如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC． （1）求证：EF是圆O的切线； （2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长． 22. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 23. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上 点测得屋顶 的仰角为，此时地面上 点、屋檐上 点、屋顶上 点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 时，又测得屋檐 点的仰角为，房屋的顶层横梁，， 交于点（点 ， ， 在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离 ； （2）求房屋的高 （结果精确到）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，且，点 是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点 的坐标； （3）连接 ，求面积的最大值及此时点 的坐标． 25. △ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE= ．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点． （1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长； （2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接BN．在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积． 26. 四边形 是边长为 的正方形， 是 的中点，连结 ，点 是射线 上一动点(不与点 重合)，连结 ，交 于点． （1）如图1，当点 是 边的中点时，求证：； （2）如图2，当点 与点 重合时，求 的长； （3）在点 运动的过程中，当线段 为何值时，？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $