精品解析：黑龙江省黑河市龙西北名校联盟2024-2025学年高一下学期期初考试数学试题

2024-2025学年度下学期龙西北名校联盟期初考试 高一数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则( ). A. B. C. D. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 4. 已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是第二象限角的必要不充分条件是且 C. 函数的零点是 D. 的单调递增区间为， 7. 已知函数（，且）图象经过定点，若正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，，则 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 其图象关于点对称 C. 对称轴方程为 D. 单调增区间 11. 已知函数的定义域为R，且的图象关于直线对称，，又，，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点中心对称 C. D. 三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则______ . 13. 某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过_____________小时（参考数据：） 14. 函数的单调递增区间为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知是函数的零点，. （1）求实数的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 设函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 19. 若在函数的定义域内存在，使得成立，则称具有性质． （1）试判断函数是否具有性质； （2）证明：函数具有性质； （3）若函数具有性质，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期龙西北名校联盟期初考试 高一数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求出结果. 【详解】依题意，，又因为， 则. 故选：D. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求解. 【详解】. 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断，然后利用单调性的性质判断单调性即可求解. 【详解】函数定义域为R．又， 所以函数为奇函数，设，，函数单调递增， 设，则在上单调递减，故函数在R上是减函数. 故选：C. 4. 已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解即可. 【详解】由题意，在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且对于恒成立， 则，解得. 故选：A. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数性质及特殊角的正切比较的大小，再利用函数的性质比较即可. 【详解】依题意，， 由函数是偶函数，得， 又函数在上单调递增，则， 所以的大小关系为. 故选：C. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是第二象限角的必要不充分条件是且 C. 函数的零点是 D. 的单调递增区间为， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定，判断A；根据三角函数在各象限的正负，以及充分条件和必要条件的定义，判断B；根据零点的定义判断C；结合对勾函数的性质，判断D. 【详解】对于A，根据含有一个量词的否定，命题“，”的否定是“，”，故A错误； 对于B，当且时，能推出是第二象限角， 反过来当是第二象限角，也能推出且， 所以是第二象限角的充要条件是且，故B错误； 对于C，函数的零点满足，即，所以零点是1，不是，故C错误； 对于D，函数结合对勾函数的图象，可知单调递增区间为，，故D正确， 故选：D. 7. 已知函数（，且）图象经过定点，若正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的图象经过的定点的坐标，再利用基本不等式中“1”的代换即可求解. 【详解】函数， 令，可得，代入函数可得，所以定点的坐标为， 代入可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数图象可得，即，再由二次函数图象关于对称，可得，求得可得结果. 【详解】由关于x的方程有4个不同的实根，得函数与图象有4个交点； 作出函数与的图象，如图： 观察图象得，， 由，得，即，则， 而二次函数图象关于对称，则，因此， 由，解得或，则， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确作出函数的图象，借助对数函数、二次函数的性质数形结合求解. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式可推出，由此可判断A; 利用基本不等式可判断B;举例可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】、、、均为非零实数,则 ，故 ，即，故A正确； 由题意可知 ，故 ，当且仅当，即 时取等号，故B正确； 若，比如a=1，b=-1，则不成立，故C错误； 若，，则若，，故，故D正确， 故选：ABD 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 其图象关于点对称 C. 对称轴方程为 D. 单调增区间 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的对称性可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，由，可得， 即函数的对称轴方程为，C对； 对于D选项，由，解得， 所以，函数的单调增区间，D错. 故选：AC. 11. 已知函数的定义域为R，且的图象关于直线对称，，又，，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点中心对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定的对称轴推理判断A；求出的值判断B；探讨函数的周期，并赋值计算判断CD. 【详解】对于A，由的图象关于直线对称，得， 即，而函数的定义域为R，则，为偶函数，A正确； 对于B，由，得，即，解得，B错误； 由，得， 则，函数的周期为4， 由，得， ，函数的周期为4， 对于C，，C正确； 对于D，由，得，则， 由，得，， ， 所以，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则______ . 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可对分式的分子分母同时除，然后借助公式以及即可得出结果． 【详解】，故答案为． 【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查利用同角三角函数公式进行化简求值，考查的公式有，考查化归与转化思想，是简单题． 13. 某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过_____________小时（参考数据：） 【答案】52 【解析】 【分析】根据题意建立方程组，可求得，，即得，再结合对数的运算性质化简，代值估算即得. 【详解】经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为， ，解得，，则， 当这种药物完全分解，即时，得，得， 即，两边取对数得 . 故答案为：52. 14. 函数的单调递增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得原函数的单调递增区间. 【详解】对于，有， 所以，，即， 可得，解得， 所以，函数的定义域为， 令，，， 因为函数、都为增函数，故函数为增函数， 由得， 即函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的增区间为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把的值代入求出集合，然后即可求出； （2）讨论和两种情况，分别求满足题意的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，， ∵， 因此，； 【小问2详解】 ∵． ①当时，即， ∴，此时满足题意； ②当时．则或， 解得或． 综上所述，实数a的取值范围是． 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数式，进而求出，再利用诱导公式求得值. （2）由（1）的信息，利用齐次法求得值. 【小问1详解】 由， 得，所以. 【小问2详解】 . 17. 已知是函数的零点，. （1）求实数的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据零点的定义代入求解即可； （2）将原不等式化为，利用换元法转化为求函数的最小值即可求解. 【小问1详解】 是函数的零点， ，得； 【小问2详解】 ，， 则不等式在上恒成立， 等价为在上恒成立， ，， 上述不等式两边同时除以，得在上恒成立， 令，，则在恒成立， 所以， 令，， 的图象开口方向向上，对称轴为， 所以在单调递减，所以， 则，即实数的取值范围为. 18. 设函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数 （2）函数在上为增函数． 证明：设，，且， ， 由，可得，所以， 由，可得，, 所以，则，所以， 即， 所以在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论； （2）在上为增函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤； （3）由的奇偶性和单调性，可得，再解一元二次不等式，可得所求范围． 【小问1详解】 由解得， 函数的定义域为， ， 可得是定义域为的奇函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是定义域为的奇函数，所以， 不等式化为， 因为在上为增函数，所以， 解得：或， ，解得： ，解得：, 综上：实数的取值范围 19. 若在函数的定义域内存在，使得成立，则称具有性质． （1）试判断函数是否具有性质； （2）证明：函数具有性质； （3）若函数具有性质，求实数的取值范围． 【答案】（1）不具有性质 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义判断即可； （2）函数，根据性质的定义证明即可； （3）由已知可得，令，则问题转化为存在的根，计算求解即可得出解. 【小问1详解】 假设函数具有性质， 则存在，使得， 即，即，显然不成立， 假设不成立，即不具有性质． 【小问2详解】 证明：， ，，， 令，得， 即，即， 又函数的定义域为，， 函数具有性质． 【小问3详解】 函数的定义域为，且具有性质， ， 即， 令，则， ， ， 解得或， 当方程有一个正根时，即， 即，此时． 当方程有两个正根时，当，即时，此时． 实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $