精品解析：黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2024-2025学年八年级下学期开学数学试题

哈工大附中2024-2025年度初三下开学数学学情检测 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列选项中式子，是最简二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 2. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 5 C. 0 D. 5. 如果把分式中x和y都扩大为原来的2倍,那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小为原来12 6. 如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 二、填空题（每小题3分，共18分） 7 因式分解多项式：_____________． 8 已知，则_____________． 9. 计算的结果为________． 10. 已知，，则的值为________． 11. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为120cm，则它的面积为______cm2. 12. 等腰中，腰的垂直平分线交所在直线于点，垂足为，若，则的度数为_____________． 三、解答题（共44分） 13. 计算 （1） （2） 14. 先化简，再求值：的值，其中． 15. 某搬运公司计划购买两种型号的机器搬运货物，每台型机器比每台型机器每天少搬运10吨货物，且每台型机器搬运360吨货物与每台型机器搬运400吨货物所需天数相同． （1）求每台型机器，型机器每天分别搬运货物多少吨？ （2）该公司采购两种型号机器共30台，且满足每天搬运货物不低于2900吨，该公司最多采购型机器多少台？ 16. 在中，，经过点，，点、为垂足． （1）如图1，求证：． （2）如图2，的平分线交于点，求证：为中点． （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接、，若，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈工大附中2024-2025年度初三下开学数学学情检测 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列选项中的式子，是最简二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理结合坐标计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点到原点的距离求法，解题的关键是掌握勾股定理的运用． 4. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 5 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，合并同类项，根据题意列出相应的式子，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据不含一次项，则一次项的系数为0，即可求的值． 详解】解：由题意得：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得：． 故选：A． 5. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍,那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小为原来的12 【答案】B 【解析】 【详解】把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，相当于分别用2x和2y代替原分式中的x和y，即 . 因此，把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍. 故本题应选B. 点睛： 本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识. 这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论. 对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论. 因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意. 6. 如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】如图，连接AD． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）． ∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 因式分解多项式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 已知，则_____________． 【答案】256 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，利用幂的乘方和同底数的幂的乘法法则，利用和表示出所求的式子，然后代入求解． 【详解】解：． 故答案为：256． 9. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算是解决本题的关键． 10. 已知，，则的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】先把进行变形，得到，再把x，y的值代入即可求出答案． 【详解】，， ； 故答案为：12． 【点睛】本意考查了完全平方公式及运用，熟练掌握知识点是解题的关键； 11. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为120cm，则它的面积为______cm2. 【答案】480 【解析】 【分析】设三边的长是5x，12x，13x，根据周长即可求得x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解． 【详解】设三边的长是5x，12x，13x， 则5x+12x+13x=120， 解得：x=4， 则三边长20，48，52. ∵ ∴三角形是直角三角形， ∴三角形的面积是12×20×48=480. 故答案480. 【点睛】考查直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，比较基础. 12. 等腰中，腰的垂直平分线交所在直线于点，垂足为，若，则的度数为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理和外角性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解决本题的关键． 由于垂直平分，则，故，由，得，下面分为锐角三角形或钝角三角形，利用三角形内角和定理和外角性质即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 当为锐角三角形时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案：或． 三、解答题（共44分） 13. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算以及解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式，然后按顺序进行加减运算即可； （2）先将分式方程转化为整式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘得： ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 14. 先化简，再求值：的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简，再代入x的值即可求解． 【详解】 = = = ∵=2 ∴原式=． 【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及实数的性质． 15. 某搬运公司计划购买两种型号的机器搬运货物，每台型机器比每台型机器每天少搬运10吨货物，且每台型机器搬运360吨货物与每台型机器搬运400吨货物所需天数相同． （1）求每台型机器，型机器每天分别搬运货物多少吨？ （2）该公司采购两种型号机器共30台，且满足每天搬运货物不低于2900吨，该公司最多采购型机器多少台？ 【答案】（1）每台型机器、型机器每天分别搬运货物90、100吨 （2）该公司最多采购型机器10台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式和分式方程是解此题的关键． （1）设每台型机器每天搬运货物吨，则每台型机器每天搬运货物吨，根据“每台型机器搬运360吨货物与每台型机器搬运400吨货物所需天数相同”，列出分式方程，解方程即可； （2）设该公司采购型机器台，根据“每天搬运货物不低于2900吨”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每台型机器每天搬运货物吨，则每台型机器每天搬运货物吨， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ∴， 答：每台型机器、型机器每天分别搬运货物90、100吨； 【小问2详解】 解：设该公司采购型机器台， 根据题意得：， 解得：， 答：该公司最多采购型机器10台． 16. 在中，，经过点，，点、为垂足． （1）如图1，求证：． （2）如图2，的平分线交于点，求证：为中点． （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接、，若，，求长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）延长交的延长线于点，先由（1）中的得，再证明即可解决问题； （3）设交的交点为，连接、，首先证明，，再想办法证明，推出即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点； 【小问3详解】 解：设交的交点为，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$